ĆWICZENIA

Strumień rotacji przez dowolny przekrój poprzeczny s rurki wirowej jest zawsze równy cyrkulacji wzdłuż linii , jest więc stały; stanowi to treść drugiego twierdzenia Helmholtza . Również cyrkulacja wektora
wzdłuż dowolnej linii zamkniętej i leżącej na rurce wirowej ma stałą wartość w każdej chwili.

Biorąc pod uwagę otrzymane własności przepływu wirowości przez rurkę wirową wprowadzono pojęcie włókna wirowego , jako granicy, do której dąży rurka wirowa przy zmniejszaniu jej przekroju poprzecznego i zwiększaniu wirowości w jej wnętrzu w taki sposób, że cyrkulacja pozostaje bez zmiany.

Z drugiego twierdzenia Helmholtza wynika ważny wniosek, że rurki wirowe i włókna wirowe nie mogą zaczynać się lub kończyć w obszarze płynu. Mogą one składać się więc z zamkniętych linii wirowych albo też zaczynać się i kończyć na ograniczeniach obszaru (ścianki sztywne, powierzchnia swobodna). Wynik ten możemy potwierdzić również w inny sposób. Obliczając

analogicznie do równania (3.20), które mówi o zachowaniu masy w przepływie płynu nieściśliwego, otrzymujemy równanie zachowania wirowości.

Przykład 3.1. Stacjonarne pole prędkości jest określone składowymi:

Wyznaczyć równania linii prądu i torów elementów.

Ponieważ
zatem pole prędkości jest płaskie.

Na podstawie wzoru (3.6) piszemy równanie linii prądu

z którego po scałkowaniu otrzymujemy

Z kolei równania torów elementów (3.7) przyjmują postać:

co jest wynikiem poprawnym, gdyż w przepływach stacjonarnych linie prądu i tory elementów pokrywają się.

Przykład 3.2. Wyznaczyć kształt linii prądu i rodzinę torów elementów płynu dla nieustalonego przepływu płaskiego określonego przez następujące składowe prędkości:

Całkujemy równanie różniczkowe rodziny linii prądu (3.6)

traktując t jako stały parametr. W wyniku otrzymujemy

Linie prądu stanowią więc w każdej chwili rodzinę hiperbol i np. w chwili t = 0 przez punkt: przechodzi linia o równaniu

Dla określenia torów elementów należy scałkować równania (3.8):

Przykładowo, dla toru, po którym porusza się element płynu znajdujący się w chwili t = 0 w punkcie: jest i następnie mamy

Przykład 3.3. Dla nieustalonego przepływu płaskiego określonego polem prędkości:

należy wyznaczyć równania: linii prądu, toru elementu płynu i linii wysnutej.

Układ równań różniczkowych linii prądu przyjmuje postać:

Po scałkowaniu otrzymujemy równania parametryczne tych linii:

gdzie i są stałymi całkowania. W szczególności zakładając, że interesujemy się kształtem linii przechodzącej przez punkt o współrzędnych otrzymujemy , a więc:

Ostatnie wzory uwidaczniają fakt, że kształt linii przechodzącej przez punkt o współrzędnych zmienia się z czasem. Dla chwili jest ona określona następującymi równaniami parametrycznymi:

Eliminując parametr s otrzymujemy równanie linii prądu, która przechodzi przez punkt o współrzędnych w chwili

Linia ta jest przedstawiona na rys. 3.7 łącznie z innymi liniami.

Układ równań toru elementu płynu w rozważanym przypadku przyjmuje postać:

Są to równania parametryczne rodziny torów elementów płynu. W szczególności jeżeli interesujemy się torem elementu płynu, który w chwili przechodzi przez punkt o współrzędnych (1, 1), otrzymujemy:

Eliminując czas t z tych równań dostajemy równanie toru

Tor ten został przedstawiony na rys. 3.7, gdzie widać, że nie pokrywa się on z linią prądu, a jedynie jest do niej styczny w punkcie o współrzędnych (1, 1).

Jak wspomniano w rozdziale 3.2, linia wysnuta jest rozwiązaniem toru elementu płynu. Tak więc rodzina linii wysnutych jest określona równaniami:

Przykładowo dla warunków początkowych

Są to równania parametryczne linii wysnutej, która przechodzi przez punkt o współrzędnych . Widzimy, że w rozważanym przypadku kształt tej linii zależy od czasu (przepływ jest nieustalony). W szczególności dla mamy:

Eliminując parametr τ otrzymujemy równanie tej linii

Należy zwrócić uwagę na fakt, że wszystkie trzy linie nie pokrywają się, mimo iż zostały wyznaczone dla tego samego przepływu. Przyczyną tego jest nieustaloność przepływu.

Przykład 3.4. Powierzchnię ziemi w otoczeniu miasta stanowi płaszczyzna , na której wyidealizowanym źródłem emisji spalin jest komin, znajdujący się w początku układu osi współrzędnych. Pole prędkości wiatru opisują składowe:

przy czym V oraz ω mają wartość stałą.

a. Wyznaczyć i naszkicować rodzinę linii prądu wiatru.

b. Określić rodzinę torów poruszania się cząsteczek spalin, które w czasie znajdują się w punkcie o współrzędnych
Przedstawić graficznie tory poruszania się kilku cząsteczek spalin, opuszczających komin w różnym czasie
Napisać równanie toru poruszania się elementu dymu, który wypływa z komina w chwili

a. W równaniu różniczkowym linii prądu wiatru:

Ogólnym rozwiązaniem otrzymanej zależności jest wyrażenie

Stała całkowania jest parametrem rodziny linii prądu, które są prostymi równoległymi, przecinającymi oś x w czasie t pod kątem
(rys. 3.8a). Ponieważ dla
jest również
więc stała

stąd linię prądu przechodzącą przez początek układu współrzędnych opisuje równanie

b. Równania różniczkowe torów poruszania się cząsteczek spalin możemy zapisać następująco:

Po przekształceniu równań i obustronnym podniesieniu do kwadratu otrzymamy:

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że linie torów poruszania się cząsteczek spalin są okręgami o promieniu , których środki znajdują się w punktach o współrzędnych (rys. 3.8b).

Dla toru poruszania się cząsteczki, która w chwili opuszcza komin:

Ponieważ komin znajduje się w początku układu osi współrzędnych, przeto:

wobec tego równanie toru poruszania się elementu dymu będzie miało następującą postać

Przykład 3.5. Wykazać, że dla dowolnej cząstki płynu poruszającej się po powierzchni kuli równanie ciągłości ma postać

gdzie to prędkości kątowe cząstki płynu w kierunku określonym kątem θ i kątem ϕ (szerokość i długość kątowa).

Równanie ciągłości we współrzędnych sferycznych jest określone wzorem

Ponieważ cząstka płynu porusza się po powierzchni kuli, to składowe prędkości są równe:

Podstawiając te wielkości do równania ciągłości oraz przyjmując mamy

Przykład 3.6. Ciecz porusza się w ten sposób, że każda cząstka opisuje okrąg na płaszczyźnie prostopadłej do pewnej osi ze środkiem na niej. Wykazać, że równanie ciągłości upraszcza się do postaci

gdzie ω jest prędkością kątową ruchu cząstki, której położenie określa się współrzędnymi: r, ϕ, z.

Zapisujemy równanie ciągłości (3.16) we współrzędnych cylindrycznych

Ponieważ cząstki poruszają się stale po tym samym okręgu, prędkości wyrażą się zależnościami:

Po uwzględnieniu tych szczególnych wartości składowych prędkości w równaniu ciągłości oraz przyjęciu r = R uzyskujemy

Przykład 3.7. Wyznaczyć pole przyspieszeń odpowiadające polu prędkości ok-reślonemu składowymi:

Składowe przyspieszenia obliczamy ze wzorów (3.11) i (3.12):

przy czym pierwsze składniki we wzorach na oraz reprezentują składowe lokalnej pochodnej prędkości; następne - składowe konwekcyjne. Łatwo to można sprawdzić obliczając:

Przykład 3.8. Zadane jest pole prędkości płynu:

a) cyrkulację prędkości wzdłuż konturu trójkąta powstałego z przecięcia płaszczyzn układu współrzędnych z płaszczyzną

b) składowe wektora wirowości oraz prędkości deformacji objętościowych i po-staciowych.

Biorąc pod uwagę symetrię konturu trójkąta i postać funkcji opisujących pole prędkości (rys. 3.9) otrzymujemy

Prędkości deformacji objętościowych:

Przykład 3.9. Prędkości cząstek cieczy są proporcjonalne do ich odległości od osi O x i równoległe do niej tak, że:

Obliczając składowe wektora wiru
mamy:

Wartość bezwzględna wektora wiru jest równa:

Ponieważ , więc i linie wirowe są liniami płaskimi. Równanie po-wyższe przekształca się wiec następująco