1.6 funkcje parzyste i nieparzyste
Wykazywanie parzystości funkcji
Przykład 1
Dowód:
Przykład 2
Dowód:
Przykład 3
Dowód:
Przykład 4
Dowód:
1.6 funkcje parzyste i nieparzyste
Wykazywanie nieparzystości funkcji
Przykład 1
Dowód:
Przykład 2
Dowód:
Przykład 3
Dowód:
Przykład 4
Dowód:
1.6 funkcje parzyste i nieparzyste
Badanie parzystości i nieparzystości funkcji
Przykład 1
Badanie:
Odp. Badana funkcja jest parzysta
Przykład 2
Badanie:
Odp. Badana funkcja jest nieparzysta
Przykład 3
Badanie:
Odp. Badana funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
1.8 funkcje monotoniczne
Wykazywanie, że funkcja jest rosnąca w podanym zbiorze
Przykład 1
Dowód:
Przykład 2
Dowód:
Przykład 3
Dowód:
1.8 funkcje monotoniczne
Wykazywanie, że funkcja jest malejąca w podanym zbiorze
Przykład 1
Dowód:
Przykład 2
Dowód:
Przykład 3
Dowód:
2.1 Podstawowe określenia
Przykład 1 Zbadać monotoniczność ciągu:
|
(∗) |
Badamy znak różnicy: an+1 − an
Wniosek: Ciąg określony wzorem (∗) jest rosnący.
Przykład 2 Zbadać monotoniczność ciągu:
|
(∗∗) |
Badamy znak różnicy: bn+1 − bn
Wniosek: Ciąg określony wzorem (∗∗) jest malejący.
2.2 Granice ciągów
Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że
Dowód: Mamy rozwiązać nierówność
względem n. Zatem:
Dla n>666 prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału (-1-0,001; -1+0,001) ⇔ (-1,001; -0,999)
Uwaga: Wyrażenie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” znaczy wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej liczby wyrazów.
2.2 Granice ciągów
Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że
Dowód: Mamy rozwiązać nierówność
względem n. Zatem:
co kończy dowód.
Przykład:
Dla n>5 prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od -27.
2.2 Granice ciągów
Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że
Dowód: Mamy rozwiązać nierówność
względem n. Zatem:
co kończy dowód.
Przykład:
Dla n>3 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od 34.
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 1 Wyznaczyć granicę ciągu:
Przykład 2 Wyznaczyć granicę ciągu:
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 3 Wyznaczyć granicę ciągu:
Przykład 4 Wyznaczyć granicę ciągu:
1) Zauważmy najpierw, że dla każdego n∈N mamy
2) Ponieważ
3) Stąd na podstawie twierdzenia o trzech ciągach, mamy
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 5 Wyznaczyć granicę ciągu:
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
Przykład 6 Wyznaczyć granicę ciągu:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 7 Wyznaczyć granicę ciągu:
Przykład 8 Wyznaczyć granicę ciągu:
Własność: (O zamianie podstawy logarytmu)
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 9 Wyznaczyć granicę ciągu:
Przykład 10 Wyznaczyć granicę ciągu:
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 11 Wyznaczyć granicę ciągu:
Przykład 12 Wyznaczyć granicę ciągu:
Własności: Dla każdego n∈N:
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 13 Wyznaczyć granicę ciągu:
Przykład 14 Wyznaczyć granicę ciągu:
Wskazówka:
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 15 Wyznaczyć granicę ciągu bez tw. o 3 ciągach:
Wskazówka:
Przykład 16 Wyznaczyć granicę ciągu z tw. o 3 ciągach:
1) Zauważmy najpierw, że dla każdego n∈N mamy
2) Stąd na podstawie twierdzenia o trzech ciągach:
2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów
Przykład 17 Wyznaczyć granicę ciągu:
Przykład 18 Wyznaczyć granicę ciągu:
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Iloraz wielomianów)
Przykład 1
Przykład 2
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Iloraz wielomianów)
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 5
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Wielomiany i potęgi)
Przykład 1
Przykład 2
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Potęgi)
Przykład 1
Przykład 2
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Iloraz wielomianów - granica funkcji w punkcie)
Przykład 1
Przykład 2
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Iloraz wielomianów - granica funkcji w nieskończoności)
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 3
Przykład 4
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Iloraz wielomianów - wzory skróconego mnożenia)
xn - an = (x - a)(xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + … + xan-2 + an-1)
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 5
Przykład 6
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Różnica pierwiastków stopni drugich)
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 3
Wskazówka: 
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Suma i różnica pierwiastków stopni trzecich)
Przykład 1
Przykład 2
Wskazówki: 
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Różnica pierwiastków stopni trzecich)
Przykład 3
Wskazówki: 
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Wielomian i różnica pierwiastków stopni drugich)
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 3
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Funkcje trygonometryczne - 1)
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 5
Wskazówki: 
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Funkcje trygonometryczne - Różnica pierwiastków st.2)
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 5
Przykład 6
Wskazówka: 
3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji
(Funkcje trygonometryczne - Różnica funkcji)
Przykład 1
Przykład 2
Wskazówki: 
- 2 -
- 24 -
Wyszukiwarka