1.6 funkcje parzyste i nieparzyste

Wykazywanie parzystości funkcji

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

Przykład 4

Dowód:

1.6 funkcje parzyste i nieparzyste

Wykazywanie nieparzystości funkcji

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

Przykład 4

Dowód:

1.6 funkcje parzyste i nieparzyste

Badanie parzystości i nieparzystości funkcji

Przykład 1

Badanie:

Odp. Badana funkcja jest parzysta

Przykład 2

Badanie:

Odp. Badana funkcja jest nieparzysta

Przykład 3

Badanie:

Odp. Badana funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta

1.8 funkcje monotoniczne

Wykazywanie, że funkcja jest rosnąca w podanym zbiorze

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

1.8 funkcje monotoniczne

Wykazywanie, że funkcja jest malejąca w podanym zbiorze

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

2.1 Podstawowe określenia

Przykład 1 Zbadać monotoniczność ciągu:

(∗)

Badamy znak różnicy: a_n+1 − a_n

Wniosek: Ciąg określony wzorem (∗) jest rosnący.

Przykład 2 Zbadać monotoniczność ciągu:

(∗∗)

Badamy znak różnicy: b_n+1 − b_n

Wniosek: Ciąg określony wzorem (∗∗) jest malejący.

2.2 Granice ciągów

Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że

Dowód: Mamy rozwiązać nierówność

względem n. Zatem:

Dla n>666 prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału (-1-0,001; -1+0,001) ⇔ (-1,001; -0,999)

Uwaga: Wyrażenie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” znaczy wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej liczby wyrazów.

2.2 Granice ciągów

Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że

Dowód: Mamy rozwiązać nierówność

względem n. Zatem:

co kończy dowód.

Przykład:

Dla n>5 prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od -27.

2.2 Granice ciągów

Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że

Dowód: Mamy rozwiązać nierówność

względem n. Zatem:

co kończy dowód.

Przykład:

Dla n>3 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od 34.

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 1 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 2 Wyznaczyć granicę ciągu:

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 3 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 4 Wyznaczyć granicę ciągu:

1) Zauważmy najpierw, że dla każdego n∈N mamy

2) Ponieważ

3) Stąd na podstawie twierdzenia o trzech ciągach, mamy

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 5 Wyznaczyć granicę ciągu:

a² - b² = (a - b)(a + b)

Przykład 6 Wyznaczyć granicę ciągu:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 7 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 8 Wyznaczyć granicę ciągu:

Własność: (O zamianie podstawy logarytmu)

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 9 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 10 Wyznaczyć granicę ciągu:

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 11 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 12 Wyznaczyć granicę ciągu:

Własności: Dla każdego n∈N:

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 13 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 14 Wyznaczyć granicę ciągu:

Wskazówka:

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 15 Wyznaczyć granicę ciągu bez tw. o 3 ciągach:

Wskazówka:

Przykład 16 Wyznaczyć granicę ciągu z tw. o 3 ciągach:

1) Zauważmy najpierw, że dla każdego n∈N mamy

2) Stąd na podstawie twierdzenia o trzech ciągach:

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 17 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 18 Wyznaczyć granicę ciągu:

2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu

(Iloraz wielomianów)

Przykład 1

Przykład 2

2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu

(Iloraz wielomianów)

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu

(Wielomiany i potęgi)

Przykład 1

Przykład 2

2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu

(Potęgi)

Przykład 1

Przykład 2

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Iloraz wielomianów - granica funkcji w punkcie)

Przykład 1

Przykład 2

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Iloraz wielomianów - granica funkcji w nieskończoności)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Iloraz wielomianów - wzory skróconego mnożenia)

xⁿ - aⁿ = (x - a)(x^n-1 + x^n-2a + x^n-3a² + … + xa^n-2 + a^n-1)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Różnica pierwiastków stopni drugich)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Wskazówka:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Suma i różnica pierwiastków stopni trzecich)

Przykład 1

Przykład 2

Wskazówki:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Różnica pierwiastków stopni trzecich)

Przykład 3

Wskazówki:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Wielomian i różnica pierwiastków stopni drugich)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Funkcje trygonometryczne - 1)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Wskazówki:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Funkcje trygonometryczne - Różnica pierwiastków st.2)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

Wskazówka:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Funkcje trygonometryczne - Różnica funkcji)

Przykład 1

Przykład 2

Wskazówki:

- 2 -

- 24 -