TWIERDZENIA GRANICZNE

W twierdzeniach granicznych rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {X_n}, których rozkłady - przy wzroście wskaźnika n do nieskończoności - mogą być zbieżne do pewnego rozkładu nazywanego rozkładem granicznym (asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {X_n}.

Lokalne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu funkcji prawdopodobieństwa lub funkcji gęstości.

Integralne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu dystrybuant.

TWIERDZENIE DE MOIVRE`A - LAPLACE`A

Twierdzenie (integralne)

Niech {X_n} będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i 0<p<1 oraz niech {U_n} będzie ciągiem wystandaryzowanych zmiennych
:

Wtedy dla ciągu dystrybuant
zmiennych losowych U_n zachodzi:

dla każdej wartości u.

Wniosek

Ciąg dystrybuant zmiennych losowych {X_n} o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p (niestandaryzowanych) jest zbieżny do rozkładu normalnego
.

Wniosek

Jeśli rozpatrzymy ciąg zmiennych
, to z twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a wynika, że zmienna ta ma asymptotyczny rozkład normalny
.

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

LINDEBERGA-LEVY`EGO

Założenia

Rozpatrujemy ciąg niezależnych zmiennych losowych {X_n} o jednakowym rozkładzie (identycznych wartościach oczekiwanych
oraz wariancjach
)

Oznaczamy przez
zmienną określoną wzorem:
o wartości oczekiwanej i wariancji:

Oznaczamy wystandaryzowaną zmienną
przez:

Twierdzenie (centralne)

Jeśli
jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach i skończonej wariancji, to ciąg dystrybuant
zmiennych losowych
spełnia warunek:

dla każdej wartości t.

Wniosek

Zmienna losowa
ma asymptotyczny rozkład normalny
.

Wniosek

Jeśli dla określonych wyżej zmiennych losowych X_k rozpatrzymy zmienną
, której wartością oczekiwaną i wariancją są odpowiednio:

to z twierdzenia Lindeberga-Lévy'ego otrzymujemy, że ciąg zmiennych {V_n} jest zbieżny do rozkładu normalnego
.

2. Twierdzenia graniczne

Twierdzenia graniczne mówią o zbieżności ciągów zmiennych losowych do pewnych rozkładów, które nazywamy rozkładami granicznymi. Poniżej zostaną omówione dwa twierdzenia:

• centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego

• twierdzenie Moivre'a-Laplace'a

twierdzenia graniczne twierdzenie Moivre'a-Laplace'a

2.1 Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego

Jest to najważniejsze twierdzenie statystyki matematycznej, dotyczy zbieżności sum niezależnych zmiennych o takich samych rozkładach (rozkład nie musi być znany) z rozkładem normalnym. W zasadzie pod pojęciem "centralne twierdzenie graniczne" kryje się kilka twierdzeń. Jako pierwsze pojawiło się twierdzenie Abrahama de Moivre'a mówiące o zbieżności rozkładu dwumianowego do rozkładu normalnego gdy n → ∞ (rozkład normalny jako rozkład graniczny rozkładu dwumianowego przy n → ∞). Ogólniejszą wersję centralnego twierdzenia granicznego podał na początku XX wieku Liapunow. Obecnie korzysta się z twierdzenia w formie zaproponowanej w 1922 roku przez Lindebegra i Levy'ego. Dowód tego twierdzenia podał w 1935 Feller.

Załóżmy, że dany jest ciąg X₁, X₂, ..., X_n niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie (oznacza to, że zmienne posiadają jednakowe rozkłady prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i wariancje), tzn.:

E(X₁) = E(X₂) = E(X₃) = ... = E(X_n) = m

V(X₁) = V(X₂) = V(X₃) = ... = V(X_n) = σ²

Przez Z_n oznaczamy następującą zmienną losową:

Z_n = X₁ + X₂ + ... + X_n

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej Z_n:

E(Z_n) = nm

V(Z_n) = nσ²

Centralne twierdzenie graniczne mówi, że jeśli n jest duże, to rozkład zmiennej losowej Zn można przybliżyć rozkładem normalnym z wartością oczekiwaną nm i odchyleniem standardowym σn^1/2, czyli Zn ~ N(nm,σn^1/2)

Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego dla wartości oczekiwanej z próby

Załóżmy, że ciąg niezależnych zmiennych losowych X₁, X₂, ..., X_n, spełnia założenia centralnego twierdzenia granicznego.

Definiujemy zmienną (średnia z próby):

o wartości oczekiwanej
i wariancji
.

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że Z_n = X₁ + X₂ + ... + X_n ma w przybliżeniu

rozkład normalny, stąd
ma również rozkład normalny.

Przy dużych wartościach n rozkład zbliżony jest do rozkładu:

twierdzenia graniczne centralne twierdzenie graniczne

2.2 Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a

Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a jest szczególnym przypadkiem centralnego twierdzenia granicznego, dotyczy zbieżności rozkładu dwumianowego do rozkładu normalnego dla dużych n.

Niech X_n będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n,p) (n - liczba doświadczeń, p - prawdopodobieństwo sukcesu) i niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną m = np i odchyleniem standardowym σ = (npq)^1/2, czyli N(np,(npq)^1/2).

Oznaczmy przez F_n(x) oznacza wartość dystrybuanty zmiennej losowej X_n w punkcie x i przez F(x) wartość dystrybuanty zmiennej losowej X w punkcie x.

Między dystrybuantami F_n(x) i F(x) zachodzi związek:

Korzystając z definicji dystrybuanty:

Wiadomo, że liczba doświadczeń jest zawsze skończona, stąd

gdzie

Oznacza to, że jeżeli liczba prób jest duża, to rozkład zmiennej losowej X_n o rozkładzie B(n,p) można przybliżyć rozkładem N(np,(npq)^1/2, przybliżenie to jest tym lepsze, im n jest większe (praktycznie n > 30).

Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a dla wartości oczekiwanej z próby

Rozpatrzmy zmienną losową Y_n = X_n / n (częstość), gdzie X_n jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p. Jeżeli zmienna losowa X_n przyjmuje wartości 0, 1, 2, ..., n, to Y_n = 0, 1/n, 2/n, ..., 1.

Rozkład zmiennej losowej Y_n:

k = 1, 2, ..., n.

Wynika stąd, że zmienna Y_n przyjmuje swoje wartości z prawdopodobieństwami określonymi przez rozkład dwumianowy.

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Y_n:

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że zmienna losowa Y_n przy dużych wartościach n ma rozkład zbliżony do normalnego z wartością oczekiwaną równą p i odchyleniem standardowym równym (pq/n)^1/2, czyli

twierdzenia graniczne centralne twierdzenie graniczne twierdzenie Moivre'a-Laplace'a

III.          Proces gaussowski: Centralne Twierdzenie Graniczne

III.1.       Średnia z kwadratu całkowitego przemieszczenia makrocząsteczki

Wykażemy, że ruchy Browna można traktować jako proces gaussowski. Obserwujemy błądzenie przypadkowe makrocząsteczki na płaszczyźnie (Rys.III.1.1).

Rys.III.1.1 Przykładowa, dwuwymiarowa trajektoria makrocząsteczki zawieszonej w płynie.

 

Wektory
, oznaczają kolejne przypadkowe, pojedyncze przemieszczenia makrocząsteczki (gdzie
jest całkowitą liczbą przemieszczeń). Pojedyncze przemieszczenie jest zdefiniowane jako wektor łączący kolejne punkty zwrotne (kolejnymi jednakowo zorientowanymi przemieszczeniami nie zajmujemy się gdyż ich prawdopodobieństwo wystąpienia znika). Wypadkowe przemieszczenie makrocząsteczki wyraża się wzorem:

 

(III.1.1)

 

Zarówno pojedyncze jak też sumaryczne przemieszczenia traktujemy jako (wektorowe) niezależne zmienne losowe, tzn. podlegające określonym rozkładom prawdopodobieństwa. Ponadto zakładamy, że pojedyncze przemieszczenia podlegają identycznemu rozkładowi, co wynika z jednorodności i izotropowości ośrodka znajdującego się w stanie równowagi termodynamicznej.

Na początku wyznaczamy dwie następujące wielkości: 1) średnie sumaryczne przemieszczenie
oraz 2) średni kwadrat tego przemieszczenia
. Ponieważ rozpatrujemy ruch pojedynczej makrocząsteczki, więc
oznacza tutaj średnią tylko po zespole statystycznym
podobnych doświadczeń. Stąd,

 

, (III.1.2)

gdzie
, jest wektorem sumarycznego przemieszczenia wyznaczonego w doświadczeniu o numerze
. Dla dostatecznie dużej liczby
doświadczeń, możemy z dobrym przybliżeniem przyjąć, że:

 

, (III.1.3)

 

gdyż przestrzeń jest izotropowa (tzn. nie występuje żadna systematycznie działająca siła ani żaden systematyczny prąd). Innymi słowy, dla dostatecznie dużej liczby doświadczeń całkowite przemieszczenie uzyskane po
krokach w danym doświadczeniu, posiada (z dobrym przybliżeniem) w jakimś innym doświadczeniu (należącym do zespołu statystycznego) odpowiadające mu przemieszczenie skierowanie przeciwnie.

Stąd otrzymujemy, że średni kwadrat całkowitego (sumarycznego) przemieszczenia makrocząsteczki jest równoważny dyspersji tego (wypadkowego) przemieszczenia:

 

. (III.1.4)

 

Wyprowadzimy teraz związek pomiędzy dyspersją
wypadkowego przemieszczenia
, a dyspersją
pojedynczego przemieszczenia
:

 

, (III.1.5)

 

tutaj
oznacza iloczyn skalarny wektorów
oraz
; Ponieważ pojedyncze przemieszczenia makrocząsteczki
i
są statystycznie niezależne (nie mają na siebie wpływu, czyli są nieskorelowane), więc możemy skorzystać z własności średniej która mówi, że średnia iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równa iloczynowi ich średnich:

 

. (III.1.6)

 

W oparciu o argumentację analogiczną do podanej przy analizie dyspersji całkowitego przemieszczenia makrocząsteczki możemy stwierdzić, że (z dobrym przybliżeniem) średnia pojedynczego przemieszczenia makrocząsteczki jest równa zeru:

 

. (III.1.7)

 

Ostatecznie:

 

, (III.1.8)

gdzie
(niezależnie od numeru
pojedynczego przemieszczenia, co wynika z jednorodności czasu i przestrzeni).

Przyjmując, że średni czas potrzebny makrocząsteczce na pokonanie pojedynczego przemieszczenia wynosi
można, dla dostatecznie długich czasów
, przepisać wyrażenie (III.1.8) w postaci słusznej także dla czasu ciągłego
, a więc dla sytuacji bardziej realistycznej:

 

; (III.1.9)

 

zauważmy, że czas dyskretny jest mierzony, po prostu, liczbą pojedynczych przemieszczeń cząsteczki Browna
. W kontekście zjawiska dyfuzji (które omówiono poniżej) zależność (III.1.9) można wyrazić następująco:

 

, (III.1.10)

 

gdzie
oznacza wymiar przestrzeni (tutaj
) natomiast

 

, (III.1.11)

 

jest współczynnikiem dyfuzji występującym w równaniu Ficka, o czym mowa jest poniżej.

Zależność (III.1.8) stanowi pierwszy punkt tezy Centralnego Twierdzenia Granicznego (CTG) twierdzenia, którego rolę w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej oraz ich niezliczonych zastosowaniach wprost trudno przecenić.

III.2.       Statystyka sumarycznych przemieszczeń makrocząsteczki w czasie ciągłym

III.2.1.       Równość łańcuchowa Bacheliera - proces Markowa

W niniejszym rozdziale przedstawiono drugi (i ostatni) punkt tezy Centralnego Twierdzenia Granicznego w sformułowaniu ogólniejszym od podawanego tradycyjnie, tzn. dopuszczając bardziej realistyczny scenariusz rozgrywający się w czasie ciągłym (a nie dyskretnym).

Drugi punkt CTG odpowiada na pytanie: jaki jest chwilowy rozkład prawdopodobieństwa
wektorowej zmiennej losowej
, czyli jest pytaniem dotyczącym statystyki sumarycznych przemieszczeń makrocząsteczki po upływie czasu
Aby odpowiedzieć na to pytanie skorzystamy z równania łańcuchowego Bocheliera:

 

(III.2.1)

 

gdzie
jest tzw. elementem przejścia, czyli prawdopodobieństwem warunkowym znalezienia cząsteczki Browna w położeniu
w chwili
, pod warunkiem, że we wcześniejszej chwili
makrocząsteczka była w położeniu
.

Ponieważ element ten nie zależy od jeszcze wcześniejszych położeń cząsteczki Browna to mówimy, że mamy do czynienia z procesem Markowa. Dzięki równaniu łańcuchowemu możemy znaleźć równanie różniczkowo-różnicowe na gęstość prawdopodobieństwa
  znalezienia makrocząsteczki w położeniu
w chwili
²⁾.

III.2.2.       Równanie Markowa-Kołmogorowa

Ponieważ makrocząsteczka w danym, krótkim przedziale czasu
może albo pozostać w określonym położeniu
(które zajmowała na początku tego przedziału czasu, czyli w chwili
) albo przemieścić się o wektor
, więc spełniony jest następujący warunek normalizacyjny:

 

, (III.2.2)

 

z którego wyznaczamy element przetrwania makrocząsteczki
w położeniu
w przedziale czasu
i wstawiamy do równania łańcuchowego, otrzymując:

 

(III.2.3)

skąd dzieląc stronami przez
uzyskujemy wygodną postać pośrednią równania łańcuchowego Bacheliera:

 

(III.2.4)

 

Wykonując w powyższym równaniu przejście
, uzyskujemy prospektywne równanie różniczkowo-różnicowe Kołmogorowa-Markowa[4]:

 

, (III.2.5)

 

gdzie (jednokrokowe) prawdopodobieństwo warunkowe na jednostkę czasu przemieszczenia makrocząsteczki na odległość
, zwane intensywnością procesu Markowa, wynosi
. Niniejsza postać intensywności procesu wynika bezpośrednio z jednorodności i izotropowości przestrzeni oraz jednorodności czasu co wynika z faktu, że układ znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej (statystycznej).

III.2.3.       Równanie dyfuzji Ficka - rozkład Gaussa

Rozwiązanie równania Kołmogorowa-Markowa znajdujemy dla sytuacji asymptotycznej (gdy
). W pierwszym kroku rozwijamy
w szereg Taylora w punkcie
:

 

(III.2.6)

 

gdzie
jest składową wektora przemieszczenia
, tutaj
ponieważ rozpatrujemy ruch płaski cząsteczki Browna. Następnie, rozwinięcie (III.2.6) podstawiamy do równania (III.2.5) otrzymując po prostych przekształceniach:

 

. (III.2.7)

 

Korzystając z własności izotropowości przestrzeni możemy stwierdzić, że
oraz
; sprowadza to równanie (III.2.7) do następującej postaci:

 

, (III.2.8)

 

gdyż
, gdzie przyjęliśmy
, (oraz
). Jest to równanie dyfuzji Fick'a wyprowadzone dla rozkładu prawdopodobieństwa
(a nie koncentracji zawiesiny). Czynnik występujący po prawej stronie równania (III.2.8) jest, w istocie rzeczy, współczynnikiem dyfuzji zdefiniowanym w rozdziale III.1 za pomocą relacji (III.1.11). Stąd równanie (III.2.8) można zapisać następująco[4]:

 

. (III.2.9)

 

Rozwiązaniem równania dyfuzji jest rozkład Gaussa (co można łatwo sprawdzić poprzez dokonanie odpowiedniego cząstkowego różniczkowania):

 

, (III.2.10)

 

gdzie 
. (III.2.11)

Jest to rozkład opisujący statystykę sumarycznego przemieszczenia
po upływie czasu
. Tym samym znaleźliśmy odpowiedź na pytanie postawione na wstępie rozdziału III.2.1.

III.3.       Centralne Twierdzenie Graniczne w ujęciu Lindeberga-Lévy'ego

Szczególnie popularnym, prostym i precyzyjnym ujęciem CTG jest sformułowanie podane przez matematyków J.W Lindeberga i P. Lévy'ego - przytoczymy je tutaj (bez dowodu) dla jednowymiarowych zmiennych losowych (jedynie dla kompletności naszych rozważań).

III.3.1.       Twierdzenie Lindeberga-Lévy'ego

Niech dany będzie ciąg niezależnych (jednowymiarowych) zmiennych losowych
, (czyli pojedynczych przemieszczeń makrocząsteczki) o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa i skończonym odchyleniu standardowym (dyspersji). Wówczas ciąg dystrybuant
standardowych zmiennych losowych
spełnia dla każdego
następującą równość:

 

, (III.3.1)

 

gdzie dystrybuanta (tutaj standardowej zmiennej losowej) jest zdefiniowana następująco:

 

, (III.3.2)

 

natomiast sama standardowa zmienna losowa wyraża się wzorem:

 

, (III.3.3)

 

gdzie wartość średnia
, (w naszym przypadku
), oraz wariancja
; w obu wyrażeniach
oznacza średnią z rozkładem pojedynczej zmiennej losowej
. Bezpośrednią konsekwencją powyższego twierdzenia jest ważny wniosek.

Wniosek. Niech
oraz
będą dwiema dowolnymi liczbami, przy czym
. Z zależności (III.1.3) i (III.3.2) wynika, że

 

, (III.3.4)

 

lub zapisując powyższą równość w postaci przybliżonej dla
, otrzymujemy:

 

; (III.3.5)

 

Czyli standardowa zmienna losowa
posiada rozkład asymptotycznie normalny (o jednostkowej dyspersji i zerowej wartości średniej). Stąd wynika (po prostej zamianie zmiennych zgodnie z definicją (III.3.3) zachowującą normalizację rozkładu), że także sumaryczna zmienna losowa,
, posiada rozkład asymptotycznie normalny o dyspersji
i wartości średniej
, co właśnie stanowi treść Centralnego Twierdzenia Granicznego w sformułowaniu rozważanym w rozdziale III.1 i rozdziale III.2.

III.4.       Zjawisko rozmywania się rozkładu Gaussa - dyfuzja

Rzucającą się w oczy cechą rozkładu Gaussa (III.2.10) jest wzrost jego szerokości i malenie wysokości w miarę upływu czasu - własności te są scharakteryzowane zależną od czasu wariancją (III.2.11). Mówimy, że rozkład Gaussa rozmywa się w miarę upływu czasu - jest to podstawowa cecha procesu dyfuzji, którą przedstawiamy schematycznie na rysunku poniżej. Rozmycie to oznacza, że w miarę upływu czasu wzrasta prawdopodobieństwo znalezienia makrocząsteczki coraz dalej od początku układu współrzędnych, gdzie w chwili początkowej znajdowała się z całą pewnością. Tym samym, w miarę upływu czasu prawdopodobieństwo znalezienia makrocząsteczki w początku układu współrzędnych maleje. Efekty te są znakomicie widoczne w przeprowadzonym przez nas doświadczeniu numerycznym.

 

Rys.III.4.1 Rozmywanie się rozkładu Gaussa w miarę upływu czasu t - dyfuzja.

Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE

GRANICZNE = twierdzenie Lindeberga-Levy'ego)

Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu o średniej
i wariancji
. Wówczas dla dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej średniej jest bliski standardowemu rozkładowi normalnemu
, dokładniej, dla dowolnych
zachodzi

przy
. Równoważnie rozkład średniej
jest bliski rozkładowi normalnemu
.

Uwaga. Przy założeniach centralnego twierdzenia granicznego rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej sumy
jest w przybliżeniu rozkładem normalnym, tzn.

, przy
.

Równoważnie rozkład
jest bliski
.

Wystarczy zauważyć:

Uwaga. Przybliżenie na ogół można stosować gdy

.

Wniosek. ( Twierdzenie Moivre'a - Laplace'a)

Jeśli
, to przy

.

D.
, gdzie
jest prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli'ego
. Zatem
. Po podstawieniu otrzymujemy tezę.

Uwaga. Przybliżenie można stosować gdy

.

Przykład. Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.

Niech
oznacza czas dojazdu w i-tym dniu ,
.

,
.

,

=

.

Zadanie. Codzienne opóźnienie pociągu ( w minutach ) na pewnej trasie jest zmienną losową ciągłą o gęstości

dla
.

a) Wyznaczyć stałą C.

b) Wyznaczyć dystrybuantę
.

c) Obliczyć prawdopodobieństwa
,
.

d) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję codziennego opóźnienia pociągu.

e) Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo, że łączne opóźnienie pociągu na tej trasie w ciągu 90 dni przekroczy 600 minut, jeśli opóźnienia w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi.

1. 
   50 = 1. C = 1/50.

b)
=
dla
,

Zatem

dla
.

3. 
   = 1 - F(5) = 1- 25/100 = 0,75.

= F(7) - F(5) = 0,49 - 0,25 = 0,24.

d)
=
= 20/3,

= 50.

-
= 50 - 400/9 = 50/9.

e) Niech
oznacza łączny czas opóźnienia w ciągu 90 dni.
jest prostą próbą losową z rozkładu o gęstości takiej jak gęstość zmiennej X.
= opóźnienie i-go dnia.

.

Var(
=
.

Z Centralnego Twierdzenia Granicznego rozkład

jest bliski rozkładowi
.

=

= 1 - 0,5 = 0,5.

Poprawka w przybliżeniu normalnym

Jeśli zmienne losowe
w prostej próbie losowej przyjmują jedynie wartości całkowite, to otrzymamy lepsze przybliżenie rozkładem normalnym stosując Centralne Twierdzenie Graniczne ( w szczególności twierdzenie Moivre'a - Laplace'a ) z tzw. poprawką uwzględniającą fakt, że rozkład dyskretny przybliżamy rozkładem ciągłym, dokładniej zauważmy iż dla całkowitych a i b mamy:

=

(1)
=

-
.

Równoważnie mamy:

(2)

=
-

Przykład. Załóżmy, że nowa szczepionka będzie testowana na 100 osobach. Producent ocenia jej skuteczność na 80 %. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo, że

1. pożądaną odporność uzyskają mniej niż 74 osoby,

2. co najmniej 74 osoby i co najwyżej 85 osób uzyska odporność po zastosowaniu szczepionki.

Niech
będzie liczbą osób spośród 100 testowanych, które uzyskają odporność, gdzie
jest prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli'ego
. Stąd
,
,

(a) Wstawiając we wzorze (1)
,
n =100 mamy:

=
= 1 - 0,9474 =

= 1 -
= 1 - 0,9474 = 0,0526.

(b)
=

=
=

=
= 0,9147 - 1 + 0,9484 =

= 0,8631.

Rozkład częstości

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie

Bernoulli'ego, tzn.

i
.

W zastosowaniach często
% oznacza procent elementów badanej populacji posiadających określoną własność. Wówczas p nazywamy proporcją lub wskaźnikiem struktury.

Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu X. (
(0) jeśli i-ty wylosowany element ma ( nie ma ) określoną własność ).

=
=
nazywamy częstością wystąpienia (elementów o danej własności ) w prostej próbie losowej.

, Var(
) =
.

Z Centralnego Twierdzenia Granicznego dla średniej z próby losowej mamy:

,

gdy
, oraz na mocy wzoru (2)

=
-
.

Twierdzenie. Dla dowolnych

, gdy
.

Zadanie. W populacji dorosłych Polaków 39 % ma kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 100 losowo wybranych dorosłych Polaków częstość osób mających kłopoty ze snem nie przekroczy 0,33.

=

=

1/22

---