09 Wyznaczanie środków ciężkości

Środek ciężkości punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości lub punkt równowagi sił występujących w przekroju bryły poddawanej skręcaniu lub zginaniu. Wyznaczenie środka ciężkości jest niekiedy możliwe z wykorzystaniem metody symetrii, która mówi że jeśli dane ciało ma oś symetrii, płaszczyznę symetrii lub punkt symetrii, to środek ciężkości leży na osi, płaszczyźnie oraz w punkcie symetrii. Rys. 1. Okrąg jako figura płaska z środkiem punktem symetrii. Rys. 2. Kula jako bryła przestrzenna z punktem symetrii. Rys. 3. Figury płaskie z osiami symetrii wyznaczającymi środek ciężkości: a) prostokąt; b) kwadrat, c) trójkąt równoramienny, d) pięciokąt foremny. Rys. 4. Bryły z płaszczyznami symetrii wyznaczającymi Środek ciężkości: a) prostopadłościan; b) walec. Jeżeli dane ciało można podzielić na części, dla których w łatwy sposób można znaleźć (np. według zasady symetrii) współrzędne środka ciężkości to środek ciężkości takiego ciała można obliczyć korzystając z następującego wzoru:     [1] gdzie: Vi - długość (dla odcinków); pole powierzchni (dla figur); objętość (dla brył) i-tego elementu składowego ciała, któego środek ciężkości jest liczony. Pi - położenie środka ciężkości elementu i-tego. Jeżeli w danym ciele znajduje się pustka, możliwe jest wyznaczenie środka ciężkości tego ciała poprzez przyjęcie ujemnej wartości pola powierzchni lub objętości (w zależności od rodzaju obiektu) tejże pustki we wzorze [1]. Środek ciężkości trójkąta dowolnego Przy okazji rozwiązywania zadania 2 z działu Układy przestrzenne statycznie wyznaczalne liczony był środek ciężkości płyty trójkątnej z użyciem wzoru na środek ciężkości trójkąta [2].     [2] Środek ciężkości trójkąta dowolnego leży w odległości jednej trzeciej wysokości tego trójkąta licząc od boku, na który ta wysokość została spuszczona (rys 5). Powyższe stwierdzenie wynika właściwie z wzoru [2], aby tego dowieść należy przyjąć układ współrzędnych, dla którego oś X pokrywa się z danym bokiem trójkąta (jak na rysunku 5). W takim przypadku wzór [2] redukuje się dla współrzędnych Y-kowych do obliczenia jednej trzeciej wysokości tego trójkąta. Rys. 5. Wyznaczanie środka ciężkości trójkąta dowolnego. Ostatecznie więc uzyskuje się wzór na odległość środka ciężkości trójkąta dowolnego od dowolnego boku:     [3] Wzory obliczeniowe Istnieją wzory ogólne wyznaczające środek ciężkości brył, oraz figur płaskich. Wzory te mają następującą postać:     [4] [5]     [6] gdzie: ρ - gęstość, lub funkcja gęstości ciała (zazwyczaj przyjmuje się wartość 1); x, y, z - środek ciężkości elementarnej objętości V. Licznik wzorów [4], [5] i [6] to statyczny moment ciała względem płaszczyzny układu współrzędnych XYZ. Mianownik to masa danego ciała (w zasadzie jest to objętość, ale przemnożona przez ρ daje oczywiście masę). Zadanie 1 Wyznaczyć środek ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach h na b. Rys. 6. Rysunek pomocniczy. Rozwiązanie:     [7]     [8] gdzie: My - statyczny moment figury względem osi y układu współrzędnych [9] [10]     [11] Dla osi x liczenie tego samego nie ma sensu, ponieważ xc (przez analogię do obliczeń yc) jest równe:     [12] Zadanie 2 Wyznaczyć środek ciężkości wycinka okręgu o promieniu R kącie β i kącie położenia α. Rys. 7. Rysunek pomocniczy. Rozwiązanie: Tym razem całkowanie biegunowe, coby się nie przemęczać za bardzo z obliczeniami:     [13]     [14]     [15]     [16]     [17] Zadanie 3 Korzystając z wyprowadzonych wzorów [16], [17] wyznaczyć środek półokręgu z rysunku 8. Rys. 8. Rysunek pomocniczy. Rozwiązanie:     [18]     [19] Zadanie 4 Wyprowadzić wzór na środek ciężkości okręgu ściętego cięciwą jak na rysunku 9. Rys. 9. Rysunek pomocniczy. Rozwiązanie: Górna granica całkowania to R, natomiast dolna:     [20] a można wyznaczyć z następującej zależności:     [21] tak więc dolna granica całkowania wynosi:    [22] należy wyznaczyć wartość kąta α w zależności od kąta β:    [23] granice całkowania dla kąta Φ:   [24] Teraz można już przejść do głównej części zadania: [25] [26] [27] Ponieważ xc leży na osi y, nie ma sensu w tym przypadku liczyć dla niego środek ciężkości (zasada osi symetrii). Zadanie 5 Obliczyć środek ciężkości przekroju belki z rysunku 10. Rys. 10. Przekrój belki. Rozwiązanie: Rozwiązaniem będzie oczywiście całka po funkcji określającej krzywiznę przekroju belki: [28] [29] Zadanie 6 Obliczyć środek ciężkości zbioru linii z rysunku 11. Rys. 11. Zbiór linii. Rozwiązanie: Środek ciężkości zbioru linii można wyznaczyć korzystając z wzoru [1], tak więc:   [30]   [31] [32] Zadanie 7 Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 12 (należy skorzystać z wzoru [19] w celu określenia środka półokręgu). Rys. 12. Rysunek figury płaskiej. Dane: Rozwiązanie: Figura płaska z rysunku 12 ma oś symetrii, dlatego też przyjąć można położenie układu współrzędnych, tak aby oś y przechodziła przez środek symetrii. W ten sposób zadanie sprowadza się do znalezienia położenia środka ciężkości tylko na osi Y.     [33] Zadanie 8 Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 13. Rys. 13. Rysunek figury płaskiej. Dane: Rozwiązanie:     [34] Zadanie 9 Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 14. Rys. 14. Rysunek figury płaskiej. Dane: Rozwiązanie:     [35] Zadanie 10 Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 15. Rys. 15. Rysunek figury płaskiej. Rozwiązanie:     [36]     [37] Zadanie 11 Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 16. Rys. 16. Rysunek figury płaskiej. Rozwiązanie:     [38] Zadanie 12 Obliczyć środek ciężkości figury płaskiej z rysunku 17. Rys. 17. Rysunek figury płaskiej. Rozwiązanie:   [39] Zadanie 13 Wyznaczyć środek ciężkości stożka. Rys. 18. Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości stożka. Rozwiązanie: Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promienia R, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.   [40] Środek ciężkości stożka leży w odległości trzech czwartych jego wysokości licząc od wierzchołka. Zadanie 14 Wyznaczyć środek ciężkości stożka ściętego. Rys. 19. Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości stożka ściętego. Rozwiązanie: Należy znaleźć geometryczną zależność promienia r od promieni RD, RG, wysokości stożka H i położenia przekroju stożka z.     [41] Obliczenie masy obiektu o kształcie stożka ściętego:    [42] Obliczenie statycznego momentu bezwładności obiektu w kształcie stożka ściętego:     [43] Teraz ta łatwiejsza część zadania:     [44] Zadanie 15 Wyznaczyć środek ciężkości wycinka kuli. Rys. 20. Rysunek pomocniczy do obliczeń środka ciężkości wycinka kuli. Rozwiązanie: [45] [46]     [47] Wiedząc, że środek ciężkości bryły z osią symetrii leży w środku ciężkości przekroju tej bryły, przechodzącego przez oś jej symetrii wyznaczenie środka ciężkości wycinka kuli można obliczyć również ze wzorów [15], [17]. Zadanie 16 Obliczyć środek ciężkości wspornika z rysunku 21. Rys. 21. Rysunek wspornika. Rozwiązanie: Dziabnąć trzeba wspornik na dwa prostopadłościany o masie dodatniej i cztery walce o masie ujemnej. [48] [49] [50]

---