Wykład 2

Ciągiem punktów w przestrzeni metrycznej
nazywamy, jak zwykle w matematyce, dowolną funkcję
określoną na zbiorze liczb naturalnych
o wartościach w przestrzeni
, którą standardowo będziemy oznaczali symbolem
(wymiennie stosuje się także oznaczenia
,
lub
). Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu
są z przestrzeni
, tj. jeśli
dla wszystkich
, to fakt ten będziemy krótko oznaczali w następujący sposób:
.

Podciągiem ciągu
nazywamy ciąg
, gdzie
jest dowolnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych.

W dalszym ciągu wykładu wykorzystywać będziemy następującą własność ciągu
a mianowicie:

Dla
nierówność jest oczywista. Zakładając, że nierówność zachodzi dla dowolnie ustalonego
, dla
dostajemy
, skąd
. Warunek (*) wynika zatem z zasady indukcji matematycznej.

Niech od tej pory, o ile nie założymy inaczej,
oznacza dowolną przestrzeń metryczną.

Powiemy, że ciąg
jest zbieżny, dokładniej zbieżny w przestrzeni
, gdy istnieje punkt
taki, że

Fakt zbieżności ciągu
do punktu
będziemy oznaczali następująco:

Jeśli nie istnieje punkt
spełniający powyższy warunek, to ciąg
nazwiemy ciągiem rozbieżnym.

Przykład 15 (ciągu zbieżnego i rozbieżnego)

Zauważmy, że zbieżność ciągu zależy nie tylko postaci ciągu ale i od przestrzeni, w której położone są wyrazy ciągu. Np., ciąg
jest zbieżny w przestrzeni metrycznej
, lecz nie jest zbieżny w przestrzeni metrycznej
.

Definicja 16 (ciągu ograniczonego i nieograniczonego)

Powiemy, że ciąg
jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości
jest ograniczony, tj. gdy
. Ponadto powiemy, że ciąg
jest nieograniczony, jeśli nie jest ograniczony.

Niech
będzie dowolnym ciągiem punktów przestrzeni
. Zachodzą następujące warunki:

(a) Ciąg
jest zbieżny do punktu
, wtedy i tylko wtedy, gdy każda kula otwarta o środku w punkcie
zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu
, tj. wszystkie, poza co najwyżej skończoną ich ilością.

(b) Ciąg
ma co najwyżej jedną granicę.

(c) Jeśli
, dla
, tj. jeśli ciąg
jest stały od pewnego miejsca, to
.

(d) Jeśli ciąg
jest zbieżny do
, to każdy jego podciąg
też jest zbieżny do
.

(e) Jeśli ciąg
jest zbieżny, to jest ograniczony.

(f) Jeśli każdy podciąg
ciągu
posiada podciąg
zbieżny do punktu
, to sam ciąg
też jest zbieżny do
.

(a) Załóżmy najpierw, że ciąg
jest zbieżny do punktu
. Weźmy dowolne
. Pokażemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu
leżą w kuli
. Biorąc
, wobec definicji 14, znajdziemy takie
, że dla wszystkich
:
lub równoważnie
. Oznacza to, że poza kulą
pozostaje, co najwyżej
wyrazów ciągu
:
- czyli skończona ich ilość.

Załóżmy na odwrót, tj. że w każdej kuli otwartej o środku
leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu
. Weźmy
i rozważmy kulę
. Istnieje
takie, że dla wszystkich
wyrazy
leżą w kuli
. To oznacza, że
dla
, co wobec definicji 14 oznacza, że
.

(b) Przypuśćmy, że
i
i
. Weźmy dowolną liczbę
. Ponieważ
, to znajdziemy
takie, że dla
:
, a ponieważ
, to znajdziemy
takie, że dla
:
. Wówczas dla
, wobec nierówności trójkąta dla
dostajemy

(d) Niech
będzie dowolnym podciągiem ciągu
. Ponieważ ciąg
jest zbieżny do
, to biorąc dowolne
, znajdziemy
takie, że dla

Biorąc teraz dowolną liczbę naturalną
, wobec tego, że
i (*) dostajemy

(e) Załóżmy, że ciąg
jest zbieżny do
. Biorąc
znajdziemy liczbę naturalną
taką, że

co wobec twierdzenia 11 i definicji 16 daje ograniczoność ciągu
.

(f) Przypuśćmy, że ciąg
nie jest zbieżny do punktu
. Zgodnie z definicją 14

Weźmy
. Znajdziemy
takie, że
. Weźmy
. Znajdziemy
takie, że
. Weźmy
. Znajdziemy
takie, że
. Kontynuując, łatwo już widać jak skonstruować rosnący ciąg
liczb naturalnych taki, że
,
. Nierówność ta jednak pokazuje, że z ciągu
nie da się wybrać żadnego podciągu zbieżnego do
, a to przeczy założeniu.

Powiemy, że ciąg
jest ciągiem Cauchy'ego (lub, że spełnia warunek Cauchy'ego) jeśli

Jeżeli ciąg
jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy'ego.

Niech
będzie taki, że
. Biorąc dowolną liczbę
, znajdziemy liczbę naturalną
taką, że dla
zachodzą następujące nierówności

Z nierówności trójkąta dla
dostajemy teraz dla

co pokazuje, że ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego.

Implikacji w powyższym twierdzeniu nie da się odwrócić, tj. nie każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny. Pokazuje to poniższy przykład.

Przykład 20 (ciągu Cauchy'ego który nie jest zbieżny)

Rozważmy w przestrzeni metrycznej
ciąg
. Pokażemy najpierw, że ciąg ten spełnia warunek Cauchy'ego. Weźmy dowolną liczbę
. Kładąc
i biorąc dowolne
dostajemy

co pokazuje, że ciąg
jest ciągiem Cauchy'ego.

Pokażemy teraz, że ciąg
nie jest zbieżny w przestrzeni
. Wobec definicji 14 wystarczy pokazać, że

Biorąc dowolny
i
oraz przyjmując
i
dostajemy

Oznacza to, że
w przestrzeni
nie istnieje.

Chociaż ciąg Cauchy'ego sam w sobie nie musi być zbieżny, to jednak, jeśli posiada podciąg zbieżny, to jest już zbieżny. Pokazuje to poniższe twierdzenie.

Jeżeli ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego i posiada podciąg zbieżny, to jest zbieżny.

Niech
będzie dowolną liczbą. Niech
będzie podciągiem ciągu
zbieżnym do
. Istnieje liczba
taka, że dla

Ponieważ ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego, to istnieje liczba
taka, że dla

Kładąc
i biorąc dowolne
, na mocy (*) i (**) i nierówności trójkąta dla
dostajemy

Podamy teraz, bez dowodu, jeszcze jedno bardzo ważne w zastosowaniach twierdzenie.

Twierdzenie 22 (Bolzano-Weierstrassa)

Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni metrycznej euklidesowej
posiada podciąg zbieżny.

Konsekwencją tego twierdzenia jest następujące twierdzenie.

W przestrzeni metrycznej euklidesowej
każdy ciąg spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny.

Niech
będzie dowolnym ciągiem punktów przestrzeni
spełniającym warunek Cauchy'ego. Pokażemy najpierw, że ciąg ten jest ograniczony. Biorąc
istnieje liczba naturalna
taka, że dla
mamy
. Kładąc
widzimy, że

co wobec twierdzenia 11 i definicji 16 oznacza ograniczoność ciągu
.

Korzystając z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa (zob. twierdzenie 22) z ciągu
możemy wybrać podciąg zbieżny
. Ciąg Cauchy'ego
posiada więc podciąg zbieżny, a to na mocy twierdzenia 21 oznacza również zbieżność ciągu
.

Niech
będzie dowolnym ciągiem punktów przestrzeni euklidesowej
. Ciąg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.