BADANIA OPERACYJNE II - PROGRAMOWANIE SIECIOWE
Przygotował: mgr inż. Piotr Betlej
Ćwiczenia 1
1.0. Wprowadzenie do przedmiotu
2.0. Historia zarządzania projektami
3.0. Klasyfikacja i zastosowania metod programowania sieciowego
4.0. Podstawowe pojęcia
5.0. Założenia modelu sieciowego
6.0. Etapy konstrukcji sieci
7.0. Ćwiczenia z konstrukcji sieci
1.0. Wprowadzenie do przedmiotu
Efektywne planowanie nie jest domeną współczesnego managera. Poganiani przez konkurencję i rosnące wymagania rynku pospiesznie przechodzimy bezpośrednio od pomysłów do ich realizacji. Ta swoista "pułapka aktywności" wiele nas kosztuje. Bez dobrego planu żaden projekt nie zakończy się sukcesem.
Alarmujące statystyki
Współczesne zarządzanie projektami datuje się od roku 1958, kiedy wynaleziono dwie metody sieciowego planowania zadań: PERT i CPM. Zapoczątkowało to na całym świecie dynamiczny rozwój domeny Project Management. Kierownicy projektów zaczęli tworzyć coraz bardziej skomplikowane sieci zadań i coraz doskonalsze modele wykorzystania zasobów. Wraz z doskonaleniem metod zarządzania projektami dokonywał się błyskawiczny postęp technologiczny, który wraz ze wzrostem konkurencyjności na globalnych rynkach tworzył coraz bardziej złożone i zmienne otoczenie dla realizowanych projektów. Pośpiech stał się podstawowym imperatywem decyzji managerów: zdążyć przed konkurencją, za wszelką cenę osiągnąć cel taniej i w krótszym czasie. Szczególnie łatwo podejście to przyjęło się w naszym kraju, mającym chlubne tradycje spontanicznych decyzji i wielkich zrywów i mniej chlubne - działania bez wyznaczonych celów i spójnego planu.
Uznane organizacje badające projekty realizowane na świecie, takie jak amerykańskie komisje Packarda i Heartha, Standish Group i AMR Research, publikują dziś alarmujące statystyki o wielkich kosztach niepowodzeń projektów, zwłaszcza realizowanych w obszarze nowych technologii. Tylko mniej niż jedna trzecia projektów IT osiąga wyznaczone cele w planowanym czasie i budżecie. Przystępowanie do projektów z góry skazanych na niepowodzenie przynosi w skali globalnej gospodarki straty trudne do oszacowania. Wskazuje się na różne przyczyny tej sytuacji, ale problemem podstawowym, rodzącym kolejne, jest z pewnością brak odpowiedniej analizy projektu na etapie inicjacji i powierzchowne traktowanie etapu planowania. Takie podejście na starcie projektu czyni bezużytecznymi najbardziej nawet zaawansowane narzędzia zarządzania harmonogramem, czy procedury zarządzania zmianą. Kosztownym błędem okazuje się powszechna dziś praktyka rozpoczynania projektu od przydzielania zadań i przystępowania do ich realizacji. Planuj, potem działaj - tą z pozoru oczywistą zasadę dziś przychodzi nam odkrywać na nowo.
Projekty rozpoczynają się od idei
Analizy przeprowadzonych projektów wskazują, że im bardziej przejrzysta i lepiej opisana jest wizja tego, co chcemy osiągnąć, tym większe są szansę na osiągnięcie celu. Na etap planowania powinna przypadać ponad połowa wysiłku w projekcie - twierdzą kierownicy projektów, którzy na własnych błędach przekonali się o słuszności tej tezy. Przystąpienie do realizacji projektu musi być poprzedzone analizą alternatywnych rozwiązań w zakresie struktury prac, definicji celów i kryteriów sukcesu planowanego przedsięwzięcia. Udziałowcy projektu muszą najpierw uzgodnić (i potwierdzić!) wspólną wizję celu i dróg do jego osiągnięcia. Przyjęcie optymalnych rozwiązań na starcie nie jest możliwe bez zespołowego wysiłku, trudnych kompromisów i wyrzeczeń, ale tylko taka droga pozwoli w znaczny sposób ograniczyć ryzyko klęski projektu.
Dlaczego więc tak mało wysiłku poświęca się zbudowaniu szczegółowego planu?
2.0. Historia zarządzania projektami
Działalność nosząca cechy projektów prowadzona była od początku cywilizacji. Z braku wiedzy o stosowanych sposobach zarządzania tymi pierwotnymi, choć wcale niebanalnymi, projektami nie można wskazać początku rozwoju tej dziedziny.
Główne etapy rozwoju zarządzania projektami tworzą następującą historię:
Przyjęto umownie, że pierwszym projektem, zarządzanymi zgodnie ze współczesnym pojęciem zarządzania projektami, była budowa kolei transkontynentalnej w USA (1870+).
Na przełomie XIX i XX wieku Frederick Taylor badając i optymalizując wydajność pracowników doszedł do wniosku, że każdą pracę można podzielić na mniejsze elementy, a najmniejszym z nich jest pojedynczy ruch.
W tym samym okresie (przełom XIX i XX w.) Henry Gantt opracował sposób graficznej prezentacji wielu różnych działań, wykonywanych w różnym czasie i składających się na złożone przedsięwzięcie - projekt.
W okresie II wojny światowej skutecznie zastosowano metody matematyczne do optymalizacji (metoda SIMPLEX) złożonych systemów i projektów militarnych oraz cywilnych. Metody te zostały po wojnie powszechnie stosowane w wielu zagadnieniach, stanowiąc podstawę nowej dziedziny: badania operacyjne.
W 1958 roku opracowano w USA dwie ważne metody sieciowego planowania projektów:
DuPont Inc. - metoda ścieżki krytycznej (CPM = Critical Path Method) stosowana do harmonogramowania projektów o zdeterminowanym czasie realizacji zadań składowych,
Lockheed Corporation - metoda PERT (Programm Evaluation and Review Technique), stosowana do harmonogramowania projektów z uwzględnieniem losowości czasu realizacji zadań składowych, stosowana początkowo do projektów badawczo-rozwojowych w sektorze militarnym (projekt rakiet balistycznych POLARIS).
Metody CPM i PERT zostały następnie rozwinięte i opracowano ogólniejsze modele planowania projektów metodami sieciowymi, na przykład metodę GERT (Graphical Evaluation and Review Technique).
W 1969 roku powstał w USA Project Management Institute (PMI), organizacja zrzeszająca profesjonalistów z zakresu zarządzania projektami. Jednym z celów PMI jest promowanie, doskonalenie i certyfikacja adeptów nowej profesji: kierownika projektów.Wiele organizacji (NASA, IBM, RAND Corporation, Bell Labs, DoD) zarządzało dużymi i złożonymi projektami, stosując i rozwijając różne metody. Uogólnienie tych doświadczeń pozwoliło wypracować metodykę postępowania zalecanego zwłaszcza dla dużych projektów. Projekty te zarządzane były przez nielicznych wówczas specjalistów, często zmieniających miejsce zatrudnienia.
Obecnie, oprócz dużych projektów (również o skali globalnej), występuje bardzo duża liczba projektów małych i średnich. Wynika to stąd, że współczesne organizacje, działając w warunkach dynamicznego i konkurencyjnego rynku, podejmują samodzielnie liczne projekty o bardzo zróżnicowanej wielkości. Projektami takimi muszą, z konieczności, zarządzać pracownicy danej organizacji. W ostatniej dekadzie zaobserwowano znaczący popyt na kierowników projektów i wzrost zainteresowania zarządzaniem projektami.
Znaczenie projektów w pracy dynamicznych organizacji i konieczność stosowania szczególnych metod zarządzania akcentuje się współcześnie pojęciem "zarządzanie przez projekty". Oznacza to zupełnie nowe podejście, polegające na stosowaniu metod typowych do zarządzania projektami również w organizacjach o przewadze działań operacyjnych.
3.0. Klasyfikacja i zastosowania metod programowania sieciowego
Metody programowania sieciowego to techniki planowania przedsięwzięć zapewniające sprawny przebieg ich wykonania. Obecnie istnieje wiele takich metod, często znacznie się od siebie różniących. Ze względu na strukturę logiczną metody sieciowe można podzielić na: sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej (sieci typu DAN - Deterministic Analysis Network) i stochastycznej (sieci typu GAN - Generalized Analysis Network).
Do typowych zastosowań planowania sieciowego przedsięwzięć zalicza się projektowanie zamierzeń na wielką skalę (programy kosmiczne, zbrojeniowe, uprzemysłowienia kraju itd.), oraz na mniejszą skalę - planowanie i kontrola prac budowlanych, remontowych, prac badawczych itp.
Deterministyczne metody - czasy trwania czynności są określone jednoznacznie.
Stochastyczne - czasy trwania czynności można określić tylko z pewnym prawdopodobieństwem.
4.0. Podstawowe pojęcia
Zarządzanie projektem jest to proces planowania, organizacji oraz zarządzania zadaniami i zasobami (ludzkimi, materiałowymi, sprzętowymi, finansowymi) w celu osiągnięcia zdefiniowanego celu, zwykle w ramach ograniczeń czasu, zasobów lub kosztu.
Projekt (przedsięwzięcie) - składa się z serii połączonych ze sobą czynności wykonywanych w celu uzyskania określonego celu, zwykle w ramach ograniczeń: czasu, zasobów i kosztu. Elementami składowymi projektu są zdarzenia i czynności.
Zdarzenie - w modelu sieciowym oznacza osiągnięcie stanu zaawansowania pracy przy realizacji projektu. Jest to moment rozpoczęcia lub zakończenia jednej lub kilku czynności. Zdarzenia przedstawiamy przy pomocy okręgów, prostokątów lub innych figur geometrycznych. Przykładowo:
Gdzie:
i - numer zdarzenia, i = 1, 2, 3, ...
t i - najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia i
Ti - najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia i
L i - zapas czasu dla zdarzenia i
Czas najkrótszy (najwcześniejszy moment zaistnienia zdarzenia o numerze 'i') , jest to najdłuższy czas przejścia od zdarzenia pierwszego do zdarzenia 'i'-tego.
Czas najdłuższy (najpóźniejszy moment zaistnienia zdarzenia), jest to różnica pomiędzy czasem krytycznym a najdłuższym czasem przejścia od tego zdarzenia do zdarzenia końcowego.
Czynność - dowolnie wyodrębniona część projektu charakteryzująca się czasem trwania i zużywaniem środków. Czynności przedstawiamy przy pomocy strzałek (wektorów) łączących zdarzenia. Kierunek strzałki przedstawia zależności między czynnościami. Czynność charakteryzuje para wskaźników i-j, gdzie i jest numerem zdarzenia, w którym czynność się rozpoczyna, a j - numerem zdarzenia w którym czynność się kończy.
Czynność pozorna - szczególny typ czynności, które nie zużywają czasu (jej czas trwania jest równy zeru) ani środków. Służą jedynie do przedstawienia zależności między czynnościami. Czynności pozorne przedstawiamy przy pomocy strzałek (wektorów) przerywanych.
5.0. Założenia modelu sieciowego
Zdarzenia początkowe nie mają czynności poprzedzających.
Zdarzenia końcowe nie mają czynności następujących po nich
Wykres sieciowy może mieć kilka początkowych i kilka końcowych zdarzeń i wówczas łączy się je czynnościami pozornymi w jedno zdarzenie początkowe i jedno zdarzenie końcowe.
Dane zdarzenie nie może nastąpić, dopóki nie zakończą się wszystkie czynności prowadzące do niego i warunkujące zajście tego zdarzenia.
Żadna kolejna czynność nie może się rozpocząć, dopóki nie zaistnieje zdarzenie kończące czynności poprzedzające.
Wektory czynności powinny być skierowane z lewej strony do prawej
Wykres sieciowy nie powinien mieć obiegów zamkniętych, tj. pętli łączących dwukrotnie te same zdarzenia.
Strzałki obrazujące czynności nie powinny się przecinać.
Dwa zdarzenia mogą być połączone tylko jedną czynnością. Jeżeli kilka czynności wykonywanych jest równolegle pomiędzy dwoma zdarzeniami to należy wprowadzić czynności pozorne.
Zdarzenia i czynności powinny być odpowiednio uporządkowane, tzn. każdy poprzednik ma mieć mniejszy numer lub wcześniejszą literę od następnika (zatem numerując zdarzenia należy zwracać uwagę na to, by zdarzenie wcześniejsze miało mniejszy numer i < j). Wymóg ten wyklucza wystąpienie cyklu (tzn. sytuacji, gdy wychodząc z jednego wierzchołka i poruszając się po krawędziach, można do tego samego wierzchołka wrócić.
6.0. Etapy konstrukcji sieci
1. Zdefiniowanie celu projektu i czasu jego realizacji
2. Wyodrębnienie listy czynności
Ustalenie logicznego następstwa poszczególnych czynności
Określenie parametrów czynności (czas, nakład, itp.)
Czynność |
Poprzednik |
Czas trwania |
a |
|
1 |
b |
|
2 |
c |
a, b |
3 |
hd |
a, b |
4 |
e |
c, d |
2 |
f |
e |
3 |
g |
e |
1 |
3. Wygenerowanie wykresu Gantta (graficznej interpretacji listy czynności).
4. Budowa diagramu sieciowego
5. Wyznaczenie ścieżki krytycznej.
6. Interpretacja wyników
Najkrótszy czas realizacji projektu.
Najpóźniejszy możliwy termin rozpoczęcia i zakończenia zadań .
Zapas czasu - slack (ilość czasu, z jaką wykonanie danej czynności może być opóźnione bez wywierania wpływu na datę zakończenia całego projektu).
Oczekiwany czas trwania czynności.
7. Obliczamy prawdopodobieństwo, że projekt zostanie ukończony zgodnie
z wyznaczonym czasem.
7.0. Ćwiczenia z konstrukcji sieci
Ćwiczenie 1
Na podstawie poniższych tabel narysować wykresy Gantta oraz sieciowe:
a)
Czynność |
Poprzednik |
Czas trwania |
a |
|
2 |
b |
a |
4 |
c |
b |
2 |
b)
Czynność |
Poprzednik |
Czas trwania |
a |
|
2 |
b |
|
2 |
c |
a |
2 |
d |
b |
3 |
e |
c, d |
5 |
Ćwiczenie 2
Firma PLANETA przenosi swoją siedzibę z Warszawy do Rzeszowa. Koordynacja tego przedsięwzięcia nie jest prosta, gdyż firma składa się z wielu działów. Należy określić, którzy pracownicy z Warszawy przeniosą się do Rzeszowa, jak wielu nowych pracowników należy zatrudnić, kto ich przeszkoli.
Czynność |
Opis czynności |
Poprzednik |
Czas trwania |
a |
wybranie miejsca na biuro |
|
3 |
b |
stworzenie planu finansowego i organizacyjnego |
|
5 |
c |
określenie potrzeb personalnych |
b |
3 |
d |
projekt wnętrza |
a, c |
4 |
e |
określenie ilości potrzebnego wyposażenia |
d |
8 |
f |
wybór personelu przeniesionego do nowego oddziału |
c |
2 |
g |
zatrudnienie nowych pracowników |
f |
4 |
h |
przeniesienie kluczowych pracowników do Rzeszowa |
f |
2 |
i |
zawarcie umów finansowych z osobą wynajmującą biura w Rzeszowie |
b |
5 |
j |
przeszkolenie nowego personelu |
e, f, g |
3
|
Polecenia:
Ustalić czas realizacji projektu
Narysować wykres Gantta
Narysować diagram sieciowy
Wyznaczyć ścieżkę krytyczną
Zinterpretować wyniki
Rozwiązanie
Wykres Ganita
Diagram sieciowy
Ćwiczenie 3
Uzupełnij diagram (numery zdarzeń, najwcześniejsze, najpóźniejsze możliwe terminy zaistnienia zdarzeń, zapas czasu dla zdarzeń i czynności) oraz wyznacz ścieżkę krytyczną:
Ćwiczenia dodatkowe
Na podstawie poniższej tabelki utwórz szkic diagramu sieciowego i wykres Gantta:
Czynność |
Poprzednik |
a |
|
b |
|
c |
a, b |
d |
a, b |
e |
c, d |
f |
e |
g |
e |
Na podstawie poniższej tabelki utwórz szkic diagramu sieciowego i wykres Gantta:
Czynność |
Poprzednik |
a |
|
b |
a |
c |
a |
d |
b |
e |
b |
f |
c, d, e |
g |
f |
h |
f |
Ćwiczenia 2
Metoda CPM
Ćwiczenie - rozwiązywanie zadania metodą CPM
Metoda PERT
Ćwiczenie - rozwiązywanie zadania metodą PERT
Ćwiczenia dodatkowe
Metoda CPM
Metoda CPM (Critical Path Method), zwana po polsku metodą drogi lub ścieżki krytycznej, pozwala na przeprowadzanie analiz czasów trwania oraz kosztów poszczególnych czynności wchodzących w skład danego projektu.
Typowy problem rozwiązywany metodą CPM polega na tym, że całe przedsięwzięcie należy wykonać po ustalonych kosztach w jak najkrótszym czasie. Jeżeli zachodzi potrzeba ukończenia projektu wcześniej, można tego dokonać ponosząc dodatkowe koszty. Problemy tego typu można rozwiązywać ręcznie lub dowolnym programem komputerowym szukania najdłuższej drogi.
Zdarzenie:
Gdzie:
i - numer zdarzenia, i = 1, 2, 3, ...
t i - najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia i
Ponieważ zdarzenie można uznać za zrealizowane dopiero wówczas, gdy zostaną zakończone wszystkie prowadzące do niego czynności, dlatego w przypadku gdy do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia tego zdarzenia jest równy maksymalnej z tak obliczonych wielkości, czyli:
Ti - najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia i
Po wyznaczeniu najwcześniejszych możliwych momentów zaistnienia poszczególnych zdarzeń obliczamy najpóźniejsze dopuszczalne momenty zaistnienia poszczególnych zdarzeń, zaczynając od zdarzenia końcowego i poruszając się w kierunku przeciwnym ze zwrotem strzałek. Aby przedsięwzięcie zrealizować w najkrótszym możliwym czasie przyjmuje się, że najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia końcowego jest równy najwcześniejszemu możliwemu terminowi jego zaistnienia 
. Wielkość tę wpisujemy arbitralnie w prawej ćwiartce zdarzenia końcowego, a następnie wyznaczamy najpóźniejsze dopuszczalne terminy dla wszystkich pozostałych zdarzeń. Najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia poprzedniego (i) obliczamy odejmując od najpóźniejszego dopuszczalnego terminu zdarzenia następnego (j) czas trwania czynności i-j. Jeżeli do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, wybieramy wielkość najmniejszą, czyli:
L i - zapas czasu dla zdarzenia i
Po wyznaczeniu najwcześniejszych możliwych i dopuszczalnych momentów zaistnienia zdarzeń (t oraz T), obliczamy zapasy czasu dla poszczególnych zdarzeń:
Zapas czasu zdarzenia jest różnicą między najpóźniejszym dopuszczalnym a najwcześniejszym możliwym terminem jego zaistnienia.
W celu wyznaczenia ścieżki krytycznej, należy znać także zapasy czasu dla czynności, które wyznacza się według wzoru:
Ścieżka krytyczna jest najdłuższą drogą w sieci (wszystkie czynności muszą być zakończone), a jej czas trwania (suma czasów kolejnych czynności leżących na ścieżce krytycznej) jest równa terminowi końcowemu. Należy zaznaczyć, iż w sieciach może występować więcej niż jedna ścieżka krytyczna.
Układ czynności na drodze krytycznej wskazuje, w jakiej kolejności powinny następować czynności krytyczne, aby czas wykonania całego przedsięwzięcia był najkrótszy. Znajomość czynności krytycznych ułatwia planowanie, kierowanie i koordynację realizacji przedsięwzięcia, ponieważ przekroczenie terminu zakończenia którejkolwiek czynności krytycznej powoduje opóźnienie wykonania całego projektu.
Warto jednak zaznaczyć, iż nie można wyłączyć spod kontroli czynności leżących poza ścieżką krytyczną. Ich opóźnienia bowiem nie mają wpływu na termin końcowy i ścieżkę krytyczną tylko wówczas, gdy opóźnienia te mieszczą się w granicach posiadanych zapasów czasu. Jeżeli natomiast zniknie zapas czasu dla jakiegokolwiek ciągu czynności niekrytycznych, natychmiast pojawi się nowa ścieżka krytyczna, która będzie wpływać na termin realizacji przedsięwzięcia. Ciągi czynności niekrytycznych, wykazujące nieznaczne zapasy czasu, określane są jako drogi podkrytyczne i przy analizie sieci czynności wymagają również szczególnej uwagi.
Ćwiczenia rozwiązywania zadań metodą CPM
Ćwiczenie 1
Na podstawie poniższej tabelki utwórz sieć przedstawiającą poniższy projekt i wykres Ganita, podaj ścieżkę krytyczną, najkrótszy czas trwania inwestycji
Czynność |
Czas trwania |
Poprzednik |
a |
X (1) |
- |
b |
3 |
A |
c |
7 |
A |
d |
4 |
B |
e |
2 |
D |
f |
5 |
C |
g |
2 |
C |
h |
1 |
C |
I |
3 |
F, G, H |
j |
1 |
E, I |
SIECI PERT
Metoda PERT (Program Evaluation and Review Technique) jest stochastyczną wersją metody CPM. Oznacza to, że czasy wykonywania poszczególnych czynności oraz czas realizacji całego przedsięwzięcia są zmiennymi losowymi. Przyjmuje się, że czasy te mają rozkład normalny. Ponieważ uzyskanie informacji ile wynoszą parametry rozkładu normalnego dla każdej czynności byłoby trudne, parametry te oblicza statystyk (lub komputer) przy użyciu następujących wzorów i na postawie następujących danych dostarczonych przez technologów:
- średni (oczekiwany) czas wykonania czynności:
- wariancja czasu trwania czynności:
gdzie:
a - czas optymistyczny trwania czynności (najkrótszy możliwy czas wykonania czynności),
b - czas pesymistyczny trwania czynności (najdłuższy przewidywalny czas wykonania czynności),
m - czas modalny, najbardziej prawdopodobny.
Parametry rozkładu czasu realizacji całego przedsięwzięcia (
, 
) oblicza się przez sumowanie po ścieżce krytycznej, wykorzystując twierdzenia o sumowaniu niezależnych zmiennych losowych (wolno sumować średnie i wariancje).
Średni czas realizacji danego przedsięwzięcia 
obliczamy sumując średnie czasy wykonania czynności znajdujących się na ścieżce krytycznej, którą znajdujemy analizując sieć i wyznaczając najdłuższą trasę z węzła początkowego do końcowego.
Wariancję 
czasu realizacji całego przedsięwzięcia obliczamy jako sumę wszystkich wariancji na ścieżce krytycznej (jako sumę wszystkich czynności leżących na ścieżce krytycznej). Następnie obliczamy odchylenie standardowe 
czasu wykonania całego przedsięwzięcia 
(odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi z wariancji).
Po wyznaczeniu 
oraz 
możemy określić, jakie jest prawdopodobieństwo, że przedsięwzięcie będzie zakończone w terminie 
. W tym celu musimy rozwiązać zadanie typu - oblicz 
dla rozkładu normalnego.
Rozwiązywanie rozpoczynamy od standaryzacji rozważanej zmiennej losowej:
Dla obliczonej statystyki 
z tablic rozkładu normalnego odczytujemy wartość dystrybuanty zmiennej losowej. Jest to nasze szukane prawdopodobieństwo ukończenia projektu w wyznaczonym terminie 
.
Ćwiczenie z konstrukcji sieci PERT
Dysponując poniższymi danymi:
czynność |
poprzednik |
a |
m |
b |
1 |
- |
4 |
8 |
12 |
2 |
1 |
3 |
6 |
9 |
3 |
1 |
3 |
6 |
12 |
4 |
1 |
3 |
6 |
9 |
5 |
2,4 |
15 |
20 |
25 |
Zbuduj model sieciowy przedsięwzięcia, wyznacz ścieżkę krytyczną oraz znajdź wariancję terminu końcowego.
Całe przedsięwzięcie chcemy ukończyć w terminie 32 dni. Podaj prawdopodobieństwo przekroczenia tego terminu.
Rozwiązanie
Obliczamy czas oczekiwany oraz wariancję dla każdej czynności.
|
|
Czas |
|
|
||
czynność |
poprzednik |
optymistyczny |
najbardziej prawdopodobny |
pesymistyczny |
Czas oczekiwany |
Wariancja |
1 |
- |
4 |
8 |
12 |
8 |
1,78 |
2 |
1 |
3 |
6 |
9 |
6 |
1,00 |
3 |
1 |
3 |
6 |
12 |
6,5 |
2,25 |
4 |
1 |
3 |
6 |
9 |
6 |
1,00 |
5 |
2,4 |
15 |
20 |
25 |
20 |
2,78 |
Rysujemy sieć czynności.
Wyznaczamy ścieżkę krytyczną: 1-2-5. Jej długość wynosi 34.
Oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia 
Wariancja czasu realizacji całego przedsięwzięcia wynosi
Odchylenie standardowe wynosi zatem 
Obliczamy prawdopodobieństwo ukończenia do 32 dni.
P(X<32)=???
Dla tej wartości statystyki 
wartość dystrybuanty o rozkładzie normalnym wynosi 0,8023.
Zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe 1 - 0,8023 = 0,197 czyli około 20%.
Ćwiczenie dodatkowe
Do wykonania przedsięwzięcia opracowano dwa warianty techniczne: A i B. Wybierz ten wariant, który gwarantuje większą szansę dotrzymania terminu dyrektywnego td = 48 dni.
Wariant A
Czynności i-j |
a |
m |
b |
1-2 |
13 |
14 |
15 |
1-3 |
5 |
10 |
15 |
1-4 |
7 |
10 |
19 |
2-3 |
2 |
2 |
2 |
2-5 |
10 |
10 |
10 |
3-6 |
20 |
21 |
22 |
3-7 |
4 |
16 |
16 |
4-7 |
5 |
20 |
23 |
5-8 |
5 |
8 |
11 |
6-8 |
12 |
12 |
12 |
7-8 |
18 |
18 |
30 |
Wariant B
Czynności i-j |
a |
m |
b |
1-2 |
17 |
20 |
20 |
1-3 |
14 |
14 |
14 |
1-4 |
1 |
5 |
15 |
2-5 |
2 |
10 |
12 |
3-6 |
17 |
18 |
25 |
3-7 |
15 |
15 |
15 |
4-7 |
2 |
5 |
14 |
5-8 |
18 |
20 |
28 |
6-8 |
14 |
15 |
22 |
7-8 |
18 |
21 |
24 |
Literatura
Artykuły:
Roman Zięba - Business Mapping - Skuteczne planowanie i kontrola realizacji projektu, Centerpoint http://www.centerpoint.pl
Książki:
Zbigniew Jedrzejczyk, Jerzy skrzypek, Karol Kukuła, Anna Walkosz - Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2002
i
t i
L i
T i
3 ( )
i
t i T i
L i
2 ( )
2 ( )
5 ( )
4 ( )
2 ( )
3 ( )
4 ( )
4 ( )
i
t i T i
L i
i
t i
L i
T i
Wyszukiwarka