Politechnika ślaska

Wydział Elektryczny

Studia zaoczne

semestr 1

Fizyka

wykłady

Wielkości fizyczne:

• skalarne: masa, czas, objętość,

• wektorowe: prędkość, przyspieszenie, siła.

Skalar, wielkość fizyczna (lub geometryczna) opisywana jedną liczbą (np. energia).

Wektor, uporządkowana para punktów [A, B], gdzie punkt A jest początkiem wektora a punkt B jego końcem. W interpretacji geometrycznej wektor to leżący na prostej i zawierający punkty A, B skierowany odcinek ([A, B]= - [B, A]) - kierunkiem wektora nazywa się kierunek tej prostej, zwrot określony jest przez kolejność punktów A i B.

Istnieje kilka sposobów notacji wektora:

[A, B] =
=
= a =
.

Składowymi wektora nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych jego końca i początku Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az, długość wektora jest długością odcinka AB (odległość). Wektorem przeciwnym do danego nazywany jest wektor o jednakowej długości i kierunku, lecz przeciwnym zwrocie. Wektor o jednostkowej długości jest wersorem. Wektory dzieli się na swobodne (tj. nie zmieniające się przy translacji) i zaczepione.

Dwa wektory swobodne dodaje się w ten sposób, że punkt początkowy drugiego przesuwa się równolegle do końca pierwszego - ich suma jest wektorem zaczynającym się w początku pierwszego a kończącym w końcu drugiego, składowe sumy wektorów są algebraicznymi sumami odpowiednich składowych wektorów pierwotnych.

Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego.

Mnożenie przez liczbę jest mnożeniem wszystkich składowych oddzielnie. Mnożenie dwóch wektorów określone jest dwojako, jako iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy.

Iloczyn skalarny.

Iloczyn wektorowy.

(rysunek jak wyżej)

Zjawiska fizyczne rozpatrujemy w kartezjańskim układzie współrzędnych, posiadającym trzy osie (x, y, z) do których są przyporządkowane wersory (i, j, k).

Prędkość, wektorowa wielkość fizyczna określająca zmianę położenia ciała w czasie. Chwilową prędkość ciała określa wzór: =dr/dt, gdzie: r - wektor położenia ciała. Średnią prędkość oblicza się dzieląc przebytą drogę przez czas.

W fizyce klasycznej obowiązuje prawo składania prędkości będące konsekwencją przekształcenia Galileusza: jeśli dwa ciała poruszają się z prędkościami odpowiednio równymi v1 i v2, to względna ich prędkość jest równa v1 - v2.

W mechanice relatywistycznej, jak wynika z transformacji Lorentza, względną prędkość oblicza się w ogólnym przypadku ze wzoru:

gdzie: c - prędkość światła w próżni. Dla ruchów zachodzących w jednym kierunku wzór ten upraszcza się do wyrażenia:

W układzie SI jednostką prędkości jest m/s.

Prędkość w układzie kartezjańskim

Prędkość w układzie biegunowym

Prędkość kątowa, wielkość wektorowa (pseudowektor) opisująca ruch obrotowy ciała, określona wzorem: = = d/dt, gdzie: d - elementarny skierowany kąt płaski opisujący obrót ciała w chwili dt wokół chwilowej osi obrotu.

Wektor prędkości kątowej skierowany jest równolegle do chwilowej osi obrotu ciała, przy czym jego zwrot (zgodnie z konwencją) wybiera się tak, by ciało oglądane ze strony, w którą wskazuje zwrot, obracało się przeciwnie do kierunku obrotu wskazówek zegara. Jednostką prędkości kątowej jest radian/s.

Prędkość światła, c, fundamentalna stała fizyki. Jest to prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w próżni. W układzie jednostek SI prędkość światła powiązana jest z dwiema innymi stałymi przyrody: dielektryczną stałą dla próżni o oraz przenikalnością magnetyczną dla próżnini o zależnością:

C jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (jest jednakowa w każdym układzie odniesienia). Wynosi c = 2997924581,2 m/s. C to największa prędkość przekazu informacji lub energii. W ośrodku materialnym prędkość światła zależy od długości fali (zjawisko dyspersji), wówczas prędkość fazowa światła równa jest c/n, gdzie: n - współczynnik załamania światła (dla danej długości fali).

Pierwszy prędkość światła zmierzył O. Rřmer (1673) wykorzystując obserwacje momentów zaćmień przez Jowisza jego księżyców. Momenty zaćmień rejestrowane na Ziemi różnią się od równomiernie następujących maksymalnie o ok. 1000 s, co wynika ze zmian w odległości Ziemi od Jowisza i skończonej wartości c. Römer uzyskał wynik c = 215 000 km/s.

Pomiar prędkości światła metodą badania aberracji (astronomicznej) światła przeprowadził w 1735 J. Bradley, uzyskał on wynik c = 303 000 km/s. W 1849 A.H.L. Fizeau przeprowadził pierwszy laboratoryjny pomiar prędkości światła.

W eksperymencie tym wiązka światła pada na szybko rotującą tarczę z równomiernie rozłożonymi na obwodzie n szczelinami i n przesłonami, a następnie światło przepuszczone przez szczelinę, odbija się od lustra znajdującego się w odległości l i pada ponownie na tarczę. Przy pewnej częstości obrotów f światło odbite powraca przez sąsiedni otwór, wtedy c = 4lfn.

Fizeau uzyskał wartość c = 299 860  80 km/s (n = 720, f = 12,6 obr/s, l = 8633 m). Obecne pomiary przeprowadza się zazwyczaj korzystając z udoskonalonej metody Fizeau.

Prędkość dźwięku, prędkość rozchodzenia się fal dźwiękowych w danym ośrodku. Ma duże znaczenie w lotnictwie ze względu na istnienie bariery dźwięku.

W związku ze spadkiem temperatury i ciśnienia atmosferycznego prędkość dźwięku maleje ze wzrostem wysokości lotu (o 10 km/h co 696 m wysokości) i wynosi przy ziemi 1224 km/h, a 1066 km/h na wysokości 11 000 m, powyżej której już nie maleje.

Droga - długość odcinka toru (skalar).

Przyspieszenie

- wzór Coriolisa

- przyspieszenie styczne,
- przyspieszenie normalne.

Grawitacji stała, G, fundamentalna stała fizyczna pojawiająca się w równaniach opisujących pole grawitacyjne (zarówno w ujęciu I. Newtona, jak A. Einsteina).

G = 6,6732(31)10-11m-3kg-1s-2.

Pierwszy wyznaczył (stosując wagę skręceń) stałą G H. Cavendish, stąd jest ona czasem nazywana stałą Cavendisha.

Oddziaływanie grawitacyjne, grawitacja, ciążenie powszechne, jedno z fundamentalnych oddziaływań fizycznych. Zachodzi pomiędzy ciałami posiadającymi masę (masa grawitacyjna).

Klasyczna teoria grawitacji została opracowana przez I. Newtona w 1687. Teoria Newtona poprawnie opisuje słabe pola grawitacyjne. Ściślej zjawiska grawitacyjne opisuje einsteinowska ogólna teoria względności (OTW, 1916).

W ujęciu Newtona, w odległości r od ciała o masie M istnieje grawitacyjne pole potencjalne o potencjale  danym skalarną funkcją:

=-grad GM/r

gdzie G grawitacji stała. Każde ciało posiadające masę umieszczone w tym polu nabywa przyspieszenie g dane wzorem

g = -grad

siła jaką działa ciało I (o masie M) na oddalone o r, ciało II (o masie m) wynosi

F=-gMmr/r3.

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona identyczną co do wartości lecz przeciwnie skierowaną siłą działa ciało II na I.

Prawo powszechnego ciążenia jest uogólnieniem praw rządzących obrotem planet wokół Słońca. Newton odkrył je analizując prawa Keplera. Siły grawitacyjne są na ogół bardzo słabe, wg teorii Newtona oddziaływania grawitacyjne rozchodzą się z nieskończoną prędkością: zmiana położenia jakiegoś ciała wywołuje natychmiastową zmianę położeń wszystkich innych ciał we Wszechświecie, tego typu oddziaływanie jest niezgodne z postulatem teorii względności, który głosi, że maksymalną prędkością rozchodzenia się oddziaływań fizycznych jest prędkość światła c.

W ujęciu Einsteina siły grawitacyjne są analogiczne do sił bezwładności (tzw. zasada równoważności Einsteina). Zgodnie z tym przyspieszenie oraz siły grawitacyjne są efektem czysto geometrycznym, pojawiają się na skutek zakrzywienia przestrzeni. Podstawowymi pojęciami charakteryzującymi pole grawitacyjne w tym ujęciu są: tensor krzywizny Riemanna:

zastępujący siłę grawitacji i wyrażony przez symbole Christoffela oraz tensor metryczny g grający podobną rolę jak potencjał w ujęciu klasycznym.

Pierwszym sukcesem teorii Einsteina było wyjaśnienie tzw. nadwyżki ruchu peryhelium Merkurego oraz przewidywania potwierdzone obserwacyjnie dotyczące krzywoliniowego rozchodzenia się światła w polach grawitacyjnych. Trwają poszukiwania doskonalszej teorii grawitacji, uwzględniającej kwantową naturę pól fizycznych.

Objętość ciała, miara przestrzeni zajmowanej przez ciało (liczba rzeczywista nieujemna). W przypadku przestrzeni trójwymiarowej objętość ciała V wyraża się wzorem:

gdzie całkowanie odbywa się po obszarze zajętym przez ciało.

Jednostką objętości ciała w układzie SI jest m3, inne jednostki: litr (dm3), cm3, km3, galon itd.

Dla ciał o wysokiej symetrii objętość ciała oblicza się korzystając ze szczegółowych wzorów, np. objętość kuli o promieniu r równa jest:

V=4/3r3

dla prostopadłościanu o długościach boków a, b, c:

V=abc

dla graniastosłupa (i walca) o polu podstawy S i wysokości h:

V=Sh

dla ostrosłupa (i stożka) o polu podstawy S i wysokości h:

V= 1/3Sh

dla brył obrotowych utworzonych przez obrót krzywej y=f(x) wokół osi OX pomiędzy płaszczyznami x=a i x=b:

Galon (gallon), Gal, anglosaska jednostka objętości. 1 Gal (angielski, inaczej: imperialny) = 4,54609 dm3, 1 Gal USA = 3,78541 dm3.

Mol, gramocząsteczka, jednostka ilości, precyzyjniej liczności cząstek, należąca do układu jednostek SI, stosowana powszechnie w chemii. 1 mol danej substancji jest taką liczbą jej cząsteczek, która jest równa liczbie atomów zawartych w (dokładnie) 12 gramach nuklidu węgla12C. Liczba ta jest nazywana liczbą Avogadra.

Pojęcie mola bywa również używane jako synonim masy molowej.

Liczność cząstek, n, miara liczby cząstek (np. cząsteczek, atomów, jonów, elektronów, cząstek koloidalnych, ziarenek piasku) zawartych w danej próbce lub uczestniczących w danym procesie. Liczność cząstek jest jedną z wielkości podstawowych w układzie jednostek SI.

Jednostką liczności cząstek w układzie SI jest mol (stąd w potocznym języku chemików mówi się, np. dla danej substancji, o liczbie jej moli, zamiast o jej liczności cząstek). Za jednostki liczności cząstek z języka potocznego można uważać np. tuzin (= 12 sztuk) lub gros (= 12 tuzinów).

Nuklid, atom pierwiastka określony za pomocą liczby masowej, liczby atomowej i poziomu wzbudzenia.

Liczba Avogadra, stała Avogadra, NA, liczba cząstek (np. cząsteczek, atomów, jonów, elektronów) w jednym molu dowolnej substancji: NA = 6,0221371023 mol-1, czyli nieco ponad 600 000 trylionów sztuk.

Masa molowa, masa jednego mola danych cząstek. Najczęściej stosowaną jednostką masy molowej jest g/mol. Masa molowa jest taką liczbą g danej substancji (danych cząstek), która jest co do wartości równa jej względnej masie cząsteczkowej (dla pierwiastka - masie atomowej, dla jonu - masie jonowej).

Dawniej masę molową nazywano gramocząsteczką, inaczej gramodrobiną (dla związków chemicznych), gramoatomem (dla pierwiastków) i gramojonem (dla jonów).

Masa atomowa (często niepoprawnie: ciężar atomowy), liczba określająca, ile razy masa średniego atomu danego pierwiastka (tj. dla naturalnej mieszaniny izotopów danego pierwiastka) jest większa od pewnej masy wzorcowej: jako masę wzorcową przyjmuje się 1/12 masy atomu izotopu 12C (tzw. skala węglowa) lub (dawniej) 1/16 masy atomu izotopu 16O (tzw. skala tlenowa).

Analogiczna wielkość dla cząsteczki nosi miano masy cząsteczkowej. Masa atomowa dla separowanych izotopów nazywa się masą izotopową lub nuklidową.

Masa, w fizyce klasycznej wielkość addytywna (addytywność) będąca miarą bezwładności ciała (masa bezwładna, bezwładność) lub źródłem pola grawitacyjnego (masa grawitacyjna, grawitacja).

Równość obu rodzajów mas (równoważności zasada) udowodnił doświadczalnie R. von Eotvos (1894, wcześniej, lecz ze znacznie mniejszą dokładnością, wykazali to I. Newton oraz F. Bessel).

W ujęciu współczesnej fizyki masa ciała jest tylko w przybliżeniu wielkością addytywną, jest jedną z form występowania energii (energia wiązania, defekt masy), związek ten wyraża równość E=mc2, gdzie E - całkowita energia ciała, m - jego masa (masa relatywistyczna), c - prędkość światła w próżni.

Z równości powyższej wynika wzrost masy ciała wraz ze wzrostem prędkości v poruszania się ciała (łatwo obserwowany np. w cyklotronach) opisany równaniem:

gdzie mo jest masą spoczynkową ciała (tj. odpowiada masie ciała zmierzonej w inercjalnym układzie odniesienia, względem którego ono spoczywa).

W ogólnej teorii względności rozkład mas w przestrzeni określa geometrię tej przestrzeni (metryka przestrzeni). W formalizmie mechaniki kwantowej obserwowane masy są wartościami własnymi odpowiedniego operatora. Dla cząstek elementarnych wyróżnia się czysto teoretyczną masę cząstki "gołej" (zazwyczaj zerową) i efektywną, obserwowaną masę ("ubraną") cząstki, wynikającą z masy "gołej" cząstki oraz uwzględnienia oddziaływania z polami fizycznymi obecnymi w próżni (higgson), jak również samooddziaływania cząstki.

Ciężar właściwy, dla ciała jednorodnego - stosunek ciężaru ciała P do jego objętości V. Zależy od temperatury i ciśnienia.

Bezwładność, inercja, właściwość ciał materialnych. Miarą bezwładności ciała w ruchu postępowym jest jego masa (masa bezwładna), a w ruchu obrotowym - moment bezwładności.

Moment bezwładności, miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Charakteryzuje rozkład masy w ciele. Moment bezwładności ciała względem osi z nazywane jest wyrażenie:

gdzie mi - masy elementów ciała odległe każda o ri od osi z

Dla ciągłego rozkładu masy w ciele sztywnym moment bezwładności definiowany jest wzorem całkowym:

gdzie: ρ - funkcja opisująca gestość ciała, V - objętość ciała, dV - element objętości, r - odległość elementu dV od osi z.

Energia w ruchu obrotowym ciała sztywnego opisana jest wzorem: E=(I2)/2. Moment bezwładności względem osi z' równoległej do z, odległej od niej o D wyraża się wzorem:

Iz=Iz'+MD2

gdzie: M - masa ciała, jest to tzw. twierdzenie Steinera, podane przez matematyka szwajcarskiego J. Steinera.

Zdefiniowane powyżej momenty bezwładności są wielkościami skalarnymi, w ogólnym przypadku moment bezwładności jest tensorem trzeciego rzędu, wyrazy na przękątnej (w reprezentacji macierzowej tensora) są momentami bezwładności obliczonymi względem trzech wzajemnie prostopadłych osi przedmiotu, np.:

lub - dla ciągłego rozkładu masy - odpowiedni wzór całkowy), wyrazy poza przekątną nazywane momentami odśrodkowymi zdefiniowane są następująco (lub przez odpowiednie wzory całkowe):

Znając składowe tensora momentu bezwładności możliwe jest obliczenie momentu bezwładności względem dowolnej prostej l przechodzącej przez początek układu współrzędnych x,y,z, wówczas:

Il=Ixx2+Iyy2+Izzγ-2Ixy-2Iyzγ-2Izxγ

gdzie , , γ cosinusy kierunkowe tej prostej (bezwładności elipsoida).

Siły bezwładności, pozorne siły działające na ciała fizyczne w nieinercjalnych układach odniesienia (styczna siła bezwładności, siła odśrodkowa, siła Coriolisa). Liczbowo siły bezwładności równe są iloczynowi masy i odpowiedniego przyspieszenia, a skierowane przeciwnie niż siła wymuszająca ruch.

Siła dośrodkowa, składowa wypadkowej sił działających na dane ciało, prostopadła do kierunku chwilowego ruchu ciała (wektora prędkości), równa iloczynowi masy i przyspieszenia dośrodkowego (przyspieszenie). Siła dośrodkowa wywołuje zmianę kierunku ruchu.

Siła odśrodkowa, jedna z pozornych sił bezwładności, liczbowo równa co do modułu sile dośrodkowej działającej na ciało, lecz przeciwnie skierowana.

Cosinusy kierunkowe, w przestrzeni trójwymiarowej mamy zdefiniowany układ kartezjański x,y,z oraz punkt P(Px,Py,Pz) określony przez wektor wodzący o długości r. Liczby X = Px/r, Y = Py/r, Z=Pz/r nazywamy cosinusami kierunkowymi punktu P w układzie x,y,z. Są one cosinusami kątów zawartych między promieniem wodzącym punktu P a poszczególnymi osiami układu.

We współrzędnych biegunowych X=cos cos, Y = cos sin, Z = sin, gdy  - kąt pomiędzy osią 0x a rzutem promienia wodzącego r na płaszczyznę xy,  - kąt pomiędzy płaszczyzną xy a promieniem wodzącym r.

Obrotowy ruch, ruch ciała wokół chwilowej osi obrotu. Dla ciała sztywnego ruch obrotowy opisują kąty Eulera.

Dynamikę ruchu obrotowego charakteryzuje moment pędu J, moment bezwładności I, chwilowa prędkość kątowa , przyspieszenie kątowe d/dt, moment sił D.

Odpowiednikiem II zasady dynamiki (Newtona zasady dynamiki) dla ruchu obrotowego jest równanie:

Względności teoria ogólna, OTW, współczesna teoria grawitacji, tłumacząca zjawiska grawitacyjne geometrycznymi własnościami zakrzywionej czasoprzestrzeni. Jej podstawowe idee (wynikające z rozważań nad zasadą równoważności oraz z dążenia do uniezależnienia opisu zjawisk od układu odniesienia) sformułował A. Einstein (1916).

OTW oparta jest na czterech postulatach:

1) czasoprzestrzeń zgodna jest lokalnie ze szczególną teorią względności, tj. w każdym dostatecznie małym otoczeniu każdego punktu może ona być przybliżona przez płaską czterowymiarową przestrzeń Minkowskiego.

2) czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią topologiczną, różniczkowalną i spójną - w każdym jej punkcie określone są metryczny tensor g (i interwał czasoprzestrzenny ds = {gdxdx}1/2) oraz jej krzywizna (w sensie Riemanna) wyrażona przez tensor Riemanna

gdzie  z indeksami górnymi i dolnymi oznacza symbol Christoffela (Christoffela symbole).

3) tensor metryczny g spełnia równanie pola Einsteina: R - gR/2 = (8G/c4)Tb, gdzie: R - tensor Ricciego równy zwężonemu (posiadającemu powtórzone indeksy) tensorowi Riemanna Rσσ, R - skalar krzywizny równy gR, T - tensor energii-pędu układu, G - klasyczna stała grawitacji, c - prędkość światła w próżni. Lewa strona równania Einsteina zapisywana jest często jako tzw. tensor Einsteina G. W oryginalnym sformułowaniu teorii prawa strona równania uzupełniona była o tzw. człon kosmologiczny, usunięty później jako niefizyczny (Wszechświata modele).

4) linie świata cząstek próbnych (tj. cząstek posiadających energię wpływającą w stopniu znikomym na krzywiznę przestrzeni) są geodetykami (geodetyka) w czasoprzestrzeni.

Równanie pola Einsteina jest zwięzłym zapisem układu sześciu niezależnych nieliniowych równań różniczkowych drugiego rzędu, w którym niewiadomą są składowe tensora metrycznego, określone poprzez rozkład energii (masy) i pędu układu (tensor T). Oznacza to że rozkład masy, energii i pędu układu materialnego odpowiada za zakrzywienie czasoprzestrzeni (poglądową analogią może być tu zakrzywienie elastycznej membrany po umieszczeniu na niej masywnego przedmiotu), które w klasycznej fizyce odbierane jest jako pojawienie się pola potencjału siły centralnej.

Pierwszymi doświadczalnymi dowodami prawdziwości OTW były: wyjaśnienie tzw. nadwyżki ruchu peryhelium orbity Merkurego (a później również analogicznego ruchu dla Wenus i Ziemi) oraz stwierdzenie zakrzywienia biegu promieni światła gwiazd w czasie zaćmienia Słońca. Kolejne potwierdzenie przyniosło odkrycie soczewkowania grawitacyjnego i badanie układu podwójnego z pulsarem (J.H. Taylor). OTW przewiduje istnienie fal grawitacyjnych i czarnych dziur. Pozwala też konstruować naukowe modele Wszechświata jako całości (kosmologia). Nie jest ona teorią kwantową, przez co stoi w pewnej opozycji do współczesnej fizyki. Trwają poszukiwania kwantowej teorii grawitacji.

Równoważności zasada, w fizyce teoretycznej analogia pomiędzy ruchem swobodnym ciał w nieinercjalnym układzie odniesienia a ruchem w polu grawitacyjnym (w obu przypadkach przyspieszenia nie zależą od masy ciała).

Jej skutkiem jest równoważność masy grawitacyjnej i masy bezwładnej ciała (masa). Zasada równoważności stanowi zalążek ogólnej teorii względności.

Keplera prawa, trzy prawa sformułowane przez J. Keplera, opisujące ruch planet w Układzie Słonecznym:

I prawo Keplera: planety poruszają się po orbitach eliptycznych, przy czym Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy.

II prawo Keplera: dla danej planety stałą wielkością jest jej tzw. prędkość polowa (tj. pole powierzchni figury ograniczonej łukiem elipsy zakreślanym przez planetę w jednostce czasu i odległościami od końców łuku do ogniska).

III prawo Keplera: kwadraty okresów obiegów planet wokół Słońca są proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.

Nieinercjalny układ odniesienia, fizyczny układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I zasada dynamiki Newtona: np. układ związany z obracającym się ciałem (w szczególności układ związany z Ziemią) lub ciałem poddanym przyspieszeniom liniowym. Przeciwieństwo układu odniesienia inercjalnego. W nieinercjalnym układzie odniesienia obserwuje się np. siłę Coriolisa, siłę odśrodkową, inne siły bezwładności.

Coriolisa siła, jedna z sił bezwładności działająca na ciało znajdujące się w nieinercjalnym (tu: obracającym się) układzie odniesienia,

Fcor = -2m v,

gdzie m - masa ciała,  - wektor prędkości kątowej obracającego się układu, v - wektor prędkości liniowej ciała mierzony w obracającym się układzie odniesienia.

Siła Coriolisa spowodowana dziennym ruchem obrotowym działa na poruszające się poziomo na Ziemi ciała, osiągając największe wartości na biegunach (przy ruchu poziomym wektory  i v są prostopadłe, niezależnie od kierunku v), a jej składowa pozioma zanika na równiku.

Na półkuli północnej powoduje odchylanie się poruszających się poziomo ciał na prawo (odpowiedzialne np. za intensywniejsze podmywanie prawych brzegów rzek), a na półkuli południowej - w lewo.

Siła Coriolisa działa na spadające swobodnie ciała, odchylając je od pionu w kierunku wschodnim. Siła działająca na jednostkową masę nazywa się przyspieszeniem Coriolisa. Jej istnienie zauważył Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843), francuski matematyk.

Christoffela symbole, symbole [mn,r] oznaczające funkcje współczynnika gmn i jego pochodnych cząstkowych:

[mn,r] = 1/2(∂gmr/∂xn+∂gnr/∂xm - ∂gmn/∂xr).

Symbole Christoffela służą do prostego przedstawiania pochodnych kowariantnych tensorów, występują w określaniu tensora krzywizny przestrzeni Riemanna, znalazły więc zastosowanie w aparacie matematycznym ogólnej teorii względności.

Tensor, obiekt geometryczny, uogólnienie skalara i wektora. Podstawowym czynnikiem klasyfikującym tensory jest reguła transformacyjna przy zmianie układu odniesienia (przekształceniu ciągłym, różniczkowalnym i wzajemnie jednoznacznym) oraz jego rząd, czyli liczba wskaźników niezbędnych do jego scharakteryzowania (tensor pierwszego rzędu reprezentowane są przez obiekty jednowymiarowe - jednokolumnowe lub jednowierszowe tablice liczb, drugiego rzędu przez tablice dwuwymiarowe itp.). Jeśli zmiana układu odniesienia nie prowadzi do zmiany tensora, jest on skalarem lub niezmiennikiem (niezmienniczość).

Wektorem kontrawariantnym (na mocy konwencji posiadającym wskaźniki u góry) jest tensor pierwszego rzędu, podlegającym regule transformacji

ai' = (∂xi'/∂xi)ai

(symbole ze znakiem prim wskazują na nowy układ odniesienia). Wektor kowariantny, będący również tensorem pierwszego rzędu (wskaźniki u dołu), podlega regule transformacyjnej:

ai' = (∂xi'/∂xi)ai.

Analogicznie definiuje się tensory wyższych rzędów: kowariantne, kontrawariantne i mieszane (posiadające część składowych kontrawariantnych, a część kowariantnych, tym samym część wskaźników w indeksie górnym, część w dolnym). Walencją tensora nazywa się parę liczb (n, m), z których pierwsza określa liczbę składowych kontrawariantnych, a druga liczbę składowych kowariantnych, np. prawo transformacji tensora mieszanego R o walencji (1,2) ma postać:

Ri'j'k' =


(∂xi'/∂xi)(∂xj/∂xj')(∂xk /∂xk')Rijk.

Tensor jest symetryczny względem dwóch wskaźników, gdy zamiana miejscami tych wskaźników nie zmienia wartości tensora, antysymetryczny zaś, gdy zamiana taka zmienia jego znak.

Energia, podstawowa wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu, energia jest wielkością skalarną, addytywną i zachowywaną (zasada zachowania energi ). Energia jest przekazywana w oddziaływaniach fizycznych, ale nie znika i nie może powstawać ex nihilo.

Występuje w różnych postaciach w opisie zjawisk fizycznych (jako energia: mechaniczna, kinetyczna, potencjalna, cieplna, chemiczna, elektryczna, promieniowania, jądrowa, spoczynkowa itp.). Energię wyraża się obecnie w dżulach (J), dawniej stosowano ergi(erg).

Energia kinetyczna, energia mechaniczna związana z ruchem ciała (postępowym lub obrotowym). W przybliżeniu nierelatywistycznym (w fizyce klasycznej) energia kinetyczna ruchu postępowego ciała dana jest wzorem Ek=mV2/2 lub równoważnie Ek= p2/2m, gdzie Ek - energia kinetyczna, m-masa ciała, V-jego prędkość, p-pęd ciała.

W ujęciu relatywistycznym tylko drugie wyrażenie określające energię kinetyczną dalej obowiązuje, przy czym masa ciała jest wówczas masą relatywistyczną ciała.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego Er w ujęciu klasycznym dana jest wzorem: Er=I2/2, gdzie I moment bezwładności ciała względem osi chwilowego obrotu,  chwilowa prędkość kątowa obrotu ciała wokół tej samej osi.

Energia potencjalna, określona z dokładnością do stałej energia mechaniczna układu ciał zanurzonych w polu sił, wynikająca z konfiguracji (rozmieszczenia) tych ciał.

Równa jest pracy, jaką musiałyby wykonać zewnętrzne siły, aby uzyskać aktualną konfigurację ciał, wychodząc od innej konfiguracji, dla której arbitralnie przyjmujemy energię potencjalną równą zero.

Energii zachowania zasada, jedna z podstawowych zasad fizyki mówiąca, że w każdym izolowanym układzie fizycznym całkowita suma energii jest stała (nie zmienia się w czasie).

Dżul, J, jednostka pracy, energii i ilości ciepła. 1 J = 1Nm = 1Ws.

Praca, 1) w dynamice skalarna wielkość fizyczna L zdefiniowana wzorem:

gdzie: F - siła działająca na ciało, wykonująca pracę wzdłuż drogi S, ds - nieskończenie mały wektor styczny w każdym miejscu do drogi S.

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul, dawniej stosowanymi jednostkami były erg i kilogram-siła razy m.

2) w termodynamice, wielkość fizyczna równa energii, jaką układ termodynamiczny oddaje otoczeniu zmieniając jednocześnie parametry opisujące jego stan. Maksymalną pracę wykona układ izolowany cieplnie w procesie izoentropowym. Jednostką pracy

termodynamicznej jest dżul (dawniej kaloria).

Siła, F, wielkość wektorowa określająca wzajemne mechaniczne oddziaływanie ciał (oddziaływanie to może zachodzić bezpośrednio lub za pośrednictwem pól fizycznych).

Jednostką siły w układzie SI jest niuton.

Siły fizyczne można podzielić na fundamentalne (oddziaływania fizyczne), niefundamentalne (np. siła tarcia, siła aerodynamiczna itp.) oraz pozorne (siły bezwładności).

Pęd, p, podstawowa wielkość dynamiczna służąca do opisu ruchu. Pęd jest wektorem, wyraża się wzorem:

p = mv,

gdzie: p - pęd, m - masa, v - prędkość ciała. Pęd układu punktów materialnych jest sumą wektorową pędów wszystkich punktów układu.

W układzie izolowanym całkowity pęd jest zachowany (pędu zasada zachowania), a jego zmianę może wywołać zewnętrzna siła.

Pędu zasada zachowania, jedna z podstawowych zasad fizycznych. Zgodnie z nią całkowity wektorowy pęd układu izolowanego jest zachowany przez każdy rodzaj oddziaływań fizycznych.

Zasada zachowania pędu wynika z niezmienniczości praw fizyki względem symetrii translacyjnej.

Moment pędu, kręt, wektor osiowy J charakteryzujący ruch ciała (w szczególności ruch obrotowy): J=rp (iloczyn wektorowy wektora wodzącego r i pędu ciała).

Dla układu ciał moment pędu układu jest sumą wektorową momentu pędu pojedynczych ciał, dla ciała o ciągłym rozkładzie masy moment pędu wyraża się wzorem:

gdzie: V - objętość ciała, dv - element objętości, ρ(r) - funkcja rozkładu gęstości, u(r) - prędkość elementu objętości dv.

Równanie ruchu obrotowego ciała ma postać:

dJ/dt=D

gdzie D moment sił zewnętrznych (moment siły).

Monent pędu bryły sztywnej wyraża się (w układzie odniesienia, w którym oś obrotu przechodzi przez początek układu) poprzez tensor momentu bezwładności I i prędkość kątową , J=I. Monent pędu izolowanego układu jest zachowywany (zasada zachowania krętu).

W fizyce kwantowej moment pędu jest wielkością skwantowaną (kwantowanie), ponadto pojawia się wewnętrzny moment pędu (spin).

Inercjalny układ odniesienia, układ odniesienia należący do wyróżnionej klasy układów, w których spełniona jest pierwsza zasada dynamiki Newtona. Istnienie inercjalnego układu odniesienia jest postulatem mechaniki klasycznej. Wszystkie prawa fizyki mają taką samą postać w każdym inercyjnym układzie odniesienia (Galileusza przekształcenie, Lorentza transformacja). Ogólna teoria względności podważa szczególną rolę inercjalnego układu odniesienia.

Galileusza przekształcenie, Galileusza transformacja, formuła matematyczna opisująca transformacje czasu i współrzędnych przestrzennych pomiędzy dwoma inercjalnymi układami odniesienia: r=R+vT, t=T, gdzie r wektor położenia danego punktu w układzie I, R analogiczny wektor w układzie II, v - wektor prędkości układu II względem I, t - czas upływający w I układzie, T - czas w układzie II.

Prawa mechaniki klasycznej (I. Newton) są niezmiennicze względem tansformacji Galileusza. Przekształcenie to jest przybliżone, odnosi się do bardzo małych prędkości (względem prędkości światła). Poprawnym przekształceniem jest transformacja Lorentza.

Lorentza transformacja, Lorentza przekształcenie, przekształcenie matematyczne opisujące transformacje wielkości fizycznych w czasoprzestrzeni czterowymiarowej przy przechodzeniu od jednego inercjalnego układu odniesienia, określonego przez współrzędne przestrzenne x, y, z i współrzędną czasową t, do drugiego, określonego przez współrzędne x', y', z' oraz t'.

W najprostszym przypadku, jeśli układ (x', y', z', t') porusza się jednostajnie w kierunku osi x z prędkością v, to transformacja Lorentza ma postać:

gdzie c - prędkość światła w próżni.

Często dla uproszczenia postaci zapisu transformacji do wzorów powyższych stosuje się podstawienie: =v/c oraz

a także mnoży się obustronnie przez c równanie opisujące transformację czasu dla uzyskania formalnej identyczności równań dla zmiennych: czasowej (równej ct) i przestrzennej x, wówczas: x'=γ(x-ct), y'=y, z'=z, ct'=γ(ct-x).

Z transformacji Lorentza wynikają wszystkie efekty kinematyczne szczególnej teorii względności, takie jak: reguła sumowania się prędkości prowadząca do niemożności uzyskania prędkości większej od prędkości światła, względność pojęcia równoczesności, skrócenie Lorentza-Fitzgeralda, spowolnienie biegu poruszajacych sie zegarów.

Równania transformacji Lorentza zostały opracowane ponad 10 lat przed sformułowaniem przez A. Einsteina szczególnej teorii wzgledności (zostały wywnioskowane z równań Maxwella), były jednak wówczas traktowane jako formalne równania matematyczne, bez konsekwencji fizycznych. Transformacja Lorentza uzupełniona obrotami w przestrzeni trójwymiarowej stanowi tzw. grupę przekształceń Poincarégo.

Dla małych prędkości v, rozwijając w szeregi potęgowe wzory opisujące transformację Lorentza, przy zaniedbaniu wyższych wyrazów, otrzymuje się klasyczne przekształcenie Galileusza. Transformacja Lorentza równoważna jest geometrycznie obrotowi w czterowymiarowej, zespolonej przestrzeni Minkowskiego o rzeczywistych osiach x,y,z, oraz urojonej osi czasowej (zmienna czasowa ma wówczas postać ict, gdzie i - jednostka urojona, c - prędkość światła w próżni).

W transformacji Lorentza niezmienną wielkością jest tzw. interwał czasoprzestrzenny określony jako: ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2. Transformacji Lorentza podlegają inne wielkości czterowektorowe, takie jak np. czterowektor enrgii-pędu. Wówczas do powyższych wzorów podstawia się zamiast czasu energię relatywistyczną cząstki podzieloną przez c, a składowe wektora położenia zastępuje się składowymi pędu. Wielkości tensorowe, spinorowe, itp. podlegają ogólnemu przekształceniu Lorentza, wyrażonemu bardziej złożonym układem równań.

Lorentza-Fitzgeralda skrócenie, Lorentza-Fitzgeralda kontrakcja, efekt relatywistyczny (teoria względności) polegający na skracaniu się długości poruszających się przedmiotów w kierunku równoległym do wektora prędkości.

Jeśli w spoczywającym względem danego ciała układzie odniesienia ciało ma długość xo, to gdy porusza się z prędkością v, jego długość równa jest

gdzie c - prędkość światła w próżni.

Istnienie takiego efektu zapostulował w 1891 fizyk angielski Georg Francis Fitzgerald (1851-1901) dla wyjaśnienia negatywnego wyniku doświadczenia Michelsona-Morleya. Koncepcje tą rozwinął w latach 1892-1893 H.A. Lorentz (Lorentza transformacja).

Względności teoria szczególna, STW, teoria fizyczna, której zręby przedstawił A. Einstein w pracy O elektrodynamice ciał w ruchu (1905). W kolejnych pracach Einstein opracował zgodne z nową teorią zasady mechaniki tworząc tym samym fizykę relatywistyczną. Elektrodynamika opisana równaniami Maxwella zgodna była z teorią względności.

Podstawowe założenie STW to stałość prędkości światła w każdym układzie odniesienia (Michelsona-Morleya doświadczenie) - wynika z tego prawo transformacji współrzędnych przestrzennych i czasu przy przejściu od jednego układu odniesienia do drugiego opisane przez transformację Lorentza, oraz postulat prawdziwości zasady względności głoszącej, że prawa fizyki mają taką samą postać w każdym inercyjnym układzie odniesienia.

Einstein wykorzystał wprowadzony przez H. Poincarego i udoskonalony przez H. Minkowskiego formalizm czterowymiarowej płaskiej czasoprzestrzeni. Elementem rewolucyjnym było nadanie fizycznej realności prawu przekształcającemu przy zmianie układu odniesienia, oprócz współrzędnych przestrzennych, również czas (wcześniej traktowano je czysto formalnie). Przestrzeń przestała tak pełnić rolę obiektywnej "sceny" zjawisk przyrody, a czas stracił swoją absolutność - stały się one względne, zależne od układu odniesienia, gdyż zgodnie z STW dwa zdarzenia równoczesne w pewnym układzie odniesienia nie muszą być równoczesne w innym.

W STW energia i pęd cząstki tworzą czterowektor, dla cząstki swobodnej spełniony jest związek (E/c)2 = p2 + m2c2, gdzie m - masa cząstki. Dla cząstki spoczywającej, tj. przy p = 0 wzór ten sprowadza się do wyrażenia E=m0c2, które interpretuje się jako równoważność masy i energii.

Prawa STW przechodzą w prawa klasycznej fizyki, gdy prędkość światła w próżni zmierza do nieskończoności.

Minkowskiego przestrzeń, czasoprzestrzeń szczególnej teorii względności. Oś czasu jest urojona, osie przestrzenne są rzeczywiste. Punkty w Minkowskiego przestrzeni noszą nazwę punktochwil lub zdarzeń elementarnych.

Uogólniona odległość pomiędzy dwoma zdarzeniami A i B (długość przedziału czasoprzestrzennego lub interwał czasoprzestrzenny) równa się:

gdzie t - czas, r - wektor położenia, c - prędkość światła w próżni. Jeśli s=0, to punkty A i B można połączyć promieniem świetlnym, jeśli s jest rzeczywiste, to punkty A i B są przestrzenno-podobne, jeśli s jest zespolone, to punkty A i B są czasopodobne.

Maxwella równania, podstawowe równania klasycznej elektrodynamiki (J.C. Maxwell), opisujące związki pomiędzy natężeniami pola elektrycznego, magnetycznego i ładunkiem elektrycznym. Istnieje kilka równoważnych sformułowań równań Maxwella, najczęściej stosowane są formy różniczkowa lub całkowa równań Maxwella.

W postaci różniczkowej równania Maxwella wyrażają wzory:

div B=0

div D=bρ

gdzie: E - natężenie pola elektrycznego, H - natężenie pola magnetycznego, B =H - indukcja pola magnetycznego,  - przenikalnośc magnetyczna ośrodka, j - gęstość prądu elektrycznego, D =E - indukcja pola elektrycznego,  - przenikalność dielektryczna ośrodka (dielektryczna stała), ρ gęstość objętościowa ładunku elektrycznego, rot - operator rotacji, div - operator dywergencji, a i b - stałe uzgadniające jednostki, zależne od wyboru układu jednostek (np. w MKS i SI a=1= b, w układzie Gaussa a=1/c, b=4, gdzie c - prędkość światła w próżni).

W postaci całkowej równania Maxwella wyrażone są wzorami (w układzie jednostek SI):

gdzie: C - zamknięta krzywa ograniczająca powierzchnię S, prostopadłą do elementu przewodnika, V - dowolna powierzchnia zamknięta, n - wersor normalny do powierzchni, ds - element łuku krzywej C, dσ - element powierzchni, Q - całkowity ładunek elektryczny zawarty w przestrzeni ograniczonej powierzchnią V, I - natężenie prądu płynącego w przewodniku. Pozostałe oznaczenia jak we wzorach różniczkowych równań Maxwella.

Z pierwszego równania wynika prawo indukcji Faradaya (Faradaya zjawisko), drugie mówi o tym, że źródłami pola magnetycznego są zmienne pola elektryczne lub płynące prądy, trzecie równanie mówi o braku ładunków magnetycznych. Z czwartego równania wynika, że strumień pola elektrycznego przenikającego pewną powierzchnię jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego zawartego w przestrzeni ograniczonej tą powierzchnią, z czego można wywnioskować prawo Coulomba.

Z równań Maxwella, uzupełnionych warunkami brzegowymi dla pól i prawami opisującymi zmianę pól na granicach nieciągłości ośrodków oraz równaniem na siłę

Lorentza, można wyprowadzić wszystkie prawa elektrodynamiki klasycznej, ponadto z równań Maxwella dla pustej przestrzeni (j=0, ρ=0) Maxwell wywnioskował istnienie fal elektromagnetycznych (odkrytych później przez H. Hertza).

Z równań Maxwella wyprowadzono również formułę transformacji Lorentza.

Natężenie pola elektrycznego, E, wielkość wektorowa charakteryzująca pole elektryczne, jest to siła z jaką w danym miejscu pole działa na jednostkowy, punktowy ładunek elektryczny.

Dla pola elektrostatycznego E=-grad , gdzie:  - potencjał pola elektrycznego. Ogólny związek podają równania Maxwella. W układzie SI natężenie pola elektrycznego wyraża się w V/m lub N/C.

Natężenie pola magnetycznego, H, wielkość wektorowa charakteryzująca pole magnetyczne, definiowana poprzez prawo Biota-Savarta.

Natężenie pola magnetycznego związane jest z indukcją magnetyczną B równaniem: H=B/o-I, gdzie: I - wektor namagnesowania, o - przenikalność magnetyczna próżni.

Natężenie pola magnetycznego wyraża się w układzie Si w A/m (amper na metr), dawniej stosowaną jednostką był ersted.

Indukcja, w teorii elektromagnetyzmu (elektromagnetyczne oddziaływanie) termin stosowany w kilku znaczeniach.

A) Zjawisko elektryzowania się ciał w polu elektrycznym (indukcja elektrostatyczna) lub magnetyzowania się ciał w polu magnetycznym (indukcja magnetyczna). Indukcja elektrostatyczna dla przewodników polega na przemieszczeniu się swobodnych ładunków aż do stanu, w którym pole wytworzone przez te ładunki całkowicie skompensuje zewnętrzne pole wewnątrz danego ciała. W rezultacie na powierzchni ciała przewodzącego wytwarza się ładunek indukowany, ale całość pozostaje obojętna elektrycznie. Dla dielektryków indukcja elektrostatyczna polega na częściowym rozsunięciu się ładunków ujemnych i dodatnich w ciele. Rozsunięte ładunki tworzą dipole elektryczne, co makroskopowo obserwuje się jako polaryzację dielektryka. Indukcja magnetyczna (w tym znaczeniu) jest to zjawisko powstania polaryzacji magnetycznej ciała, tj. wypadkowego momentu magnetycznego spowodowanego oddziaływaniem momentów magnetycznych elektronów (orbitalnych i spinowych) z zewnętrznym polem magnetycznym o natężeniu H (diamagnetyzm, paramagnetyzm, ferromagnetyzm). Polaryzację opisuje wektor namagnesowania I, przy czym I=0mH, gdzie: 0 - przenikalność magnetyczna próżni, m - podatność magnetyczna danej substancji.

B) Wektor opisujący natężenie pola elektrycznego lub magnetycznego wewnątrz ciała: odpowiednio indukcja elektryczna D (dielektryk) lub indukcja magnetyczna B. W tym sensie indukcja równa jest natężeniu danego pola (elektrycznego E lub magnetycznego H) poza ciałem, pomnożonemu przez współczynnik odpowiedniej przenikalności ośrodka (elektrostatycznej  lub magnetycznej ): D=E, B=H. Dla ciał anizotropowych skalarne współczynniki przenikalności  oraz  zastępuje się odpowiednimi wielkościami tensorowymi (każda reprezentowana przez 9 liczb). Indukcja magnetyczna wyrażana jest w teslach.

C) Zjawisko tworzenia się przepływu prądu (lub zmian w istniejącym przepływie) w pętli z przewodnika umieszczonej w zmiennym polu magnetycznym (indukcja elektromagnetyczna Faradaya). Zmiana strumienia wektora indukcji magnetycznej przechodzącego przez powierzchnię ograniczoną pętlą z przewodnika powoduje powstanie w tym przewodniku siły elektromotorycznej SEM przeciwdziałającej zmianom pola. Zjawisko to opisuje równanie:

gdzie:  - siła elektromotoryczna SEM powstająca w zamkniętym obwodzie przewodnika (powodująca przepływ prądu), dana wzorem:

E - pole elektryczne (całkowanie odbywa się po całej pętli przewodnika L),  - strumień wektora indukcji magnetycznej B przenikającego przez powierzchnię S (ograniczoną krzywą L), dany jest wzorem:

gdzie: n - wektor jednostkowy normalny do powierzchni S.

Zmiany strumienia  w stacjonarnym polu magnetycznym mogą wynikać z obrotu pętli przewodnika L wokół osi prostopadłej do kierunku pola magnetycznego. Zjawisko to wykorzystuje się w prądnicach, odkryte zostało przez M. Faradaya.

D) Zjawisko powstawania SEM przy ruchu ciała namagnesowanego (indukcja jednobiegunowa), dla obracającego się wydrążonego walca wykonanego z ferromagnetyka, umieszczonego w polu magnetycznym o indukcji B, w przybliżeniu (dla małych prędkości obrotu v), powstająca siła elektromagnetyczna  dana jest wzorem:

gdzie: L oznacza element krzywej, po której przebiega całkowanie.

E) Zjawisko powstawania w przewodniku SEM (oznaczanej ) na skutek zmian skojarzonego z nim strumienia  indukcji magnetycznej spowodowanych zmianami prądu w znajdującym się w pobliżu drugim przewodniku (indukcja wzajemna). Opisuje ją wzór:

gdzie: M - współczynnik indukcyjności wzajemnej.

Zjawisko to występuje również, gdy w roli obu obwodów występuje jeden obwód (samoindukcja).

Przenikalność magnetyczna, , wielkość fizyczna - w ośrodkach izotropowych skalarna, w anizotropowych tensorowa - charakteryzująca zdolność ośrodka materialnego do zmiany wektora indukcji magnetycznej B pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego H.

B =  H, przy czym  = 0r, gdzie: 0 - przenikalność magnetyczna próżni równa w układzie jednostek SI 410-7H/m, w elektromagnetycznym zaś układzie jednostek 1, r - przenikalność magnetyczna danego ośrodka (wielkość niemianowana).

Przenikalność magnetyczna związana jest z podatnością magnetyczną  zależnością: r = 1+. Przenikalność magnetyczna zależy na ogół od częstotliwości zmian pola magnetycznego. Wartość przenikalności magnetycznej w stałym polu nosi nazwę przenikalności magnetycznej statycznej, w zmiennym polu nazywa się przenikalnością magnetyczną dynamiczną.

Dywergencja, div, w matematyce - operator różniczkowy oznaczany div, będący sumą pierwszych pochodnych cząstkowych po współrzędnych kartezjańskich,

div a = ∂ax/∂x + ∂ay/∂y + ∂az/∂z.

Dywergencja jest szeroko stosowana w fizyce, w teorii pola.

Operator div jest liniowy, przypisuje polu wektorowemu a pole skalarne. Ma ponadto następujące własności: div rot a = 0, div grad  =  (gdzie delta oznacza laplasjan),

grad div a = a + rot (rot a).

Dywergencja ma następujący sens fizyczny: jeśli a jest polem prędkości w przepływie idealnego płynu, to div a oznacza intensywność (albo inaczej natężenie) źródła. Wartość ujemna div a oznacza wypływ, a dodatnia - dopływ płynu.

Rotacja, wirowość, rot, liniowy operator różniczkowy przyporządkowujący pewnemu polu wektorowemu a inne pole wektorowe (pseudowektorowe). Z definicji (we współrzędnych kartezjańskich)

,

gdzie: i, j, k wersory osi x, y, z (odpowiednio), az, ay, az - składowe wektora a. Rotacja a równoważna jest iloczynowi wektorowemu operatora nabla i wektora a.

Podstawowe własności:

1) rot(c1a1+c2a2)= =c1rota1+c2rota2, gdzie c1, c2 - stałe

2) rot(Ua)=(gradU) a+Urota, gdzie U - pole skalarne

3) rot(gradU)0, div(rota)  0, rot(rota) = grad(diva) - a, gdzie  - laplasjan

4) rot(ab)=adivb-bdiva+(b)a-(a)b (gdzie  - nabla);

,

gdzie: S - powierzchnia zamknięta ograniczająca objętoć V, n - wersor normalny do powierzchni S.

Jeśli rota = 0, to pole a jest bezwirowe (czyli jest to pole potencjalne), ponadto istnieje takie pole skalarne U, że a = gradU.

Gradient, grad, operator różniczkowy oznaczany  (Nabla) lub grad, działa na funkcje skalarne dając w wyniku wektor.

Jeśli funkcja skalarna V określona jest w układzie współrzędnych kartezjańskich x,y,z, to:

gdzie i,j,k - wersory osi współrzędnych.

We współrzędnych walcowych r, , z:

we współrzędnych kulistych r,, operator gradientu ma postać:

Wektor grad V w danym punkcie P(x,y,z) określa kierunek i szybkość największego wzrostu funkcji V(x,y,z) w tym punkcie.

Najważniejsze własności operatora gradientu:

grad cV = c grad V (c - stała),

grad (W+V) = grad W + grad V,

grad WV = W grad V + V grad W,

grad (ab) = (agrad)b+(bgrad)a + arot b + brot a,

rot grad V = 0,

grad div a = a + rot rot a.

Drgania, oscylacje, procesy fizyczne opisywane funkcjami na przemian rosnącymi i malejącymi. Drgania klasyfikuje się na podstawie matematycznych własności funkcji opisujących je. Wyróżnia się drgania probabilistyczne (jeśli przyszły stan nie daje się jednoznacznie ściśle określić) i deterministyczne. Te ostatnie dzielą się na okresowe i nieokresowe (inaczej: periodyczne i nieperiodyczne).

Okresem drgań nazywamy czas potrzebny do wykonania jednego cyklu drgań. Jeśli amplituda maleje w czasie, drgania nazywamy gasnącymi (tłumionymi). Drgania można też dzielić na swobodne i wymuszone (wywołane zewnętrzną, zmienną w czasie, siłą). Drgania deterministyczne opisywane są równaniami różniczkowymi.

Drgania harmoniczne

Szczególnym rodzajem drgań są drgania harmoniczne, tj. okresowe, o stałej amplitudzie, opisane sinusoidą. Ze względu na prostotę opisu drgania harmoniczne są wykorzystywane do opisu wielu drgań rzeczywistych jako ich przybliżenie (lub poprzez rozkład na nie).

Najprostsze równanie opisujące drgania harmoniczne (dla ciężarka zawieszonego na sprężynie) ma postać:

mx'' (t) + kx(t) = 0.

Rozwiązaniem jest funkcja

x(t)=Asint+0,

gdzie A - amplituda drgań,  = 2 = (k/m)0.5,  - częstość kołowa ( - częstość drgań), k - współczynnik sprężystości, m - masa ciała, 0 - faza początkowa. Ze względu na fizykę procesów wyróżnia się drgania mechaniczne i elektryczne.

Drgania cząsteczek, różne rodzaje ruchów periodycznych związanych z wewnętrznymi stopniami swobody cząsteczki. Mogą nimi być: oscylacje lub rotacje.

Drgania cząsteczek są wielkościami opisywanymi przez mechanikę kwantową, podlegają skwantowaniu. Oznacza to, że widmo drgań jest dyskretne, tj. dopuszczalne są tylko pewne wybrane energie drgań.

Amplituda, największa wartość A0 osiągana przez wielkość fizyczną A zmieniającą się w czasie t w sposób harmoniczny, tj. proporcjonalnie do

sin (wt+0),

gdzie w - częstotliwość kątowa, 0 - początkowa faza drgań. Pojęcie amplitudy wprowadza się też dla wielkości zmieniających się okresowo, lecz nieharmonicznie. W tych przypadkach przez amplitudę najczęściej rozumie się największą (co do wielkości bezwzględnej) wartość różnicy danej wielkości i jej wartości średniej.

Drgania sieci krystalicznej, drgania atomów tworzących kryształ, wykonywane wokół położeń równowagi, tj. węzłów sieci krystalicznej. Drgania sieci krystalicznej tworzą pole sił o strukturze kwantowo-mechanicznej, kwant pola nazywany jest fononem. Fonony są bozonami.

Analiza własności gazu fononowego, w szczególności znajomość widma fononowego (tj. liczby fononów o danej częstości), pozwala przewidzieć wiele własności kryształu

Fala, przenoszące energię zaburzenie pola fizycznego rozchodzące się ze skończoną prędkością. Jeśli kierunek zaburzenia jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali, to fala jest falą poprzeczną (np. fale elektromagnetyczne), jeśli oba kierunki są zgodne, to fala jest falą podłużną (np. fale ciśnienia akustycznego w powietrzu).

Fala opisywana jest funkcją położenia i czasu u(r,t), spełniającą w ośrodku jednorodnym równanie falowe:

gdzie:  - laplasjan, v - stała (prędkość fazowa).

Szczególnymi przypadkami fal są fale monochromatyczne o różnej symetrii:

- fala płaska, wtedy u= u0cos(t-kr+δ), gdzie: u0 - amplituda fali,  = 2 /T - częstość kołowa fali, T - okres, k = (2/)x - wektor falowy, - długość fali, x - wersor kierunku rozchodzenia się fali, δ - faza początkowa fali

- fala kulista (o symetrii sferycznej, rozbiegająca się izotropowo), wtedy: u=(r-1)f(r-vt), gdzie f jest dowolną funkcją różniczkowalną z drugimi pochodnymi (może to być fala sin lub cos, ale nie tylko), v to prędkość fazowa fali

- fala cylindryczna (o symetrii cylindrycznej), równanie falowe przekształca się wtedy w równanie Bessela, zmiana amplitudy z promieniem dana jest przez funkcję Bessela rzędu zerowego.

W jednorodnym ośrodku fale rozprzestrzeniają się zgodnie z prawami optyki geometrycznej, w obecności przeszkód pojawiają się odstępstwa od tych praw (dyfrakcja). Fale nakładające się na siebie mogą podlegać interferencji, dudnieniu lub modulacji.

Fale elektromagnetyczne, zaburzenie pola elektromagnetycznego (e-m). W pustej przestrzeni pole e-m opisane jest układem równań Maxwella o postaci równania falowego:

gdzie:  - laplasjan, H - wektor natężenia pola magnetycznego, E - wektor natężenia pola elektrostatycznego, c - prędkość fazowa światła (układ powyższy można zapisać H = 0 i E = 0, gdzie  oznacza dalambercjan, lub analogicznie dla potencjałów skalarnego  i wektorowego A: A = 0 i  = 0).

Wynikającą stąd możliwość istnienia fal e-m zauważył H.R. Hertz. Fale e-m są falami poprzecznymi, wektory E i H są wzajemnie prostopadłe i oba są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Fale e-m rozchodzą się w próżni z prędkością światła (c).

W zależności od długości fali fale e-m określa się mianem fal radiowych (długich, średnich, krótkich, ultrakrótkich i mikrofal), fal świetlnych (podczerwonych, widzialnych i ultrafioletowych) promieni Roentgena (X) i promieniowania gamma. W ujęciu kwantowym, zgodnie z zasadą dualizmu korpuskularno-falowego, fale elektromagnetyczne o częstotliwości  są strumieniami fotonów o energii E = h, gdzie h - stała Plancka.

Rodzaj fali	Długość fali [m]	Częstotliwość[Hz]
fale radiowe	> 10-4	< 3·1012
podczerwień	5·10-4÷ 8·10-7	6·1011÷ 3.7·1014
światło widzialne	8·10-7÷ 4·10-7	3.7·1014÷ 7.5·1014
ultrafiolet	4·10-7÷ 10-9	7.5·1014÷ 3·1017
promieniowanie X	10-9÷ 6·10-12	1.5·1017÷ 5·1019
promieniowanie gamma	< 10-10	> 1018

Fala boczna, fala powstająca na granicy dwóch ośrodków (oprócz fal odbitej i załamanej) przy padaniu nań fali kulistej. Czoło fali bocznej jest stożkiem o kącie przy podstawie δ = arc sin n, n - względny współczynnik załamania ośrodków. Fale boczne bada się głównie w akustyce i sejsmologii.

Fala stojąca, fala rozchodząca się efektywnie z zerową prędkością, powstaje w obszarach ograniczonych na skutek interferencji fali padającej i fal odbitych.

Funkcja opisująca ruch falowy u(r,t) zależy wówczas wyłącznie od położenia (u=u(r)). Położenia o maksymalnej amplitudzie noszą nazwę strzałek, a o zerowej amplitudzie - węzłów.

Fala Macha, fala wytwarzana przez źródło małych zaburzeń poruszające się w danym ośrodku z prędkością przekraczającą prędkość dźwięku, rozprzestrzenia się wewnątrz stożka (tzw. stożek Macha) o kącie wierzchołkowym 2 = 2 arcsin 1/Ma, gdzie:  - kąt Macha, Ma - Macha liczba. Tworząca stożka Macha nazywana jest linią Macha.

Jeśli prędkość ciała jest stała, a ośrodek jednorodny, to linie Macha są prostymi, w innych przypadkach są to krzywe. Fala Macha może być zarówno falą zgęszczeniową (tj. taką po przejściu której wzrasta ciśnienie, gęstość i temperatura gazu a spada prędkość strumienia), jak i rozrzedzeniową (ciśnienie itd. maleją, prędkość strumienia rośnie).

Macha liczba, M, Ma, stosunek prędkości v ciała zanurzonego w płynie do prędkości rozchodzenia się dźwięku w danym płynie u (M=v/u). Przepływy o M<1 nazywane są poddźwiękowymi, natomiast przepływy naddźwiękowe charakteryzują się M>1.

M jest to jeden z najważniejszych parametrów dynamicznych opisujących przepływ, ma charakter lokalny. Przepływ z M>1 charakteryzowany bywa również przez podanie tzw. kąta Macha, który jest poł. rozwartości tzw. stożka Macha (tj. obwiedni fal uderzeniowych powstających przy przepływie naddźwiękowym).

Liczbowo kąt Macha równy jest arcus sinus 1/M. Macha liczba równa jeden (tzw. mach) jest stosowana jako jednostka prędkości ruchu w powietrzu.

Długość fali, odległość pomiędzy dwoma kolejnymi grzbietami fali.

Okres drgań, dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w takiej samej fazie.

Faza Wielkość fizyczna określająca stan układu drgającego w danej chwili.

Prędkość fazowa, prędkość przemieszczania się fazy nieskończonej, sinusoidalnej fali monochromatycznej. Prędkość fazowa równa jest v = dx/dt = /T, gdzie:  - długość fali, T - jej okres.

Laplasjan, Laplace'a operator, suma operatorów drugich pochodnych cząstkowych po kartezjańskich współrzędnych przestrzennych,   ∂∂x ∂∂y ∂∂z, =div grad , =(x,y,z).

Dalambercjan, w matematyce operator różniczkowy oznaczany symbolem  i zdefiniowany jako suma operatorów drugich pochodnych cząstkowych po kartezjańskich współrzędnych przestrzennych oraz drugiej pochodnej czasowej wziętej ze znakiem minus i znormalizowanej wyrażeniem:

1/c2:  = ∂/∂2x+ ∂/∂2y + ∂/∂2z - 1/c2  ∂/∂2t.

Nazwa dalambercjan pochodzi od nazwiska J. le Rond d' Alembert'a, który wprowadził go, formułując i rozwiązując równanie fali w postaci

 = 0,

gdzie  = (x, y, z, t). Dalambercjan jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Potencjał, w fizyce funkcja skalarna lub wektorowa, związana z funkcją opisującą pewne pole fizyczne za pomocą operatorów różniczkowych (gradient, rotacja).

W mechanice definiuje się skalarny potencjał siły V (wyrażamy w jednostkach energii), który związany jest z danym polem sił związkiem: F=-gradV, np. potencjał sił sprężystości:

V=-1/2k2x2

gdzie: k - stała sprężystości, x - odkształcenie, lub potencjał grawitacyjny:

gdzie: m i M - masy przyciągających się ciał, G - stała grawitacji, r - wzajemna odległość środków ciała.

W elektrodynamice określa się skalarny potencjał elektrostatyczny  i wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego A (tworzą czterowektor). Są one związane z wektorami natężenia pola elektrycznego E i magnetycznego H równościami:

gdy A nie jest funkcją czasu druga z równości opisuje pole elektrostatyczne.

Ogólne pojęcie potencjału wykorzystywane jest w termodynamice (potencjał termodynamiczny), duże znaczenie ma również w fizyce kwantowej (równanie Schrödingera). Minima funkcji potencjału sił wyznaczają położenia równowagi trwałej, maksima odpowiadają położeniom równowagi chwiejnej.

Powierzchnie o jednakowych wartościach potencjału skalarnego noszą nazwę powierzchni ekwipotencjalnych. Potencjał może określać dostępną dla cząstki o danej energii przestrzeń (bariera potencjału).

Foton, kwant pola promieniowania elektromagnetycznego. Masa spoczynkowa fotonu równa jest zero (oszacowanie eksperymentalne daje wielkość < 10-48g), porusza się z prędkością światła c, ma energię E=h, (h - stała Plancka,  - częstotliwość odpowiadającej fali elektromagnetycznej), jest bozonem, nie posiada momentu magnetycznego ani ładunku elektrycznego.

Fotony powstają w wyniku przejścia układu, np. atomu lub jądra atomowego ze stanu wzbudzonego do stanu o niższej energii, podczas zmiany pędu cząstki naładowanej, a także w wyniku anihilacji par elektron-pozyton.

Hipotezę istnienia fotonu wysunął w 1905 A. Einstein. Foton oddziałuje elektromagnetycznie ze wszystkimi cząstkami elementarnymi. Teorię fotonu i jego oddziaływań jest przedmiotem badań elektrodynamiki kwantowej.

Bessela równanie, liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci:

R"(x) + x-1 R'(x) + {1 - (n/x) 2}R(x) = 0.

Równanie Bessela spotykane jest w wielu działach fizyki (np. mechanice klasycznej i kwantowej, elektrodynamice) oraz w pewnych zagadnieniach technicznych i astronomicznych.

Bessela funkcje, Jn(x), jedne z tzw. funkcji specjalnych, określone jako sumy szeregów potęgowych:

Jn(x)= k=0  (-1) k {22kk!(n+k)!} -1 x2k+n (dla n= 0,1,2,3,...).

Funkcje Bessela dla kolejnych wartości n nazywane są funkcjami n-tego rzędu. Istnieje uogólnienie f.B dla n , wtedy (n+k)! we wzorze definicyjnym funkcji Bessela zastąpione jest przez funkcję (gamma Eulera) (n+k+1). Funkcje Bessela są rozwiązaniem równania różniczkowego Bessela.

Dyfrakcja (ugięcie) fal, zjawiska odstępstwa od praw optyki geometrycznej występujące przy rozchodzeniu się fal w ośrodkach niejednorodnych. Pierwsi dyfrakcję fal badali T. Young i A. Fresnel oraz H. Helmholtz, G. Kirchhoff i J. Fraunhofer.

Fala płaska padając na przesłonę, na skutek zjawiska dyfrakcji dociera również częściowo do przestrzeni leżącej w obszarze geometrycznego cienia. Dyfrakcję najprościej wytłumaczyć jest zasadą Huygensa - Fresnela, w myśl której każdy punkt przestrzeni, do którego dociera płaska fala, staje się źródłem elementarnej fali sferycznej. Fale te następnie interferują ze sobą, tworząc nowe czoło fali.

Fale elementarne powstające w obszarze jednorodnym tworzą ponownie falę płaską. Natomiast na granicy cienia zjawisko interferencji prowadzi do powstania struktury interferencyjnej cienia oraz częściowego oświetlenia obszaru leżącego w cieniu geometrycznym przeszkody. Zjawiska dyfrakcyjne występują dla każdego rodzaju ruchu falowego.

Dyfrakcja cząstek

Oprócz optyki, gdzie dyfrakcja została odkryta i opisana najwcześniej, zjawiska dyfrakcyjne występują również przy rozpraszaniu cząstek (np. elektronów, neutronów, atomów, molekuł itp.), co jest jednoznaczne ze stwierdzeniem falowych właściwości cząstek (fale de Broglie, dualistyczna natura promieniowania).

Zjawiska dyfrakcji neutronów, elektronów lub promieniowania rentgenowskiego towarzyszące rozpraszaniu, wykorzystywane są w metodach badań strukturalnych ciał stałych (warunek Braggów-Wulfa).

Interferencja fal, zjawisko wzajemnego nakładania się fal (elektromagnetycznych, mechanicznych, de Broglie itd.). Zgodnie z tzw. zasadą superpozycji fal, amplituda fali wypadkowej w każdym punkcie dana jest wzorem:

gdzie: A1, A2 - amplitudy fal cząstkowych,  - różnica faz obu fal.

Maksymalnie A = A1+A2 dla =2k (fazy zgodne), minimalnie A=A1-A2 dla =(2k+1) (fazy przeciwne). Warunkiem zaistnienia stałego w czasie rozkładu przestrzennego amplitudy interferujących fal jest ich spójność (koherentność).

Dla fal mechanicznych i radiowych warunek spójności jest łatwy do uzyskania, natomiast dla światła zazwyczaj wymaga zastosowania układów rozdzielania i kolimowania wiązek (monochromatory) lub stosowania laserów. Wypadkowa fala, powstała z interferencji spójnych fal padających jest falą stojącą, np. dla światła obserwuje się kolejno następujące po sobie jasne i ciemne linie, krzywe, lub okręgi, w zależności od geometrii interferujących fal (tzw. prążki interferencyjne). Ciemne obszary występują w miejscach, gdzie różnica dróg optycznych wynosi δ=(2k+1)/2, gdzie: k - dowolna liczba całkowita zwana rzędem interferencji,  - długość fali. Jasne obszary wystąpią dla δ=(2k)/2=k.

Dudnienia, okresowe zmiany amplitudy drgań złożonych, powstałych w wyniku nałożenia się na siebie drgań o zbliżonych częstościach i amplitudach.

W przypadku sumy dwóch drgań harmonicznych (opisanych funkcją sinusoidalną o amplitudach A i częstościach 1 i 2) wypadkowe drganie opisuje funkcja

2Acos{(1- 2)/2}sin{(1+ 2)/2}.

Modulacja, kontrolowana zmiana w czasie pewnego procesu periodycznego. Dla fal elektromagnetycznych stosuje się modulacje amplitudy (AM) lub częstości (FM).

Gazy, jeden z trzech podstawowych stanów skupienia materii (oprócz cieczy i ciał stałych), w którym cząsteczki (lub atomy) słabo oddziałują między sobą poruszając się swobodnie w całej objętości oraz nieustannie się zderzając. Gazy nie posiadają określonego kształtu i objętości, wypełniają całą dostępną przestrzeń, mają zdolność do homogenicznego mieszania się, są ściśliwe, mogą dyfundować (dyfuzja gazów). Substancja w tym stanie wykazuje zwykle właściwości izotropowe (izotropia).

Zachowanie gazu opisuje teoria kinetyczno-cząsteczkowa oparta na modelu gazu doskonałego, w myśl której energia kinetyczna jednego mola gazu wynosi E=3/2RT, energia kinetyczna jednej cząsteczki =3/2kT, najbardziej prawdopodobna prędkość cząsteczek cm=(2kT/m)1/2, średnia prędkość cząsteczek c= (8kT/m)1/2, gdzie: R - stała gazowa, T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmanna, m - masa cząsteczki.

Teoria kinetyczno-cząsteczkowa gazu opisuje także zjawiska transportu w gazie oraz pozwala na wyprowadzenie równania stanu Clapeyrona (Clapeyrona równanie). Podstawowe prawa dotyczące gazów to:prawo Boyle'a-Mariotte'a, prawo Daltona, prawa gazów Gay-Lussaca, prawo Grahama.

Gaz rzeczywisty, gaz wykazujący odstępstwa od praw Boyle'a-Mariotte'a i praw gazów Gay-Lussaca oraz ulegający skropleniu w odpowiednich warunkach. W rezultacie gaz taki nie odpowiada ściśle modelowi gazu doskonałego.

Gaz doskonały, gaz spełniający równanie stanu Clapeyrona (Clapeyrona równanie). Gaz doskonały jest modelem, skonstruowanym przy następujących założeniach:

1) brak oddziaływań między cząsteczkami gazu,

2) znikoma objętość cząsteczek (cząsteczki gazu rozważane są jako punkty materialne posiadające jednakową masę),

3) cząsteczki gazu poruszają się prostoliniowo, zmieniając kierunek wskutek przypadkowych zderzeń,

4) zderzenia cząsteczek gazu są doskonale sprężyste,

5) średnia energia kinetyczna cząsteczek jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej.

Model gazu doskonałego opisuje poprawnie zachowanie tylko granicznie rozrzedzonych gazów, w praktyce stosuje się jednak dla większości gazów w warunkach normalnych.

Gay-Lussaca prawa gazów,

1) przy stałym ciśnieniu, objętość gazu jest wprost proporcjonalna do jego temperatury bezwzględnej (przemiana izobaryczna),

2) w stałej objętości ciśnienie gazu jest wprost proporcjonalne do jego temperatury bezwzględnej (przemiana izochoryczna),

3) objętości substratów i produktów gazowych reakcji chemicznych, zmierzone w tych samych warunkach pozostają w stosunku niewielkich liczb naturalnych (prawo stosunków objętościowych).

Gazowa stała (R), jedna z uniwersalnych stałych fizycznych występująca w równaniu stanu Clapeyrona (Clapeyrona równanie), określająca pracę wykonaną przez 1 mol gazu ogrzany o 1 stopień w procesie izobarycznym (Izobaryczna przemiana). R = 8,314 J/mol×K (1,986 cal/mol×K; 0,0821 dm3×atm/mol×K). Stała gazowa jest równa różnicy ciepeł molowych przy stałym ciśnieniu i stałej objętości.

Clapeyrona równanie, równanie gazu doskonałego określające związek między jego temperaturą, ciśnieniem i objętością:

PV = nRT,

gdzie P- ciśnienie, V - objętość, n - liczba moli gazu, T - temperatura, R - stała gazowa (R = Nk, N - liczba Avogadro, k - stała Boltzmanna).

Z równania Clapeyrona wynikają prawa Boyle'a-Mariotte'a, Gay-Lussaca , Charlesa). Równanie to opisuje również z dobrym przybliżeniem rozrzedzone gazy rzeczywiste.

Boyle'a-Mariotte'a prawo, jedno z podstawowych praw gazów - objętość danej masy gazu w stałej temperaturze zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do ciśnienia.

Charlesa prawo, prawo opisujące przemianę izochoryczną gazów: przy stałej objętości, iloraz ciśnienia gazu i jego temperatury bezwzględnej jest wartością stałą.

Boltzmanna rozkład, najbardziej prawdopodobny rozkład energetyczny cząstek izolowanego układu o stałej energii, zbudowanego z N nie oddziaływających, poza momentami zderzeń, cząstek podległych prawom fizyki klasycznej, dany wzorem:

ni= exp(+i),

gdzie: ni - średnia liczba cząstek w stanie o energii i,  =k-1, k - stała Boltzmanna,  - czynnik normalizacyjny.

Można wykazać, że

 = ln(N/V)+3/2ln(h2/mkT),

gdzie: V - objętość układu, h stała Plancka, m - masa cząstki, T - temperatura układu. Rozkład ten opisuje klasyczny gaz idealny zbudowany z jednoatomowych cząsteczek.

Kinetyczna teoria gazów, teoria, której podstawy opracował w 1856 R.E. Clausius, wyjaśniająca makroskopowe własności gazów jako rezultat zjawisk kinetycznych zachodzących pomiędzy nieustannie poruszającymi się cząsteczkami (atomami) gazu. Duży wkład w rozwój tej teorii wniósł później J.C. Maxwell i J.D. Van der Waals.

Maxwella-Boltzmanna rozkład (funkcja rozkładu), funkcja określająca liczbę dN cząstek, dla klasycznego (niekwantowego) układu cząstek (np. gazu jednoatomowego lub gazu cząsteczkowego) będącego w równowadze termodynamicznej.

Jeśli prędkości cząstek zawarte są w przedziale (v,v+dv), a położenia w przedziale (r, r+dr), wtedy:

gdzie: k - stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna,   potencjał chemiczny, (v,r) - energia mechaniczna cząstki.

Po uśrednieniu prędkości z rozkładu Maxwella-Boltzmanna uzyskuje się rozkład Boltzmanna, natomiast po wycałkowaniu współrzędnych przestrzennych uzyskuje się rozkład Maxwella (Maxwella prawo rozkładu).

Maxwella prawo rozkładu, dla klasycznego (niekwantowego) układu cząstek znajdującego się w równowadze termodynamicznej funkcja opisująca rozkład prędkości cząstek, tj. liczbę cząstek dN, dla których wartości bezwzględne prędkości zawarte są w przedziale (v,v+dv), liczba ta wyraża się wzorem:

gdzie: k - stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna, N - liczba cząstek w układzie, m - masa cząstki. Maxwella prawo rozkładu uzyskuje się z rozkładu Maxwella-Boltzmanna przez wycałkowanie współrzędnych przestrzennych.

Ciśnienie, siła działająca prostopadle na jednostkę powierzchni P=Fz/Sxy (indeksy oznaczają tu, że gdy rozpatrujemy płaszczyznę S równoległą do płaszczyzny xy danego układu kartezjańskiego współrzędnych, ciśnienie powoduje tylko składowa siły F działająca wzdłuż osi z).

Ciśnienie jest skalarem. Jednostkami ciśnienia (omówionymi oddzielnie) są: paskal (Pa,=1N/m2, jednostka SI), bar, atmosfera techniczna lub atmosfera fizyczna, tor (mm Hg), mm H2O, funt/sq.in, dyna/cm2.

Do pomiaru ciśnienia służą barometry, manometry, wakuometry. Ciśnienie statyczne Ph, na danym poziomie, w płynie, w obecności pola grawitacyjnego (oddziaływanie grawitacyjne), zależy od wysokości prącego słupa płynu (gazu lub cieczy):

Ph = Po + hγ

gdzie Po - ciśnienie odniesienia, h - różnica poziomów odniesienia i danego (ujemna, gdy poziom odniesienia jest poniżej danego), γ - ciężar właściwy płynu. Ciśnienia w przepływającej cieczy opisuje równanie Bernoulliego.

Podstawowe jednostki pomiaru ciśnienie

Paskal, Pa, jednostka ciśnienia w układzie SI, 1 Pa = N/m2.

Bar, nielegalna jednostka ciśnienia, 1 bar = 105 Pa = 105 N/m2.

Atmosfera techniczna (at), jednostka ciśnienia, 1 at = 98 066,5 N/m2 = 0,980665 MPa = 1 kG/m2.

Atmosfera fizyczna, atmosfera normalna, atm, umowna jednostka ciśnienia równa ciśnieniu, jakie na podstawę wywiera słup rtęci o wysokości 760 mm w temperaturze 273,16 K (0C), przy normalnym przyspieszeniu ziemskim (1 atm = 0,101325 MPa).

Tor, Tr, pozaukładowa jednostka ciśnienia, odpowiadająca ciśnieniu jednego milimetra słupa rtęci: 1 Tr = 133,322 N/m2.

Bernoulliego równanie, w matematyce równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci:

y'(x) + P(x) y(x) + Q(x) {y(x)} = 0,

gdzie   1, oraz P(x) i Q(x) są funkcjami ciągłymi. Równanie Bernoulliego daje się sprowadzić do równania różniczkowego liniowego: z'(x) + (1-)P(x) z(x) + (1-) Q(x) = 0 po podstawieniu z(x) = {y(x)}1-.

Temperatura, w termodynamice tzw. temperatura bezwględna T - wielkość charakteryzująca stan równowagi termodynamicznej, definiowana jako odwrotność pochodnej entropii S względem energii E: 1/T = ∂S/∂E.

W klasycznej fizyce statystycznej T jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek (można wykazać tożsamość obu definicji). Jednostką temperatury w układzie SI jest kelwin (temperaturę bezwzględną w krajach anglosaskich wyraża się czasem w stopniach Rankine'a). Używane na co dzień pojęcie temperatury oznacza temperaturę względną, o zerze zdefiniowanym w sposób arbitralny - w różnych krajach stosuje się różne jednostki, jak stopień Celsjusza ( deg), Fahrenheita (Fahrenheita skala), Réamura.

Podstawowe jednostki pomiaru temperatury

Kelwin, K, jednostka temperatury w układzie SI, stopień w skali bezwzględnej (Kelvina skala temperatury), T[K]=T[C]+273,15C.

Celsjusza stopień, C, jednostka temperatury termometrycznej w skali Celsjusza (A. Celsjusz), w której temperaturę wrzenia czystej wody pod ciśnieniem normalnym określa się jako 100C, a 0C to temperatura zamarzania czystej wody pod tym samym ciśnieniem.

Stopień Celsjusza równy jest stopniowi w skali Kelvina (1C= 1K ), a zero w skali Celsjusza to 273,15 K.

Deg, degre, oznaczenie różnicy jednego stopnia temperatury w skalach Celsjusza i Kelvina. 1 deg = 1C = 1 K.

Fahrenheita skala, skala temperatur zaproponowana w 1725 (G.D. Fahrenheit), w której punktem zerowym jest temperatura zamarzania mieszaniny salmiaku z lodem. Temperaturę w skali Celsjusza TC uzyskuje się z temperatury w skali Fahrenheita TF korzystając ze wzoru: TC = 5/9(TF-32). Woda zamarza w temperaturze +32F, wrze w +212F. Skala Fahrenheita jest obecnie używana w krajach anglosaskich.

Ciepło molowe, ilość ciepła wymieniana z otoczeniem przez 1 mol danej substancji, powodująca jednostkową zmianę temperatury. W przypadku gazów ciepło molowe przyjmuje odmienne wartości - podczas wymiany ciepła w warunkach stałego ciśnienia lub stałej objętości.

Dla gazu doskonałego różnica ta równa jest stałej gazowej R, natomiast dla substancji skondensowanych można ją zaniedbać.

Boltzmanna stała, k, uniwersalna stała fizyczna,

k = R/NA = (1,380622 0,000059)10-23 J/deg.,

gdzie R stała gazowa, NA liczba Avogadra. Pojawia się we wszystkich równaniach określających rozkłady energii molekuł.

Plancka stała, kwant działania, h, fundamentalna stała fizyczna, kwant momentu pędu (lub działania), wielkość h = 6,6249110-34 Js (często w pracach teoretycznych oraz jako jednostkę momentu pędu i spinu dla cząstek elementarnych, przez stalą Plancka rozumie się wielkość:

Istnienie nowej, fundamentalnej stałej przyrody h odkrył (1900) M. Planck badając zjawisko promieniowania ciała doskonale czarnego (prawo promieniowania Plancka). h wiąże ze sobą własności klasyczne i falowe materii za pomocą związków:

E = h,  = h/p

gdzie: E, p - energia i pęd cząstki. L,  - długość i częstotliwość jej fali.

Względnie mała wartość h powoduje, że nie doświadczamy bezpośrednio falowych własności materii (zasada odpowiedniości).

WZORY.

Droga przebyta przez ciało w ruchu jednostajnie zmiennym

Prędkość średnia w ruchu jednostajnie zmiennym

Spadek swobodny a=g (g=9,8 m/s²)

Rzut ciała w polu grawitacyjnym.

Rzut pionowy w górę.

Czas wznoszenia
, maksymalna wysokość

Rzut poziomy.

Zasięg rzutu
, prędkość końcowa

Rzut ukośny

Zasięg rzutu
, maksymalna wysokość

Prędkość kosmiczna, progowa prędkość umożliwiająca osiągnięcie pewnego rodzaju orbity (prędkość orbitalna). Wyróżnia się:

• pierwszą prędkość kosmiczną, odpowiadającą prędkości niezbędnej do umieszczenia ciała na niskiej, kołowej orbicie wokółziemskiej (wynosi ona 7,91 km/s),

- siła przyciągania ziemskiego

- siła odśrodkowa

- drugą prędkość kosmiczną, równą prędkości potrzebnej do umieszczenia ciała na geocentrycznej orbicie parabolicznej (tj. prędkości wystarczającej do opuszczenia pola grawitacyjnego Ziemi, wynosi ona 11,19 km/s).

Energia potencjalna jest to praca jaka należy wykonać, aby przenieść ciało m znajdujące się w polu ciała M z nieskończoności do r.

Niekiedy mówi się też o trzeciej prędkości kosmicznej, tj. prędkości, jaką trzeba nadać ciału w pobliżu Ziemi, by opuściło ono Układ Słoneczny (wynosi ona 42 km/s w układzie odniesienia względem Słońca).

Praca

Moc - przekazywanie pracy albo ciepła.

Wodór

-całkowita energia elektronu.

- wzór na energie potencjalną ciała m znajdującego się w polu ciała M w odległości r.

- energia potencjalna elektronu.

- siła odśrodkowa równa się sile przyciągania elektronu przez jądro, elektron krąży po orbicie.

- energia kinetyczna elektronu równa jest połowie jego energii potencjalnej

- całkowita energia elektronu równa jest połowie jego energii potencjalnej.

- pęd

- moment pędu

- prędkość elektronu v jest styczna do toru, czyli prostopadła do promienia R.

gdzie: n - poziom energetyczny n=1, 2, 3, 4 ......∝.

- stała Plancka.

- promień toru elektronu na n-tym poziomie energetycznym.

- ładunek elektronu

- masa elektronu

, gdzie

- moment pędu

- moment siły, pochodna momentu pędu.

=const gdy

;
;

- całkowita energia elektronu zależna jest od poziomu energetycznego na którym on się znajduje.

- energia kwantu wypromieniowanego przez elektron przy przejściu do innego poziomu energetycznego.

- długość fali światła, gdzie c - prędkość światła.

- częstość

Jeden elektronowolt jest to ładunek jaki nabędzie elektron przy przejściu potencjału o 1 volt.

Fizyka - wykład dla semestru 1 na rok 1 studiów zaocznych na wydziale elektrycznym Politechniki Warszawskiej

Strona 33

Spis zawarości:

1. Wielkości fizyczne (skalary, wektory)

2. Prędkość

3. Prędkość kątowa

4. Prędkość światła

5. Prędkość dźwięku

6. Droga

7. Przyspieszenie

8. Stała grawitacji

9. Oddziaływanie grawitacyjne, grawitacja,

10. Objętość ciała

11. Galon

12. Mol, gramocząsteczka

13. Liczność cząsteczek n

14. Nuklid

15. Liczba Avogadra

16. Masa molowa

17. Masa atomowa

18. Masa

19. Ciężar właściwy

20. Bezwładność, inercja

21. Moment bezwładności

22. Siły bezwładności

23. Siła dośrodkowa

24. Siła odśrodkowa

25. Cosinusy kierunkowe

26. Ruch obrotowy

27. Względności teoria ogólna

28. Równoważności zasada

29. Keplera prawa

30. Nieinercjalny układ odniesienia

31. Coriolisa siła

32. Christoffela symbole

33. Tensor

34. Energia

35. Energia kinetyczna

36. Energia potencjalna

37. Energii zachowania zasady

38. Dżul

39. Praca

40. Siła

41. Pęd

42. Pędu zasada zachowania

43. Moment pędu

44. Inercjalny układ odniesienia

45. Galileusza przekształcenie (transformacja)

46. Lorentza przekształcenie (transformacja)

47. Lorentza-Fitzgeralda skrócenie (kontrakcja)

48. Względności teoria szczególna

49. Minkowskiego przestrzeń

50. Maxwella równania

51. Natężenie pola elektrycznego

52. Natężenie pola magnetycznego

53. Indukcja

54. Przenikalność magnetyczna

55. Dywergencja

56. Rotacja

57. Gradient

58. Drgania, oscylacje

59. Drgania harmoniczne

60. Drgania cząsteczek

61. Amplituda

62. Drgania sieci krystalicznej

63. Fala

64. Fale elektromagnetyczne

65. Fala boczna

66. Fala stojąca

67. Fala Macha

68. Macha liczby, M, Ma

69. Długość fali

70. Okres drgań

71. Faza

72. Prędkość fazowa

73. Laplasjan, Laplace'a operator

74. Dalambercjan

75. Potencjał

76. Foton

77. Bessela równanie

78. Bessela funkcje

79. Dyfrakcja (ugięcie) fal

80. Dyfrakcja cząsteczek

81. Interferencja fal

82. Dudnienie

83. Modulacja

84. Gazy

85. Gaz rzeczywisty

86. Gaz doskonały

87. Gay-Lussaca prawa gazów

88. Gazowa stała

89. Clapeyrona równanie

90. Boyle'a-Mariotte'a prawo

91. Charlesa prawo

92. Boltzmanna rozkład

93. Kinetyczna teoria gazów

94. Maxwella-Boltzmana rozkład

95. Maxwella prawo rozkładu

96. Ciśnienie

97. Podstawowe jednostki pomiaru ciśnienia

98. Bernouliego równanie

99. Temperatura

100. Podstawowe jednostki pomiaru temperatury

101. Ciepło molowe

102. Boltzmanna stała k

103. Plancka stała, kwant działania h

104. Wzory

105. Cząsteczka wodoru - wzory.

---