Granica ciągu

Teoria:

Oznaczenia:

£                        - zbiór liczb naturalnych,

§                        - zbiór liczb rzeczywistych,

(a_n)                    - ciąg liczbowy.

Definicja ( ciąg liczbowy ): Ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych nazywamy dowolną funkcję f: £í§ , oznaczamy a_n = f(n), dla n = 1, 2, 3, ...

Definicja ( granica ciągu ): Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (a_n) jeśli dla każdej liczby dodatniej P > 0 istnieje liczba naturalna n₀ taka, że dla każdej liczby n większej, ( lub równej ) od n₀ ( n ³ n₀)  zachodzi
. Piszemy
.

Poniższe twierdzenia ułatwiają liczenie granic ciągów:

Twierdzenie. Jeśli ciąg (a_n) ma granicę a, a ciąg (b_n) ma granicę b ( gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi ), to

                    a) ciąg  (Ka_n) ma granicę Ka, gdzie K jest dowolną liczbą rzeczywistą, czyli 
,

                    b) ciąg  (a_n + b_n) ma granicę a + b, czyli  
,

                    c) ciąg  (a_n * b_n) ma granicę a * b, czyli 
,

                    d) ciąg 
ma granicę
, czyli
, o ile b ® 0.

Twierdzenie: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to

                     a)
, gdy K < 0,

                     b)
, gdy K = 0,

                     c)
,  gdy K > 0,

Powyższe twierdzenie możemy zapisać w postaci

Twierdzenie: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to

 

Zadanie 1: Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
.

Mamy obliczyć granicę
, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującą w mianowniku, czyli dzielimy licznik i mianownik przez n² otrzymujemy

Ponieważ 
, gdy K <0, to
.

Zadanie 2: Obliczyć granicę
.

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku, czyli przez n³

.

Zauważmy, że wszystkie ciągi występujące w liczniku i mianowniku ułamka mają skończone granice na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to

 

Czyli
.

Zatem możemy stosować twierdzenie:  Jeśli ciąg (a_n) ma granicę a, a ciąg (b_n) ma granicę b ( gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi ), to

i
, o ile b ® 0, stąd

Zadanie 3: Obliczyć granicę
.

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku, czyli przez n⁵ mamy

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to

 

mamy

Zatem wykorzystując twierdzenie:  Jeśli ciąg (a_n) ma granicę a, a ciąg (b_n) ma granicę b ( gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi ), to

i
, o ile b ® 0, otrzymujemy

 

Mnożąc wszystkie możliwości wyboru po jednym elemencie z każdej z grup

mamy 5 * 10 * 3 = 150 sposoby.

Odpowiedź: Obiad można zamówić na 150 sposobów.

Zadanie 4: Obliczyć granicę
.

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku, czyli przez n⁴ mamy

 

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to

 

mamy

Zatem

Zadanie 5: Obliczyć granicę
.

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku, czyli przez
( w mianowniku pod pierwiastkiem najwyższą potęgą zmiennej n jest n⁵ , jeśli wyłączymy spod pierwiastka najwyższą potęgę zmiennej n to otrzymamy
)mamy

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to

 

mamy

Stąd

Zadanie 6: Obliczyć granicę
.

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku, czyli przez n² mamy

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to 
  stąd

Zatem

Czyli ciąg
jest rozbieżny do +1.

Zadanie 7: Obliczyć granicę
.

Ponieważ najwyższa potęga zmiennej n w liczniku jest (  równa n³ ) większa od najwyższej potęgi zmiennej n w mianowniku ( n² ), zatem wyłączamy przed nawias w liczniku zmienną n³ ( najwyższą potęgę zmiennej n występującej w liczniku ), a w mianowniku zmienną n² ( najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku ) mamy

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to 
  mamy

Zatem

 

Zadanie 8: Obliczyć granicę
.

Ponieważ najwyższa potęga zmiennej n w liczniku jest większa od najwyższej potęgi zmiennej n w mianowniku, zatem wyłączamy w liczniku zmienną
( najwyższą potęgę zmiennej n występującej w liczniku ), a w mianowniku zmienną
( najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku ) mamy

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to 
  mamy

Zatem

Czyli ciąg
jest rozbieżny do -1.

Zadanie 9: Obliczyć granicę
.

Wyłączamy przed nawias najwyższą potęgę zmiennej n, czyli wyłączamy n⁵ otrzymujemy

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to 
  mamy

Zatem

Czyli ciąg
jest rozbieżny do +1.

Zadanie 10: Obliczyć granicę
. 

Wyłączamy przed nawias najwyższą potęgę zmiennej n, czyli wyłączamy
otrzymujemy

Na mocy twierdzenia: Jeśli K jest liczbą rzeczywistą, to 
  mamy

Zatem

Odpowiedź: Ciąg
jest rozbieżny do -1.

Zadanie 11: Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
.

Mamy obliczyć granicę
, korzystamy ze wzoru tzw. współczynnika Newtona postaci
,  gdzie k = 0,1,2, ..., n  , n 5 £, mamy

Skorzystamy z definicji silni n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1, czyli n! = n * (n-1)!, zatem

Wyłączamy przed nawias najwyższą potęgę zmiennej n, czyli wyłączamy n² otrzymujemy

Odpowiedź: Ciąg
jest rozbieżny do -1

Zadanie 12: Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
.

Korzystając ze wzoru tzw. współczynnika Newtona postaci
,  gdzie k = 0,1,2, ..., n  , n 5 £, mamy

  

Wykorzystując definicję silni n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1, czyli n! = n * (n-1)!, zatem

 

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującą w mianowniku, czyli dzielimy licznik i mianownik przez n otrzymujemy

11

---