21. Impuls Diraca (delta Diraca) skok jednostkowy

Funkcję impulsową pierwszego rzędu (f. Diraka) def. jako:

Funkcja impulsowa II rzędu

Wstawiliśmy na miejsce δ(t) wyrażenie 1(t) - 1(t - a) dzielone przez a i podobnie dla δ(t - a)

Rozpatrzmy całkę oznaczoną funkcji ciągłych f(t)

I =

Gdy <t₁,t₂> zawiera przed argumentu t =

22, Twierdzenia o rozkładzie

Przypuśćmy, że

F(s)

oraz, że stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika ponadto przyjmujemy, że bieguny są jednakowe s_k, k = 0,1,2........

bieguny - są to zera mianownika (N(S_k) = 0)

gdy bieguny są jednakowe to:

F(s) =

A_k = L(s_k) : N^' (s_k)

stąd
wzór Heavisida'a

stanowi on tezę twierdzenia o rozkładzie przy biegunach jednokrotnych

Przypadek szczególny

Przyjmijmy, że s = 0 jest biegunem i niech N(s) = sM(s) wówczas pochodna

N^'(s) = M(s) + sM^'(s)

f(t) =

- 1/a²

0 a 2a t

1/a²

f(t)

f(t) 1/a

δ(t,a)

t₁ 0 t₂ t

Gdy t­₀ leży

wewnątrz odcinka <t_1,t₂>

dla t₀ leżącego na zewnątrz odcinka <t₁,t₂>