teoria sterowania, Edukacja, studia, Semestr VI, Teoria Sterowania


1. Dana jest ('prosta'!) macierz0x01 graphic
. Opisz podprzestrzenie Ker(A) i Im(A).

Zgodnie z definicją:

0x01 graphic

0x01 graphic

a) Ker A

Szukamy wszystkich x =0x01 graphic
takich, że Ax=0x01 graphic

0x01 graphic

b) Im A

Szukamy wszystkich y =0x01 graphic
takich, że y=Ax, gdzie x=0x01 graphic

0x01 graphic

stąd:

0x01 graphic

2. Dana jest ('prosta'!) macierz 0x01 graphic
. Wyznacz wymiar podprzestrzeni Ker(A) i Im(A).

Wiadomo, że jeśli 0x01 graphic
to dim(Im(A)) + dim(Ker(A)) = n

wtedy: dim(Im(A)) = rankA

Jeśli więc będzie dana macierz A np.: 0x01 graphic
to mamy:

Wyznaczamy rankA. (rząd macierzy to wymiar największej macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku)

Zauważmy, że: det(A)=12-6-2+9=13 wtedy rankA=3

dim(ImA)=3

dim(KerA)=0

3. Niech 0x01 graphic
. Czy mogą obowiązywać następujące relacje:

a) dim Im(A) = 0

TAK 0x01 graphic
np. 0x01 graphic

b) dim Ker (A) = 0

TAK 0x01 graphic
np. 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

TAK 0x01 graphic
np. 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

TAK 0x01 graphic
np. 0x01 graphic

e) Ker(A)=Im(A)

TAK 0x01 graphic
np.0x01 graphic

f) Ker(A)=

NIE 0x01 graphic
z definicji Ker(A) jest podprzestrzenią Rn więc musi zawierać przynajmniej element zerowy.

g) Im(A)=Rn

TAK 0x01 graphic
np. A=In

h) Ker(A)=Rn

TAK 0x01 graphic
np. A=0

i) 0x01 graphic

TAK 0x01 graphic
np. 0x01 graphic

4.Wyznacz model w przestrzeni stanu na podstawie zadanego (prostego!) schematu symulacyjnego oraz równania różniczkowego.

a)

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
b)

0x01 graphic

przechodzimy na transformatę Laplace'a:

[α[f(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0+)-sn-2f'(0+)-…-f(n-1)(0+)]

=>x''(t)=s2X(s)-sX(0)-x'(0)=s2X(s) ; x'(t)=sX(s)

=>s2X(s)+sX(s)+X(s)+(1/(s-1))X(s)=U(s)

=>X(s) [(s2+s+1)(s-1)+1]/(s-1) =U(s)

G(s)=X(s)/U(s) = (s-1)/(s2-s+1)

=>0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
,D=0

5. Wyznacz rozwiązanie x(t) (prostego!) równania 0x01 graphic
, x(0).

Niech: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
⇒dziedzina s:

sx1(s) - x1(0+) = -2x1(s)

sx2(s) - x2(0+) = x2(s) - 4x2(s)

sx1(s) - 1 = -2x1(s)

sx2(s) - 1 = x2(s) - 4x2(s)

X1(s)(s+2) = 1 ⇒ 0x01 graphic
0x01 graphic
⇒ X1(t)=e2t

X2(s)(s+4) = X1(s) + 1 = 0x01 graphic

X2(s)=0x01 graphic

sA + 4A + sB + 2B = s+3

s(A+B) + 4A + 2B = s+3

A+B = 1

4A+2B = 3 ⇒ A = -5/2, B=7/2

0x01 graphic

6. Podaj definicję oraz Kryterium dobrej określoności układu dynamicznego liniowego.

Układ jest dobrze określony jeśli dla każdej pary we-wy odpowiadająca tej parze transmitancja układu zamkniętego jest właściwa. 0x01 graphic
czyli degN(s) ≤ degD(s).

Kryterium dobrej określoności:

Układ zbudowany z 2 bloków o transmitancjach właściwych jest dobrze określony ⇔ Δ(∝)≠0, gdzie Δ-funkcja charakterystyczna schematu blokowego układu.

7. Sformułuj definicję stabilności BIBO, wewnętrznej oraz asymptotycznej układu liniowego. Podaj stosowne kryteria stwierdzania takiej stabilności.

Układ dynamiczny będziemy nazywać „stabilnym w sensie BIBO” jeśli każdy ograniczony sygnał wejściowy ||u(t)|| ≤ M1 < ∝ (0 ≤ t < ∝) wywołuje tylko ograniczony sygnał wyjściowy: ||y(t)|| ≤ M2 < ∝ (0 ≤ t < ∝)

Przy założeniu, że stan początkowy rozpatrywanego układu jest stanem określonym przez wektor zerowy. Układ jest stabilny w sensie BIBO ⇔ jeśli wszystkie bieguny jego transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennych zespolonych.

Koncepcja stabilności BIBO nie jest szczególnie użyteczna bo układ o zadowalających własnościach reakcji we-wy może cierpieć na „wylewy wewnętrzne”, polega to na tym, że ||x(t)|| → ∝ .

STABILNOŚĆ ASYMPTOTYCZNA

Liniowy, stacjonarny układ nazywany będzie stabilnym asymptotycznie, jeśli punkt równowagi tego układu Xr=0 jest asymptotycznie stabilny. Xr=0 jest stabilny(w sensie Lapunova), jeśli dla każdej liczby dodatniej ε można dobrać taką liczbę η, że trajektoria układu rozpoczyna się wewnątrz koła o promieniu η.

Punkt Xr=0 będziemy nazywać stabilnym asymptotycznie, jeśli:

1°) punkt ten będzie stabilny w sensie Lapunova

2°) 0x01 graphic

STABILNOŚĆ LOKALNA

Mamy system nieautonomiczny 0x01 graphic
f(x) - różniczkowe

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli zlinearyzować w powyższy sposób system jest stabilny wówczas stan równowagi systemu oryginalnego (tzn. nieliniowego) jest asymptotycznie stabilny. Czyli stabilność systemu liniowego generuje lokalną stabilność asymptotyczna nieliniowego układu.

Stosowane kryteria: a) kryterium Routha

b) kryterium Hutwitza

8. Podaj oraz skomentuj def. sterowalności liniowego stacj. układu dynamicznego.

Para (A,B) opisująca nasz układ , A∈Rnxn, B∈Rnxp jest całkowicie sterowalna 0x01 graphic
x(0)0x01 graphic
0<tj<∞∃u:[0, tj] ->Rn X(tj)=0n

Kom: Widać, że dla układu, który jest całkowicie sterowalny dla dowolnego stanu pocz. x(t=0) zawsze istnieje jakieś sterowanie, które w skończonym czasie tj sprowadzi nam układ do stanu równowagi („orgin point”) -> inaczej: mamy system: x'(t)=Ax+Bu; x=nx1; y(t)=Cx+Du; u=rx1, y=px1; r wejść, p wyjść

Mówimy, że stan x(t) jest sterowalny w chwili t0, jeśli istnieje takie sterowanie u(t), które pozwala sprowadzić ten stan do dowolnego stanu końcowego x(tk). W czasie skończonym (tk-t0)≥0. Jeśli każdy stan jest sterowalny, to system jest sterowalny. Warunkiem koniecznym i dostatecznym jest aby macierz S∈Rnxnλ miała rząd n.

0x01 graphic
rankS=n

9. Podaj oraz skomentuj definicję obserwowalności liniowego stacjonarnego układu dynamicznego.

Para (A,C) jest całkowicie obserwowalna, A∈Rnxn. C∈Rqxn ,q - ilość czujników znając wyjście y:[0,tj] -> Rq 0x01 graphic
tj>0 potrafimy wyznaczyć warunki początkowe x(0) gdzie x'(0) jest dowolne.

Kom: Układ „startując” z dowolnych nieznanych nam warunków początkowych, my natomiast budując tylko mierzymy na wyjściu układu przy znanych sygnałów pobudzających przez czas tj. jesteśmy w stanie wyznaczyć jego warunki początkowe.

Koncepcja obserwowalności pojawia się, kiedy trzeba uzyskiwać informacje o stanie (zm.x) na podstawie wyjścia i wejścia. Jeżeli co najmniej jedna ze zm. stanu nie może być odtworzona - powiadamy, że jest ona obserwowalna, a system nieobserwowalny.

-> inaczej: Jeśli mamy system: x'=Ax+Bu

y=Cx+Du

powiadamy, że stan x(t0).Jeżeli każdy stan jest obserwowalny o ile dla danego wejścia. u(t) istnieje taki skończony czas tk≤t0,że znajomość tego wejścia oraz wyjścia dla t0≤t≤tk jest wystarczająca dla określenia x(t0). Jeśli każdy stan jest obserwowalny w opisanym sensie powiadamy, że system jest całkowicie obserwowalny.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby system był obserwowalny jest aby macierz V: 0x01 graphic
miała rząd V=n (nxnp)

Mówiąc o obserwowalności można mówić o obserwowaniu pary AC. Jeśli nasz system ma tylko 1wejście (p=1) to wymiary macierzy V są nxn. Taka macierz ma rząd n jeśli jest nieosobliwa.

10. Omów przynajmniej dwa kryteria sterowalności liniowych obiektów dynamicznych.

1omac.ster. 0x01 graphic
∈Rnxnpma pełny rząd wierszowy. rank MC=n

2omac.0x01 graphic
0x01 graphic

jest dodatnio określona0x01 graphic

3orank ~MC=n, gdzie ~0x01 graphic
∈Rmx(n-rB+1)p

rB=rankB

4o 0x01 graphic
gdzie:

0x01 graphic
∈Rmx(n-rB+1)p

m=degψA, ψA-wielomian minimalny.

11. Omów przynajmniej 2 kryteria obserwowalności liniowych obiektów dynamicznych.

Para 0x01 graphic

1. rank 0x01 graphic
pełny rząd kolumnowy

0x01 graphic

2. rank 0x01 graphic

0x01 graphic
Rc rząd macierzy C, ta macierz ma mniej wierszy

3.

0x08 graphic
M=deg 0x01 graphic
czyli M-stopień wielomianu 0x01 graphic
wielomian minimalny macierzy A

0x01 graphic
0x01 graphic

+ Kartka Kowala

12. Sprawdź sterowalność zadanej (prostej) pary (A,b):

0x01 graphic

13. Sprawdż obserwowalność podanej prostej pary (A,C)

0x01 graphic

14. Sprawdź asymptotyczną stabilność systemu 0x01 graphic
o zadanej prostej macierzy A.

0x01 graphic
Wyznaczamy spect 0x01 graphic
. Wiadomo ze wartości własne macierzy 0x01 graphic
to rozwiązanie równania det0x01 graphic

0x01 graphic
det0x01 graphic

Układ jest stabilny bo wszystkikie wartości własne macierzy A są „-„(mają „-„ części Re)

15. Dane są elementy pewnego systemu 0x01 graphic
. Wiadomo, że spectr A={λ,λ} (pods. wart. wł. λ należą do R)

a) rozważ problem obserwalności pary (A,C)

b)czy wzbogacając ten system o odpowiedni czujnik 0x01 graphic
, można stosowaną parę (A, 0x01 graphic
) zawsze uczynić parą obserwowalną.

0x01 graphic
ilość wartości własnych 0x01 graphic

0x01 graphic
=1 mamy zatem tylko jedną lin. niezol kolumnę w macierzy.

Tą wart. wł. będzie zwrąz. Tylko jedna klatka Jordana o wymiarze 2x2

Szukamy więc postaci macierzy podobieństwa 0x01 graphic
Musimy zatem znaleźć wektor własny dla wartości λ, a następnie uogól. wekt. wł.które stanowią macierz 0x01 graphic

0x01 graphic
te dwa wektory stanowią macierz P=[p1,1,1 ,p1,1,2]

0x01 graphic

Pozostaje teraz obliczyć 0x01 graphic
.Jeżeli pierwsza kolumna macierzy CP będzie zerowała element zerowy to będzie to znaczyło iż para (A,C) nie jest CO.Nieobserwowalny będzie mod o numerze odpowiadający numerowi kolumny zew. Zerowy elem.

0x01 graphic

b)

Gdyby para (A,C) nie była CO to wtedy w wekt. CP part by się zerowy elem. Odpowiadający nie obserwowalnemu modowi: jeśli rozbudujemy C do postaci 0x01 graphic
to wtedy.

1. 0x01 graphic

2.Natomiast dla C 0x01 graphic

0x08 graphic


16.Dany jest model x'(t)= Ax(t)+Bu(t) oraz y(t)=Cx(t) pewnego dynamicznego obiektu. Para (A,B) jest CS zas para (A,C) jest CO. Zastosowano sterowanie u(t) = -Kx(t). a) Czy para (A-BK,B), opis układu niesterowalnego może być niesterowalna?, b) Co powiesz o obserwowalności pary (A-BK,C)?

Ad a)

x'=Ax-BKx=(A-BK)x+Bu

Macierz sterowalności pary (A-BK,B) będzie mialo postac:

MC=[B (A-BK)B … (A-BK)n-1B].

Wiemy ze para (AB) jest CS => rank MC = n

W przypadku gdy macierz (A-BK) będzie zerowa mnoza się zera w MC może być niesterowalna.

MC=[B 0 0 … 0] rank MC=1 zatem para [(A-BK),B] nie musi być CS.

Jest to przypadek dosc dwustronny wystrczy bowiem ze w macierzy MC znajda się gdziekolwiek dwa liniowo zalezne wiersze albo jeśli wiecej niż [n(p-1)] wierszy będzie liniowo niezależne.

Ad b) Analogicznie do pkt a) mamy:

M0=0x01 graphic
M0=0x01 graphic

Podobnie jest (A-BK)=0 to wtedy rank M0=1 czyli nie musi być CO

17. Omow metode Ackermana oraz met. Sprow. Modelu do stosownej kanonicznej postaci jako podstawy syntezy regulatora od stanu liniowego obiektu o jednym wejściu(wyjsciu).

Istota sprzężenia od stanu jest to ze zamiast sprzez od wyjscia obiektu realizujemy sprzez. Od całego wektora stanu. Zapewnia to nam pelna kontrole nad biegunami Formula Ackermana - sluzy do wyznaczania współczynników sprzężenia od stanu. Mamy obiekt SISO AєRnxn ; bєRnxa Układ będzie wiec opisany macierzami (A-BK,b,c). Metoda Ackermana syntezy regulatora może być stosowana tylko jeśli para (Ab) jest CS. Zauważmy ze obiekt posiada macierz A\ o wartości wl. Spectr A= {λi}i=1n. Musimy wtedy dobrac wektor k wedlug zależności K = φA(λ)(MC-1)Ten;

en-sluzy do otrzymania ostatniego wiersza = 0x01 graphic
; MC macierz sterowalności pary (A,b) , φA wielomian char. mac. A\ tzn φA(λ)=det[AλIn] ≡ det[λIn-A].

Metoda sprowadzenia do stosownej kanonicznej postaci.

Jeżeli para (A,b) jest CS to układ możemy sprowadzic do post. CCF0x01 graphic
:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
wtedy latwo wyznaczyc φA(λ)=a0+a1 λ+…+an-1 λn-1+ λn

Chcielibyśmy aby macierz 0x01 graphic
miala określone wartości wlasne. Zauważmy ze k=[k1 k2 … kn]T ; 0x01 graphic
przez analogie z poprzednim: φA(λ)=α0+ α1λ+…+ α n-1 λn-1+ λn gdzie αi=ai+ki+1 możemy wiez wyliczyc k ze wzoru: k=(MCW)-T=0x01 graphic
gdzie w=0x01 graphic
w jest odwracalna MC - tez musi być odwracalna

18. a) omow synteze liniowego regulatora od stanu w przypadku obiektu o wielu wejściach ; b) wyjaśnij dlaczego zadanie syntezy stabilizującego regulatora metoda rozmieszczania biegunow nie posiada jednoznacznego rozw. ;

Niech dany jest układ o modelu (A B C D) MIMO/MISO U=-kx ; A\ єRnxn , BєRnxp Dokonujemy dekompozycji SVD macierzy B; 0x01 graphic
0x01 graphic
\VT ; chcemy aby KєRpxn spectr (A+BK)=0x01 graphic
Idac dalej 0x01 graphic
0x01 graphic
; wb=Σ VT=Rpxp wB ; wB-1=(VT)-1Σ-1=V Σ-1 .Chcemy aby spectr[A]={ λ1, …, λn} Macierz (A-BK) musi być diagonizowalne

0x01 graphic
=> spectr{A-BK}=spectr Λn.

Dla diagonalnej macierzy (A-BK) єRnxn oraz nieosobliwego parametru PєRnxn rozwiązanie KєRpxn zachodzi : spectr{A-BK}=spectrΛn istnieje UT(AP-PΛN)=0(n-p)xn ma postac: K=wB-1UT(PΛNP-1-A) gdzie P jest pewnym parametrem projektu mac P dobieranym tak aby Im(AP-PΛN)<KerUT tzn. dobieramy kolejne kolumny Pi macierzy P tak aby: 0x01 graphic
Ker(uT(A- λiIn)) , postępując wg. Algorytmu: 10 Znajduje baze podprzestrzeni: Ker {uT(A- λIn)}; 20 Wybieramy dowolny wektor p1tej bazy ; 30 wybieramy nastepny wektor p2єKer{uT(A-λI)) ale tak aby: pi ┴Im┴[p1,p2,…,pi-1]piє Ker{A-λII} ; ad b) Zadanie syntezy regulatora stabilizującego metode rozmieszczania biegunow nie posiada jednoznacznego rozw. Gdyz stnieje wiele macierzy nieosobliwych P takich ze: UT(AP-PΛN)=0(n-p)xn .

19. Omow synteze liniowego regulatora od stanu w układzie realizującym zadanie sledzenia zadanej wielkości metoda rozmieszczania biegunow. Rozpatrzmy układ sledzenia:

Wprowadzmy oznaczenia: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; Zauważmy ze 0x01 graphic
0x01 graphic
+0x01 graphic
Zatem zadanie stabilizacji i sledzenia sprowadza się poprzez odpowiedzni dobor struktury do stabilizacji pary rozbudowanej (A,B) Zadanie to ma rozwiązanie gdy detMC≠0 => rank MC=n ; gdzie 0x01 graphic
okazuje się ze: det(MC) zalezy tylko od 0x01 graphic
Zatem układ zamkniety będzie stabilny jeśli: 10 para (A,B) będzie CS , 20 system 0x01 graphic
nie będzie posiadal zera inwariantnego.

20. Dany jest model pewnego dynamicznego obiektu x1'(t)=u(t) oraz x2'(t)=x1(t), przy czym x1(0)=1, x2(0)=-1. Wyznacz przykładowe sterowania u:[0 1] R przy którym x1(1)=0 oraz x2(1)=0. Czy zagadka ma jednoznaczne rozwiązanie.

0x01 graphic
Zauważmy ze: Mc=[B AB]=…=0x01 graphic
=>det Mc=1 uklad jest kanoniczny sterowalny. Mamy x(2)-A2X(0)=[B AB]0x01 graphic
; u=Mc-1(x(2)-A2x(0)) ; 0x01 graphic
Sterowanie znajdziemy ze wzoru: u(t)=-bTeAT+wc(tj)-1x(0) gdzie: 0x01 graphic
Zauważmy ze: 0x01 graphic
; A3=0 itd. Zatem e-Aτ=Iz-Aτ stad: 0x01 graphic
=0x01 graphic
=0x01 graphic
po scałkowaniu każdego elementu macierzy oraz podstawieniu t=1 otrzymujemy 0x01 graphic
0x01 graphic
=> 0x01 graphic
Zagadka nie ma jednoznacznego rozwiązania.

21. Omow własności podobnych modeli w przestrzeni stanu liniowych obiektow dynamicznych.

Dwa modele: (A B C D) , 0x01 graphic
sa podobne x(0)=Tz(0). Wtedy: 10 spectr(A)=spectr(A') niezmiennik przekszt. Podobieństwa. Stad: detA=detA' , trA=trA' ; 20 Odpowiedz skokowa i impulsowa te same niezmiennik 30 Nie jest niezmiennikiem macierz fundamentalna exp(At) ≠ exp(A't) .

0x01 graphic

22. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część sterowalną oraz niesterowalną.

Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Jeżeli para (A,B) nie jest CS tzn. rank 0x01 graphic
to istnieje taka macierz 0x01 graphic
nieosobliwa, że:

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
jest CS.

Zatem 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Możemy zatem zapisać 0x01 graphic

możemy dokonać dekompozycji przestrzeni 0x01 graphic
na dwie podprzestrzenie:

- podprzestrzeń ?? sterowalną

- podprzestrzeń ?? niesterowalną

0x01 graphic

podprz. niester.

? sterow.

Aby tego dokonać macierz 0x01 graphic
musi mieć odpowiednią postać. Postępujemy wg algorytmu:

  1. wyznaczamy 0x01 graphic
    i obliczamy rank0x01 graphic

  2. wybieramy 0x01 graphic
    lin. niezal. Kolumn z 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

  1. wybieramy 0x01 graphic
    lin. niezal. kolumn z 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

23. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część obserwowalną oraz nieobserwowalną.

Dany jest model (A B C D) taki, że para (AC) nie jest CO 0x01 graphic
.

Istnieje taki model podobny 0x01 graphic
,że

0x01 graphic
, gdzie para 0x01 graphic
jest CO.

0x01 graphic
,0x01 graphic

0x01 graphic
->przestrzeń stanów nieobserwowalnych

0x01 graphic
->przestrzeń stanów obserwowalnych

24.Podaj definicję zera (niezmienniczego) obiektu dynamicznego opisanego modelem (A,B,C,D).

Rozpatrzmy model systemowy 0x01 graphic
Macierz ta posiada ???? 0x01 graphic
:

0x01 graphic
postaci: 0x01 graphic

Zero ????????? to taka liczba 0x01 graphic
, dla której 0x01 graphic

25) Omów syntezę obserwatora o minimalnym rzędzie

Aby mieć syntezę obserwatora to trzeba :

- równanie różniczkowe

- równanie opisujące pomiary czyi taki filtr tj. układ dynamiczny

Szukanie równania różniczkowego na dynamikę y

0x01 graphic

30) Zdefiniuj tak zwane f-cje wrażliwości danego zamkniętego układu regulacji (sterowania). Omów rolę takich f-cji w klasycznym i odpornym projektowaniu układów sterowania.

Za miarę wrażliwości jednowymiarowego układu liniowego o transmitancji operatorowej G(s) = G (s,x) przy zmianie parametru x, przyjmuje się wielkość zwaną współczynnikiem (lub f-cją) wrażliwości określoną:

W = W(s,x) = (dG(s,x) / dx ) * x / G(s,x)

Dla np. ujemnego sprzężenia zwrotnego (USzZ) G(s) = (k/s) / (1 + k/s) W = dG(s)/dk * k/G(s) = s/s+k

Wprowadzenie USzZ nie zawsze gwarantuje mniejszą wrażliwość układu na zmianę parametrów obiektu.

0x01 graphic

0x01 graphic

u(t)

y(t)

1

1

1

1

-1

2

2

x2

0x01 graphic

0x01 graphic

x1

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka