1. Dana jest ('prosta'!) macierz
. Opisz podprzestrzenie Ker(A) i Im(A).
Zgodnie z definicją:
Jeśli mamy przykładowo macierz
to procedura postępowania jest następująca:
a) Ker A
Szukamy wszystkich x =
takich, że Ax=
b) Im A
Szukamy wszystkich y =
takich, że y=Ax, gdzie x=
stąd:
2. Dana jest ('prosta'!) macierz
. Wyznacz wymiar podprzestrzeni Ker(A) i Im(A).
Wiadomo, że jeśli
to dim(Im(A)) + dim(Ker(A)) = n
wtedy: dim(Im(A)) = rankA
Jeśli więc będzie dana macierz A np.:
to mamy:
Wyznaczamy rankA. (rząd macierzy to wymiar największej macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku)
Zauważmy, że: det(A)=12-6-2+9=13 wtedy rankA=3
dim(ImA)=3
dim(KerA)=0
3. Niech
. Czy mogą obowiązywać następujące relacje:
a) dim Im(A) = 0
TAK
np.
b) dim Ker (A) = 0
TAK
np.
. Zatem
c)
TAK
np.
d)
TAK
np.
e) Ker(A)=Im(A)
TAK
np.
f) Ker(A)=∅
NIE
z definicji Ker(A) jest podprzestrzenią Rn więc musi zawierać przynajmniej element zerowy.
g) Im(A)=Rn
TAK
np. A=In
h) Ker(A)=Rn
TAK
np. A=0
i)
TAK
np.
4.Wyznacz model w przestrzeni stanu na podstawie zadanego (prostego!) schematu symulacyjnego oraz równania różniczkowego.
a)
b)
przechodzimy na transformatę Laplace'a:
[α[f(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0+)-sn-2f'(0+)-…-f(n-1)(0+)]
=>x''(t)=s2X(s)-sX(0)-x'(0)=s2X(s) ; x'(t)=sX(s)
=>s2X(s)+sX(s)+X(s)+(1/(s-1))X(s)=U(s)
=>X(s) [(s2+s+1)(s-1)+1]/(s-1) =U(s)
G(s)=X(s)/U(s) = (s-1)/(s2-s+1)
=>
,
,
,D=0
5. Wyznacz rozwiązanie x(t) (prostego!) równania
, x(0).
Niech:
,
⇒
⇒dziedzina s:
sx1(s) - x1(0+) = -2x1(s)
sx2(s) - x2(0+) = x2(s) - 4x2(s)
sx1(s) - 1 = -2x1(s)
sx2(s) - 1 = x2(s) - 4x2(s)
X1(s)(s+2) = 1 ⇒
⇒
⇒ X1(t)=e2t
X2(s)(s+4) = X1(s) + 1 =
X2(s)=
sA + 4A + sB + 2B = s+3
s(A+B) + 4A + 2B = s+3
A+B = 1
4A+2B = 3 ⇒ A = -5/2, B=7/2
6. Podaj definicję oraz Kryterium dobrej określoności układu dynamicznego liniowego.
Układ jest dobrze określony jeśli dla każdej pary we-wy odpowiadająca tej parze transmitancja układu zamkniętego jest właściwa.
czyli degN(s) ≤ degD(s).
Kryterium dobrej określoności:
Układ zbudowany z 2 bloków o transmitancjach właściwych jest dobrze określony ⇔ Δ(∝)≠0, gdzie Δ-funkcja charakterystyczna schematu blokowego układu.
7. Sformułuj definicję stabilności BIBO, wewnętrznej oraz asymptotycznej układu liniowego. Podaj stosowne kryteria stwierdzania takiej stabilności.
Układ dynamiczny będziemy nazywać „stabilnym w sensie BIBO” jeśli każdy ograniczony sygnał wejściowy ||u(t)|| ≤ M1 < ∝ (0 ≤ t < ∝) wywołuje tylko ograniczony sygnał wyjściowy: ||y(t)|| ≤ M2 < ∝ (0 ≤ t < ∝)
Przy założeniu, że stan początkowy rozpatrywanego układu jest stanem określonym przez wektor zerowy. Układ jest stabilny w sensie BIBO ⇔ jeśli wszystkie bieguny jego transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennych zespolonych.
Koncepcja stabilności BIBO nie jest szczególnie użyteczna bo układ o zadowalających własnościach reakcji we-wy może cierpieć na „wylewy wewnętrzne”, polega to na tym, że ||x(t)|| → ∝ .
STABILNOŚĆ ASYMPTOTYCZNA
Liniowy, stacjonarny układ nazywany będzie stabilnym asymptotycznie, jeśli punkt równowagi tego układu Xr=0 jest asymptotycznie stabilny. Xr=0 jest stabilny(w sensie Lapunova), jeśli dla każdej liczby dodatniej ε można dobrać taką liczbę η, że trajektoria układu rozpoczyna się wewnątrz koła o promieniu η.
Punkt Xr=0 będziemy nazywać stabilnym asymptotycznie, jeśli:
1°) punkt ten będzie stabilny w sensie Lapunova
2°)
STABILNOŚĆ LOKALNA
Mamy system nieautonomiczny
f(x) - różniczkowe
Jeżeli zlinearyzować w powyższy sposób system jest stabilny wówczas stan równowagi systemu oryginalnego (tzn. nieliniowego) jest asymptotycznie stabilny. Czyli stabilność systemu liniowego generuje lokalną stabilność asymptotyczna nieliniowego układu.
Stosowane kryteria: a) kryterium Routha
b) kryterium Hutwitza
8. Podaj oraz skomentuj def. sterowalności liniowego stacj. układu dynamicznego.
Para (A,B) opisująca nasz układ , A∈Rnxn, B∈Rnxp jest całkowicie sterowalna
x(0)
0<tj<∞∃u:[0, tj] ->Rn X(tj)=0n
Kom: Widać, że dla układu, który jest całkowicie sterowalny dla dowolnego stanu pocz. x(t=0) zawsze istnieje jakieś sterowanie, które w skończonym czasie tj sprowadzi nam układ do stanu równowagi („orgin point”) -> inaczej: mamy system: x'(t)=Ax+Bu; x=nx1; y(t)=Cx+Du; u=rx1, y=px1; r wejść, p wyjść
Mówimy, że stan x(t) jest sterowalny w chwili t0, jeśli istnieje takie sterowanie u(t), które pozwala sprowadzić ten stan do dowolnego stanu końcowego x(tk). W czasie skończonym (tk-t0)≥0. Jeśli każdy stan jest sterowalny, to system jest sterowalny. Warunkiem koniecznym i dostatecznym jest aby macierz S∈Rnxn⋅λ miała rząd n.
rankS=n
9. Podaj oraz skomentuj definicję obserwowalności liniowego stacjonarnego układu dynamicznego.
Para (A,C) jest całkowicie obserwowalna, A∈Rnxn. C∈Rqxn ,q - ilość czujników znając wyjście y:[0,tj] -> Rq
tj>0 potrafimy wyznaczyć warunki początkowe x(0) gdzie x'(0) jest dowolne.
Kom: Układ „startując” z dowolnych nieznanych nam warunków początkowych, my natomiast budując tylko mierzymy na wyjściu układu przy znanych sygnałów pobudzających przez czas tj. jesteśmy w stanie wyznaczyć jego warunki początkowe.
Koncepcja obserwowalności pojawia się, kiedy trzeba uzyskiwać informacje o stanie (zm.x) na podstawie wyjścia i wejścia. Jeżeli co najmniej jedna ze zm. stanu nie może być odtworzona - powiadamy, że jest ona obserwowalna, a system nieobserwowalny.
-> inaczej: Jeśli mamy system: x'=Ax+Bu
y=Cx+Du
powiadamy, że stan x(t0).Jeżeli każdy stan jest obserwowalny o ile dla danego wejścia. u(t) istnieje taki skończony czas tk≤t0,że znajomość tego wejścia oraz wyjścia dla t0≤t≤tk jest wystarczająca dla określenia x(t0). Jeśli każdy stan jest obserwowalny w opisanym sensie powiadamy, że system jest całkowicie obserwowalny.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby system był obserwowalny jest aby macierz V:
miała rząd V=n (nxnp)
Mówiąc o obserwowalności można mówić o obserwowaniu pary AC. Jeśli nasz system ma tylko 1wejście (p=1) to wymiary macierzy V są nxn. Taka macierz ma rząd n jeśli jest nieosobliwa.
10. Omów przynajmniej dwa kryteria sterowalności liniowych obiektów dynamicznych.
1omac.ster.
∈Rnxnpma pełny rząd wierszowy. rank MC=n
2omac.
jest dodatnio określona
3orank ~MC=n, gdzie ~
∈Rmx(n-rB+1)p
rB=rankB
4o
gdzie:
∈Rmx(n-rB+1)p
m=degψA, ψA-wielomian minimalny.
11. Omów przynajmniej 2 kryteria obserwowalności liniowych obiektów dynamicznych.
Para
1. rank
pełny rząd kolumnowy
2. rank
Rc rząd macierzy C, ta macierz ma mniej wierszy
3.
M=deg
czyli M-stopień wielomianu
wielomian minimalny macierzy A
+ Kartka Kowala
12. Sprawdź sterowalność zadanej (prostej) pary (A,b):
13. Sprawdż obserwowalność podanej prostej pary (A,C)
14. Sprawdź asymptotyczną stabilność systemu
o zadanej prostej macierzy A.
Wyznaczamy spect
. Wiadomo ze wartości własne macierzy
to rozwiązanie równania det
det
Układ jest stabilny bo wszystkikie wartości własne macierzy A są „-„(mają „-„ części Re)
15. Dane są elementy pewnego systemu
. Wiadomo, że spectr A={λ,λ} (pods. wart. wł. λ należą do R)
a) rozważ problem obserwalności pary (A,C)
b)czy wzbogacając ten system o odpowiedni czujnik
, można stosowaną parę (A,
) zawsze uczynić parą obserwowalną.
ilość wartości własnych
=1 mamy zatem tylko jedną lin. niezol kolumnę w macierzy.
Tą wart. wł. będzie zwrąz. Tylko jedna klatka Jordana o wymiarze 2x2
Szukamy więc postaci macierzy podobieństwa
Musimy zatem znaleźć wektor własny dla wartości λ, a następnie uogól. wekt. wł.które stanowią macierz
te dwa wektory stanowią macierz P=[p1,1,1 ,p1,1,2]
Pozostaje teraz obliczyć
.Jeżeli pierwsza kolumna macierzy CP będzie zerowała element zerowy to będzie to znaczyło iż para (A,C) nie jest CO.Nieobserwowalny będzie mod o numerze odpowiadający numerowi kolumny zew. Zerowy elem.
b)
Gdyby para (A,C) nie była CO to wtedy w wekt. CP part by się zerowy elem. Odpowiadający nie obserwowalnemu modowi: jeśli rozbudujemy C do postaci
to wtedy.
1.
2.Natomiast dla C
16.Dany jest model x'(t)= Ax(t)+Bu(t) oraz y(t)=Cx(t) pewnego dynamicznego obiektu. Para (A,B) jest CS zas para (A,C) jest CO. Zastosowano sterowanie u(t) = -Kx(t). a) Czy para (A-BK,B), opis układu niesterowalnego może być niesterowalna?, b) Co powiesz o obserwowalności pary (A-BK,C)?
Ad a)
x'=Ax-BKx=(A-BK)x+Bu
Macierz sterowalności pary (A-BK,B) będzie mialo postac:
MC=[B (A-BK)B … (A-BK)n-1B].
Wiemy ze para (AB) jest CS => rank MC = n
W przypadku gdy macierz (A-BK) będzie zerowa mnoza się zera w MC może być niesterowalna.
MC=[B 0 0 … 0] rank MC=1 zatem para [(A-BK),B] nie musi być CS.
Jest to przypadek dosc dwustronny wystrczy bowiem ze w macierzy MC znajda się gdziekolwiek dwa liniowo zalezne wiersze albo jeśli wiecej niż [n(p-1)] wierszy będzie liniowo niezależne.
Ad b) Analogicznie do pkt a) mamy:
M0=
M0=
Podobnie jest (A-BK)=0 to wtedy rank M0=1 czyli nie musi być CO
17. Omow metode Ackermana oraz met. Sprow. Modelu do stosownej kanonicznej postaci jako podstawy syntezy regulatora od stanu liniowego obiektu o jednym wejściu(wyjsciu).
Istota sprzężenia od stanu jest to ze zamiast sprzez od wyjscia obiektu realizujemy sprzez. Od całego wektora stanu. Zapewnia to nam pelna kontrole nad biegunami Formula Ackermana - sluzy do wyznaczania współczynników sprzężenia od stanu. Mamy obiekt SISO AєRnxn ; bєRnxa Układ będzie wiec opisany macierzami (A-BK,b,c). Metoda Ackermana syntezy regulatora może być stosowana tylko jeśli para (Ab) jest CS. Zauważmy ze obiekt posiada macierz A\ o wartości wl. Spectr A= {λi}i=1n. Musimy wtedy dobrac wektor k wedlug zależności K = φA(λ)(MC-1)Ten;
en-sluzy do otrzymania ostatniego wiersza =
; MC macierz sterowalności pary (A,b) , φA wielomian char. mac. A\ tzn φA(λ)=det[A—λIn] ≡ det[λIn-A].
Metoda sprowadzenia do stosownej kanonicznej postaci.
Jeżeli para (A,b) jest CS to układ możemy sprowadzic do post. CCF
:
,
wtedy latwo wyznaczyc φA(λ)=a0+a1 λ+…+an-1 λn-1+ λn
Chcielibyśmy aby macierz
miala określone wartości wlasne. Zauważmy ze k=[k1 k2 … kn]T ;
przez analogie z poprzednim: φA(λ)=α0+ α1λ+…+ α n-1 λn-1+ λn gdzie αi=ai+ki+1 możemy wiez wyliczyc k ze wzoru: k=(MCW)-T=
gdzie w=
w jest odwracalna MC - tez musi być odwracalna
18. a) omow synteze liniowego regulatora od stanu w przypadku obiektu o wielu wejściach ; b) wyjaśnij dlaczego zadanie syntezy stabilizującego regulatora metoda rozmieszczania biegunow nie posiada jednoznacznego rozw. ;
Niech dany jest układ o modelu (A B C D) MIMO/MISO U=-kx ; A\ єRnxn , BєRnxp Dokonujemy dekompozycji SVD macierzy B;
\VT ; chcemy aby KєRpxn spectr (A+BK)=
Idac dalej
; wb=Σ VT=Rpxp wB ; wB-1=(VT)-1Σ-1=V Σ-1 .Chcemy aby spectr[A]={ λ1, …, λn} Macierz (A-BK) musi być diagonizowalne
=> spectr{A-BK}=spectr Λn.
Dla diagonalnej macierzy (A-BK) єRnxn oraz nieosobliwego parametru PєRnxn rozwiązanie KєRpxn zachodzi : spectr{A-BK}=spectrΛn istnieje UT(AP-PΛN)=0(n-p)xn ma postac: K=wB-1UT(PΛNP-1-A) gdzie P jest pewnym parametrem projektu mac P dobieranym tak aby Im(AP-PΛN)<KerUT tzn. dobieramy kolejne kolumny Pi macierzy P tak aby:
Ker(uT(A- λiIn)) , postępując wg. Algorytmu: 10 Znajduje baze podprzestrzeni: Ker {uT(A- λIn)}; 20 Wybieramy dowolny wektor p1tej bazy ; 30 wybieramy nastepny wektor p2єKer{uT(A-λI)) ale tak aby: pi ┴Im┴[p1,p2,…,pi-1]piє Ker{A-λII} ; ad b) Zadanie syntezy regulatora stabilizującego metode rozmieszczania biegunow nie posiada jednoznacznego rozw. Gdyz stnieje wiele macierzy nieosobliwych P takich ze: UT(AP-PΛN)=0(n-p)xn .
19. Omow synteze liniowego regulatora od stanu w układzie realizującym zadanie sledzenia zadanej wielkości metoda rozmieszczania biegunow. Rozpatrzmy układ sledzenia:
Wprowadzmy oznaczenia:
;
;
;
; Zauważmy ze
+
Zatem zadanie stabilizacji i sledzenia sprowadza się poprzez odpowiedzni dobor struktury do stabilizacji pary rozbudowanej (A,B) Zadanie to ma rozwiązanie gdy detMC≠0 => rank MC=n ; gdzie
okazuje się ze: det(MC) zalezy tylko od
Zatem układ zamkniety będzie stabilny jeśli: 10 para (A,B) będzie CS , 20 system
nie będzie posiadal zera inwariantnego.
20. Dany jest model pewnego dynamicznego obiektu x1'(t)=u(t) oraz x2'(t)=x1(t), przy czym x1(0)=1, x2(0)=-1. Wyznacz przykładowe sterowania u:[0 1] R przy którym x1(1)=0 oraz x2(1)=0. Czy zagadka ma jednoznaczne rozwiązanie.
Zauważmy ze: Mc=[B AB]=…=
=>det Mc=1 uklad jest kanoniczny sterowalny. Mamy x(2)-A2X(0)=[B AB]
; u=Mc-1(x(2)-A2x(0)) ;
Sterowanie znajdziemy ze wzoru: u(t)=-bTeAT+wc(tj)-1x(0) gdzie:
Zauważmy ze:
; A3=0 itd. Zatem e-Aτ=Iz-Aτ stad:
=
=
po scałkowaniu każdego elementu macierzy oraz podstawieniu t=1 otrzymujemy
=>
Zagadka nie ma jednoznacznego rozwiązania.
21. Omow własności podobnych modeli w przestrzeni stanu liniowych obiektow dynamicznych.
Dwa modele: (A B C D) ,
sa podobne x(0)=Tz(0). Wtedy: 10 spectr(A)=spectr(A') niezmiennik przekszt. Podobieństwa. Stad: detA=detA' , trA=trA' ; 20 Odpowiedz skokowa i impulsowa te same niezmiennik 30 Nie jest niezmiennikiem macierz fundamentalna exp(At) ≠ exp(A't) .
22. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część sterowalną oraz niesterowalną.
Niech
,
Jeżeli para (A,B) nie jest CS tzn. rank
to istnieje taka macierz
nieosobliwa, że:
gdzie:
jest CS.
Zatem
,
Możemy zatem zapisać
możemy dokonać dekompozycji przestrzeni
na dwie podprzestrzenie:
- podprzestrzeń ?? sterowalną
- podprzestrzeń ?? niesterowalną
podprz. niester.
? sterow.
Aby tego dokonać macierz
musi mieć odpowiednią postać. Postępujemy wg algorytmu:
wyznaczamy
i obliczamy rank
wybieramy
lin. niezal. Kolumn z
wybieramy
lin. niezal. kolumn z
23. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część obserwowalną oraz nieobserwowalną.
Dany jest model (A B C D) taki, że para (AC) nie jest CO
.
Istnieje taki model podobny
,że
, gdzie para
jest CO.
,
->przestrzeń stanów nieobserwowalnych
->przestrzeń stanów obserwowalnych
24.Podaj definicję zera (niezmienniczego) obiektu dynamicznego opisanego modelem (A,B,C,D).
Rozpatrzmy model systemowy
Macierz ta posiada ????
:
postaci:
Zero ????????? to taka liczba
, dla której
25) Omów syntezę obserwatora o minimalnym rzędzie
Aby mieć syntezę obserwatora to trzeba :
- równanie różniczkowe
- równanie opisujące pomiary czyi taki filtr tj. układ dynamiczny
Szukanie równania różniczkowego na dynamikę y
30) Zdefiniuj tak zwane f-cje wrażliwości danego zamkniętego układu regulacji (sterowania). Omów rolę takich f-cji w klasycznym i odpornym projektowaniu układów sterowania.
Za miarę wrażliwości jednowymiarowego układu liniowego o transmitancji operatorowej G(s) = G (s,x) przy zmianie parametru x, przyjmuje się wielkość zwaną współczynnikiem (lub f-cją) wrażliwości określoną:
W = W(s,x) = (dG(s,x) / dx ) * x / G(s,x)
Dla np. ujemnego sprzężenia zwrotnego (USzZ) G(s) = (k/s) / (1 + k/s) W = dG(s)/dk * k/G(s) = s/s+k
Wprowadzenie USzZ nie zawsze gwarantuje mniejszą wrażliwość układu na zmianę parametrów obiektu.
u(t)
y(t)
1
1
1
1
-1
2
2
x2
x1