Temat: Prędkość średnia i chwilowa w ruchu prostoliniowym i krzywoliniowym.

Cele poznawcze i kształcące

Uczeń wie:

• Jak zmienia się prędkość i droga w ruchu jednostajnym;

• Czym różni się prędkość od szybkości;

• Jaką prędkość nazywamy prędkością średnią;

• Jaką prędkość nazywamy prędkością chwilową;

• Czym różni się droga od przemieszczenia;

Metody:

Poznanie tematu przez:

• Krótki wykład;

• Powtórzenie z uczniami;

• Wykonanie kilku zadań;

Materiały i środki dydaktyczne:

• Książka;

• Tablica;

• Ćwiczenia;

Przebieg lekcji:

1. Część nawiązująca:

• Czynności organizacyjne, sprawdzenie obecności;

• Przypomnienie wiadomości potrzebnych do przeprowadzenia lekcji przez wybranego ucznia wspólnie z klasą;

• Wyjaśnienie uczniom na czym będzie polegała ich praca na lekcji;

• Część postępująca:

• Zapisanie tematu lekcji na tablicy;

• Omówienie tematu;

• Przeprowadzenie ćwiczeń i wykonanie kilku zadań dla utrwalenia materiału i sprawdzenia, czy poznane na lekcji wiadomości są zrozumiałe;

3. Podsumowanie:

• Prowadzący wraz z uczniami podsumowuje temat, powtórzenie wiadomości poznanych na dzisiejszej lekcji;

• Zadanie zadania domowego;

Cel główny lekcji: Poznanie różnicy między prędkością średnią a chwilową.

Szczegółowe opracowanie przebiegu lekcji:

a) Czynności wstępne

• Sprawdzenie obecności;

• Określenie celu lekcji i napisanie tematu lekcji na tablicy;

Przypomnienie potrzebnych wiadomości i umiejętności: Podstawowe pojęcia ruchu ( punkt materialny, układ odniesienia, droga, tor)

Punkt materialny- obiekt bezwymiarowy obdarzony masą, rozmiary bardzo małe w porównaniu z odległościami jakie przebywa.

Aby określić, czy ciało jest w ruchu, czy w spoczynku względem innego ciała, należy ustalić układ odniesienia.

Układem odniesienia - nazywamy pewne wybrane ciało, względem którego określa się położenie innego ciała w przestrzeni w dowolnej chwili. Na ogół z układem odniesienia związuje się kartezjański układ współrzędnych. Poruszające się w nim ciało traktujemy jako punkt materialny i jego położenie opisujemy, podając współrzędne. Układ współrzędnych (jedno-, dwu- lub trójwymiernych) opisujących ruch.

Ruchem nazywa się zmianę położenie ciała względem przyjętego układu odniesienia w czasie.

Torem ruchu punktu materialnego nazywamy krzywą, po której porusza się ten punkt w układzie odniesienia.

Ze względu na kształt toru, ruchy dzielimy na:

• prostoliniowe, których torem jest linia prosta (jednostajny i jednostajnie przyspieszony),

• krzywoliniowe, których torem jest linia krzywa.

Drogą nazywamy pewien odcinek toru lub długość odcinka toru.

Wektorowy opis ruchu.

Do określenia położenia punktu na płaszczyźnie potrzebne są współrzędne, np. x (odcięta) i y (rzędna). I służy do tego prostokątny układ współrzędnych nieruchomy względem ciał wybranych jako układ odniesienia. Wektor OA = r₁ określa położenie ciała w punkcie A. Zapis r₁ =(x,y) oznacza, że wektor r₁ ma współrzędne x i y. Znając je można łatwo obliczyć długość wektora, czyli odległość przemieszczającego się punktu od początku układu współrzędnych, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

















wektor przemieszczenia Δr jest różnicą wektorów położeń r₂ i r₁. Jest to wektorowy zapis ruchu Δr = r₂ - r₁

W miarę upływu czasu koniec wektora położenia zakreśla na płaszczyźnie linię, która nazywa się torem ruchu.

Jeżeli wektor wodzący danego punktu, określający położenie w układzie odniesienia ulega zmianie, to punkt ten jest w ruchu względem tego układu.

Wektor ten ulega zmianie, gdy zmienia się jego kierunek (czyli prosta, na której leży), zwrot lub wartość (długość wektora). Wszystkie te wielkości mogą ulegać zmianie niezależnie od siebie.

Ze składaniem ruchów jednostajnych możemy mieć do czynienia analizując ruch człowieka jadącego pociągiem po szynach (ruch w kierunku x) i jednocześnie podnoszącego torbę (ruch w kierunku y). Podobnie przedstawia się sytuacja , gdy pływak przeprawia się przez spokojnie płynącą rzekę, prostopadle do jej brzegu. Prąd wody znosi go (ruch wzdłuż osi x), nie wpływając praktycznie na ruch w kierunku prostopadłym do nurtu rzeki (ruch wzdłuż osi y).

c) realizacja tematu: Prędkość średnia i chwilowa. Składanie prędkości.

Podstawowym kryterium klasyfikacji ruchów jest kształt toru. Tor ruchu to zbiór punktów, w których znajdowało się ciało w kolejnych chwilach ruchu. W miarę upływu czasu koniec wektora położenia zakreśla na płaszczyźnie linię zwaną torem ruchu. Jeżeli torem jest dowolna krzywa, to ruch taki nazywamy krzywoliniowym. Jeżeli natomiast tor przebiega wzdłuż linii prostej, to mamy do czynienia z ruchem prostoliniowym. Drogą natomiast będziemy nazywać tor zakreślony podczas ruchu.

Przyjmujemy taki układ odniesienia, by jak najłatwiej opisać ten ruch, a więc oś Ox kierujemy wzdłuż prostego odcinka toru. Wszystkie wektory: położenia początkowego, końcowego i przemieszczenia znajdą się na jednej prostej.





y y










Δr Δr tor ruchu

r_{1 prędkość średnia prędkość styczna do toru prędkość chwilowa}



r₁ r₂

r₂





0 x 0 x

Wektor położenia i przesunięcia na płaszczyźnie Droga w ruchu krzywoliniowym jest zawsze dłuższa

niż wektor przesunięcia

Przemieszczenie (przesunięcie)
- wektor łączący punkt z punktem. Przemieszczenie jest wektorem, którego początek leży w początkowym położeniu ciała, a koniec w końcowym położeniu ciała.

Długość wektora jest odległością. Ciało zmieniło położenie względem początku układu.


- pokazuje jak zmieniło się położenie ciała względem układu współrzędnych.


wektor położenia informuje nas o położeniu ciała

wektor przesunięcia to różnica wektora położenia początkowego i końcowego, informuje o zmianie położenia względem początku układu współrzędnych

Zamiast Δr = r₂ - r₁

Po podstawieniu | r₂ | = x₂ , | r₁ | = x₁

Mamy Δx = x₂ - x₁

Przykład:

W chwili gdy zegar stacyjny wskazał t₁ = 14.00, pewien wagon znajdował się w odległości x₁ = 400 m od budynku stacji. Po pewnym czasie gdy t₂ = 14.02, odległość wzrosła do x₂ = 1600 m.




Przemieszczenie wynosi Δx = x₂ - x₁ = 1200 m

Ruch ten odbył się w przedziale czasu Δt = t₂ - t₁ = 14.02 - 14.00 = 2 min = 120 s

Obliczamy wartość prędkości wagonu:
Powyższe obliczenia służą do znalezienia wartości prędkości w ruchu prostoliniowym. Nie uwzględniają one jednak informacji co działo się z ciałem między punktem początkowym i końcowym. Wartość takiej prędkości nazywamy wartością prędkości średniej w ruchu prostoliniowym wzdłuż osi Ox.

Wartość bliższą rzeczywistej otrzymalibyśmy po podzieleniu czasu obserwacji ruchu na małe przedziały. W miarę skracania czasu obserwacji zmniejszają się odpowiednie odcinki drogi, a obliczany każdorazowo wynik coraz dokładniej opisuje ruch rzeczywisty. Gdy przedział czasu będzie dostatecznie krótki, w wyniku obliczeń otrzymamy wartość prędkości chwilowej. Obliczamy ją ze wzoru:




Najdokładniejszego opisu ruchu dostarczają nam równania, które noszą nazwę kinematycznych równań ruchu i mają postać zależności wartości prędkości od czasu V = f(t) jest to prędkość chwilowa, a w ruchu jednostajnym wartość prędkości jest stała V = const W ruchu jednostajnym prędkość średnia jest równa prędkości chwilowej.

Prędkość w dowolnym ruchu definiujemy wzorem
Δr = r₂ - r₁ Δt = t₂ - t₁

Wiemy już, że prędkość jest wielkością wektorowa, więc oprócz wartości ma kierunek i zwrot. W ruchu prostoliniowym kierunek prędkości jest określony kierunkiem osi. Zwrot odczytujemy ze znaku stojącego przed wartością V. Znak dodatni oznacza, że prędkość ma zwrot zgodny ze zwrotem osi Ox, a ujemny, że prędkość ma zwrot przeciwny. Kierunek wektora prędkości pokrywa się z prosta przechodzącą przez punkt A (początek obserwacji) i punkt B (koniec obserwacji). Jego zwrot jest taki jak wektora przemieszczenia.

Droga S to długość odcinka toru. Jest zawsze dodatnia i niezależna od układu odniesienia. Dla ruchu prostoliniowego, odbywającego się stale w te samą stronę, droga S pokrywa się z Δx.

Wartość wektora prędkości jest równa szybkości ruchu.


Szybkość średnia	jest wielkością skalarną i równa jest stosunkowi drogi przebytej przez ciało do czasu, w którym została ona przebyta.
Szybkość chwilowa	to rzeczywista szybkość w danej chwili równa stosunkowi drogi ΔS przebytej przez ciało w nieskończenie krótkim przedziale czasu Δt do tego przedziału czasu:
Prędkość średnia	to wektorowa wielkość fizyczna równa stosunkowi wektora przemieszczenia Δr do czasu Δt w którym to przemieszczenie nastąpiło:
Prędkość chwilowa	to stosunek wektora przemieszczenia Δr zaistniałego w nieskończenie krótkim przedziale czasu Δt do tego przedziału czasu:

Zadania:

1. Samochód przejechał pierwszą połowę drogi z prędkością V = 60 km/h, a drugą połowę drogi z prędkością V = 90 km/h. Jaka była prędkość średnia samochodu?

2. Oblicz przemieszczenie i prędkość średnią pociągu na trasie AB jeśli o godzinie 15.16 znajdował się w punkcie C w odległości 103 km od punktu A, a o godzinie 15.16 w punkcie D w odległości 187 km od punktu A. (Załóżmy, że trasa jest linią prostą)

3. Dwóch chłopców stało naprzeciw siebie w punktach A i B odległych o 10 m. Chłopiec z punktu A pchnął piłkę w stronę punktu B. Po czasie Δt = 2 s piłka znalazła się w odległości 4 m od chłopca A. Oblicz przemieszczenie i prędkość średnia piłki w przypadkach, gdy:

• Początek układu odniesienia zwiążemy z punktem A'

• Początek układu odniesienia zwiążemy z punktem B

Porównaj wyniki:

4. Po prostym odcinku przemieszcza się pociąg. Początek układu odniesienia przyjmij w jakimś punkcie. Przeanalizuj i opisz jak zmienia się ruch siedzącego w nim człowieka, gdy za układ odniesienia przyjmiemy tory, a gdy pewną stację.

5. Dziecko siedzi na krzesełku karuzeli. Przyjmij układ odniesienia w środku karuzeli i przeanalizuj jego ruch.

6. Oblicz długość wektora r określającego położenie ciała w punkcie A o współrzędnych (3,4).

7. Oblicz przemieszczenie Δr ciała z punktu A, którego wektor wodzący ma długość r₁ = 4 cm do punktu B o r₂ = 8 cm.

KARTKÓWECZKA

wyjaśnij pojęcia : tor ruchu, układ odniesienia ? zamień jednostki : 15 km/h = ? m/s 25 m/s = ? km/h narysuj wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym podaj definicje prędkości chwilowej i opisz przedstawiony przez Ciebie wzór ?

wyjaśnij pojęcia : droga , punkt materialny ? zamień jednostki : 34 km/h = ? m/s 51 m/s = ? km/h narysuj wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym podaj definicje prędkości średniej i opisz przedstawiony przez Ciebie wzór?

Zad.1. Pociąg względem torów ma prędkość v­_­­­_p = 60 km/h. Ile wynosi prędkość pociągu względem samochodu jadącego szosą równoległą do torów z prędkością v_s = 100 km/h:

1. w tę samą stronę co pociąg; ( 40 km/h )

2. w stronę przeciwną. ( 100 km/h )

Zad 2. Dźwig podnosi ciało z prędkością V₁ = 432 km/h i jednocześnie przesuwa się po szynach z prędkością V₂ = 35 m/s. Oblicz wartość prędkości ciała względem Ziemi i kąt jaki ona tworzy z pionem. ( V=10√5 , α=27⁰ )

Zad.3 Rowerzysta przejechał pierwszą połowę drogi z prędkością v₁ = 20 km/h, a druga połowę - z prędkością v₂ = 40 km/h. Z jaka średnią prędkością rowerzysta przebył drogę s = 20 km?

( 26,6 km/h )


Zad.4. Na rysunku przedstawiono wykres zależności s[m]

drogi s od czasu t dla pewnego ciała. Oblicz

prędkość ciała w trzeciej i piątej sekundzie




ruchu oraz prędkość średnią dla całego ruchu.




(V₃=2,6 m/s, V₂=2,2 m/s, V_śr=2 m/s)









0

1 2 3 4 5 6 7 t[s]

e) zad domowe

z miast A wyruszył w stronę miasta B odległego od A o 100 km samochód ciężarowy z prędkością V₁=40 km/h. Jednocześnie z miasta B w stronę A wyruszył samochód osobowy z prędkością V₂=60 km/h. Gdzie i kiedy spotkają się samochody ? (t=1h, s=40 km)


Zad 1. Na wykresie przedstawiono zależność s[m]

drogi od czasu dwóch rowerzystów porusza-

jących się ruchem prostoliniowym jedno- 40

stajnym. Oblicz prędkość obu rowerzystów 30

oraz drogi jakie przebędą w ciągu 3s trwania 20

ruchu. 10

0

0 1 2 3 4 5 6 t[s]










V [m/s]




3

2


1


0

1 2 3 4 5 6 t[s]

Zad 2. Korzystając z wykresu przedstawiającego zależność prędkości ciała od czasu, wylicz drogę przebytą przez ciało:

1. w ciągu pięciu sekund;

2. w czwartej sekundzie ruchu.

---