15.POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI

Cel Ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie metod pomiaru częstotliwości oraz przyrządów służących do pomiaru częstotliwości w zakresie częstotliwości akustycznych.

15.1.Wstęp

Częstotliwość przebiegu okresowego wyznacza liczba całkowitych powtórzeń (cykli) zachodzących w jednostce czasu, czyli w sekundzie. Podstawową jednostką pomiaru częstotliwości jest 1 herc (1[Hz]). Jeden herc jest to częstotliwość przebiegu okresowego w którym jedno całkowite powtórzenie (cykl) zachodzi w czasie jednej sekundy. Czas, w ciągu którego następuje jedno całkowite powtórzenie (cykl) przebiegu okresowego nazywa się okresem badanego przebiegu. Między okresem a częstotliwością zachodzi związek określany następującą zależnością:

(1) gdzie:

T- okres przebiegu (cyklu),

f- częstotliwość badanego przebiegu o okresie T.

Wśród metod pomiarowych służących do pomiaru częstotliwości można wyróżnić metody analogowe oraz metody cyfrowe. Przykładem metod analogowych są metody mostkowe wykorzystujące zmianę impedancji elementów mostka wraz ze zmianą częstotliwości. W metodach cyfrowych stosowanych do pomiaru częstotliwości stosuje się przyrządy cyfrowe nazywane częstościomierz Cechuje je duża dokładność pomiaru, a także duża różnorodność, która dotyczy budowy samego przyrządu, jak również samej zasady działania. Częstościomierze cyfrowe są na ogół przyrządami, których konstrukcja oparta jest na metodzie bezwzględnego zliczania liczby mierzonych impulsów w jednostce czasu za pomocą liczników elektronicznych. Częstościomierze cyfrowe w porównaniu z częstościomierzami analogowymi są przyrządami bardziej uniwersalnymi, pozwalającymi na pomiar częstotliwości przebiegów odkształconych, jak również na dokonywanie innego rodzaju pomiarów, takich jak pomiar okresu, czy pomiar odstępów czasu.

15.2. Metody pomiaru częstotliwości

Do najbardziej znanych i stosowanych w praktyce metod pomiaru częstotliwości można zaliczyć:

a) metodę mostkową wykorzystującą zmianę impedancji w funkcji mierzonej częstotliwości. Do przyrządów, w których zasada działania oparta jest na tej metodzie można zaliczyć Częstościomierze ilorazowe, częstościomierze o układzie mostkowym zrównoważonym lub niezrównoważonym,

b) metodę rezonansową w której wykorzystuje się zjawisko rezonansu elektrycznego tub elektromechanicznego. Metoda ta znalazła zastosowanie w częstościomierzach wibracyjnych, a także w częstościomierzach z wykorzystaniem mostka rezonansowego,

c) metodę integracyjną polegającą na pomiarze średniej wartości prądu przebiegu impulsowego ładującego kondensator. Metoda ta znalazła zastosowanie przy budowie częstościomierzy integracyjnych elektrycznych oraz mechanicznych,

d) metodę porównawczą polegającą na porównaniu badanego przebiegu z przebiegiem wzorcowym. Metodę tę głównie wykorzystuje się w częstościomierzach interferencyjnych, w częstościomierzach różnicowych wykorzystywanych do pomiaru różnicy częstotliwości sygnałów, a także jest ona stosowana w pomiarach oscyloskopowych jako metoda figur Lissajous,

e) metodę bezwzględną polegającą na zliczaniu liczby impulsów badane-go zjawiska okresowego w jednostce czasu lub na pomiarze długości okresu badanego przebiegu wyświetlanego na ekranie oscyloskopu.

Pomiar częstotliwości f za pomocą oscyloskopu polega na odczycie z ekranu długości okresu L oraz podstawy czasu μ oscyloskopu. Znając długość okresu L danego przebiegu i podstawę czasu oscyloskopu można określić okres Teraz częstotliwość f badanego przebiegu na podstawie następujących zależności:

gdzie:

L - długość okresu przebiegu odczytana na oscyloskopie wyrażona w [cm],

μ - podstawa czasu oscyloskopu wyrażona w [s/cm] lub też w jednostkach

wielokrotnych takich jak [μs/cm] czy też [ms/cm].

15.3. Metody mostkowe pomiaru częstotliwości

Do najbardziej znanych układów mostkowych wykorzystywanych do pomiaru częstotliwości należą:

a) układ mostka Wiena - Robinsona,

b) mostek rezonansowy,

Rys.1 Schemat mostka Robinsona

W mostku Robinsona badany kondensator został zastąpiony przez kondensator wzorcowy oznaczony na rysunku 1 przez C₁ i zbocznikowany rezystorem R₁. Warunek równowagi mostka osiąga się, gdy spełniona jest następująca zależność

przy czym poszczególne impedancje Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ we wzorze (4), zgodnie ze schematem mostka przedstawionym na rysunku 1 są równe odpowiednio:

oraz

(7) Stąd

JωC₂R₁R₄=R₃+jωC₂R₂ R₃+jωC₁R₁R₃-ω²C₁C₂R₁R₂R₃ (8)

Na podstawie równania (8) uzyskuje się następujące wzory na równowagę mostka:

(9) oraz

Z warunku (10) widać, że przy danych parametrach mostka stan równowagi można osiągnąć tylko przy określonej częstotliwości. Dla C₁=C₂=C oraz R₁=R₂=R mierzona częstotliwość f wyrazi się wzorem:

Uwzględniając powyższe założenia dotyczące pojemności C₁ oraz C₂

a także rezystancji R­­­­₁­­­­­­ i R₂, z pierwszego warunku (9) wynika, że w momencie równowagi rezystancje R₃ oraz R₄ powinny być tak dobrane aby spełniona była następująca zależność:

(12)

Stan równowagi mostka można więc uzyskać stosując albo nastawne kondensatory C₁, C₂, albo też nastawne rezystory R₁, R₂. Dokładność pomiaru mostkiem Robinsona zależy od dokładności elementów układu, od czułości oraz od odpowiedniego ekranowania mostka, co na szczególne znaczenie zwłaszcza przy dużych częstotliwościach.

Błąd pomiaru częstotliwości mostkiem Robinsona można wyznaczyć na podstawie wzoru (10) stosując metodę pochodnej logarytmicznej. Po zróżniczkowaniu i zlogarytmowaniu wzoru (10) otrzymuje się następujące wyrażenie:

(13)

Zastępując różniczki zupełne błędami bezwzględnymi błąd pomiaru częstotliwości δ_Sf wyrazi się wzorem:

(14)

Ze wzoru (14) widać, że błąd pomiaru zależy od dokładności wykonania elementów mostka. W praktyce za wartość błędów (δ_C1, δ_C2, δ_R1, δ_R2) przyjmuje się klasę niedokładności poszczególnych dekad pojemnościowych i rezystancyjnych, z których wykonany jest mostek. Błąd nieczułości wyznacza się podobnie, jak w przypadku mostków prądu przemiennego czy stałego. Całkowity błąd pomiaru wyznacza się również podobnie, jak w przypadku wymienionych mostków jako sumę błędów: błędu systematycznego i błędu nieczułości. Mostek Robinsona pozwala na pomiar częstotliwości z dokładnością rzędu 0,1% - 0,5%. Mostek Robinsona stosuje się do pomiaru częstotliwości sieciowych, akustycznych i wielkich. Innym przykładem mostka służącego do pomiaru częstotliwości jest mostek rezonansowy. Schemat mostka jest przedstawiony na rysunku 2 .

Rys. 2 Schemat mostka rezonansowego

We wszystkich gałęziach mostka znajdują się jednakowe wartości rezystancji R. Mierząc częstotliwość f dobiera się w taki sposób pojemność C, aby w gałęzi zawierającej indukcyjność, pojemność i rezystancję (rys.2) wystąpił rezonans. Całkowita impedancja gałęzi, w której wystąpi rezonans będzie równa rezystancji R zawierającej w sobie również rezystancję cewki indukcyjnej:

gdzie:

Z₁- oznacza impedancję gałęzi zawierającej elementy R, L, C Wówczas mostek znajdzie się w równowadze, a wartość częstotliwości f wyrazi się następującym wzorem wynikającym z zależności (15):

Błąd pomiaru można wyznaczyć podobnie Jak w przypadku mostka Robinsona. Błąd pomiaru częstotliwości mostkiem rezonansowym jest rzędu 0,5% Mostek rezonansowy pozwala na pomiar częstotliwości nawet rzędu kilkuset kHz, jednakże przy pomiarze tak dużych częstotliwości również wymagane jest ekranowanie mostka oraz dokładny dobór rezystancji mostka.

15.4. Metoda cyfrowa pomiaru częstotliwości

Częstotliwość jest wielkością ziarnistą i jako wielkość ziarnista może być mierzona metodą bezwzględną. Pomiar częstotliwości metodą bezwzględną polega na zliczaniu liczby okresów zjawiska periodycznego

w określonym przedziale czasowym. Istota metody cyfrowej pomiaru częstotliwości polega na zliczaniu liczby impulsów uformowanych z mierzonego przebiegu napięcia we wzorcowym przedziale czasu. Schemat blokowy częstościomierza cyfrowego do pomiaru dużych częstotliwości jest przedstawiony na rysunku 3, natomiast przebiegi czasowe ilustrujące zasadę pomiaru częstotliwości metodą cyfrową są przedstawione na rysunku 4.

Rys.3. Schemat blokowy częstościomierza cyfrowego

Rys.4. Przebiegi czasowe ilustrują zasadę działania częstościomierza cyfrowego

Sygnał elektryczny o częstotliwości mierzonej fx jest podawany na wejście bramki poprzez układ formujący impulsy. Impulsy u₂ na wyjściu układu formującego są generowane podczas przejścia przez zero napięcia u₁ w czasie narastania. Bramka jest otwierana impulsem o czasie trwania T_N. Źródłem częstotliwości wzorcowych jest generator zaznaczony na rysunku 3 jako generator impulsów wzorcowych. Liczba impulsów o częstotliwości fx. Jaka przejdzie przez bramkę w czasie T_N zliczana przez licznik. Jeżeli w czasie T_N bramka zliczy n impulsów, wówczas mierzoną częstotliwość fx można wyrazić w następujący sposób:

(17) gdzie:

n - liczba zliczonych przez bramkę impulsów,

T_N - okres impulsów wzorcowych,

f_N - częstotliwość impulsów wzorcowych. .

Błąd względny pomiaru częstotliwości wyrazi się następującym wzorem:

(18) gdzie:

1/n - błąd względny metody zliczania,

ΔT_N/T_N - błąd względny wzorca częstotliwości.

Pierwszy składnik błędu względnego pomiaru częstotliwości zależy od wartości częstotliwości mierzonej fx oraz od wartości okresu T_N częstotliwości wzorcowej. Ze wzoru (18) widać, że pomiar małych częstotliwości może być obarczony dużym błędem. W celu zmniejszenia tego błędu stosuje się dłuższy czas zliczania impulsów, np.10s lub 100s. Przy pomiarze małych częstotliwości stosuje się pośredni pomiar częstotliwości metodą pomiaru czasu trwania okresu Tx. Schemat blokowy układu pomiarowego wykorzystywanego przy pomiarze małych częstotliwości, który służy do pomiaru czasu trwania okresu mierzonego przebiegu napięciowego wraz z zaznaczonymi przebiegami czasowymi jest przedstawiony na

rysunku 5.

Rys.5. Schemat układu do pomiaru małych częstotliwości

W celu zmierzenia czasu trwania okresu Tx (i określenia częstotliwości fx) należy wytworzyć dwa szpilkowe impulsy, z których jeden określa początek zliczania, a drugi - jego koniec. Impulsy te są generowane w układzie formującym i wytwarzają w układzie sterowania bramką impuls bramkujący o czasie trwania równym okresowi Tx. Impuls ten steruje bramką do której doprowadzone są impulsy z generatora wzorcowego, np. o częstotliwości wzorcowej f_N= 1000 kHz. Przez bramkę przechodzą impulsy o częstotliwości wzorcowej tylko w czasie trwania impulsu bramkującego, tj. w czasie Tx. Liczba n zliczonych w tym czasie przez licznik impulsów pozwala na określenie czasu Tx: Tx=nT_N (19) stąd:

(20)

Aby można było małe częstotliwości fx mierzyć dokładnie, n powinno mieć dużą wartość. Dokładność pomiaru okresu Tx zależy od dokładności częstotliwości f_N, dokładności określenia czasu trwania impulsu bramkującego oraz jest uwarunkowana tym, czy licznik zliczył o jeden impuls za dużo czy za mało. Błąd względny pomiaru wyznaczania okresu Tx wyraża się następującym wzorem:

(21) przy czym:

- błąd względny wzorca częstotliwości,

ΔTb/Tb - błąd względny ustalania czasu trwania impulsu bramkującego,

1/n - błąd względny metody zliczania.

15.4.1. Błędy w pomiarach cyfrowych

Błędy występujące w pomiarach cyfrowych można podzielić na błędy analogowe i błędy cyfrowe. Podział taki wynika ze struktury miernika lub przetwornika, które są urządzeniami hybrydowymi, analogowymi i cyfrowymi jednocześnie. Błędy analogowe są wynikiem niedoskonałości budowy i działania przetwornika analogowo-cyfrowego. Rozróżnia się:

a) błędy analogowe podstawowe,

b) błędy analogowe dodatkowe. Przykładem błędu podstawowego jest błąd nieliniowości charakterystyki przetwarzania. Błędy dodatkowe powstają przede wszystkim w wyniku zmiany warunków pracy w stosunku do warunków znamionowych. Dominujący wpływ mają dwa czynniki: temperatura pracy oraz czas starzenia strukturalnego elementów. Składowa cyfrowa błędu w przetworniku analogowo-cyfrowy jest wynikiem procesu kwantowania, natomiast w mierniku cyfrowym - dodatkowo procesu zliczania. W procesie przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałowi analogowemu mogącemu przyjmować nieskończenie wiele wartości zostaje przyporządkowany sygnał dyskretny, czyli jedna wartość z elementarnego przedziału ΔX. Przy kwantowaniu równomiernym wartość kwantu zastępuje się jedną wartością Nx taką że

Każdej wartości X z przedziału <X_i, X_i+1> odpowiada więc jedna i ta sama wartość Nx. Takie przyporządkowanie wielkości analogowej wartości dyskretnych powoduje powstanie niejednoznaczności między Nx a X, a więc i błędu przetwarzania zwanego błędem kwantowania. Graniczna wartość błędu kwantowania jest równa ±ΔX/2. Błąd kwantowania ma charakter przypadkowy, a jego rozkład prawdopodobieństwa jest równomierny, gdyż zgodnie z zasadą kwantowania zakłada się, że prawdopodobieństwo wystąpienia danej wartości X w całym przedziale kwantowania jest jednakowe. Błąd zliczania występuje w miernikach cyfrowych a jego przyczyną jest przypadkowe "ułożenie się" względem siebie impulsu wyznaczającego czas zliczania oraz impulsów zliczanych. Rysunek 6 ilustruje powstawanie błędów zliczania w przyrządach cyfrowych.

Rys.6. Ilustracja powstawania błędu zliczania w przyrządach cyfrowych

W czasie Tx licznik zlicza tyle samo impulsów co w czasie (NxTo+ k₁To - k₂To), natomiast wskazanie przyrządu będzie równe NxTo. Stąd błąd zliczania ΔTx będzie równy:

ΔTx = NxTo - (NxTo+ k₁To- k₂To) = (k₂ - k₁)To (23)

Współczynniki k₁, k₂ mogą przybierać wartości k₁≥0 oraz k₂≤1 lub odwrotnie. Wobec tego maksymalna wartość błędu zliczania jest równa ΔTx = ±To. Odpowiada to "zgubieniu" jednego impulsu lub zliczeniu o jeden impuls za dużo. Jest to równoznaczne z bezwzględnym błędem zliczania ΔNx:

ΔNx=±1 impuls (24)lub względnym błędem zliczania δNx:

Δ_Nx=±1/Nx (25)

W przyrządach cyfrowych błąd kwantowania mieści się w granicznej Wartości błędu zliczania. Błąd całkowity δ_PC przyrządu cyfrowego (lub przetwornika analogowo-cyfrowego) jest równy sumie błędów: błędu analogowego δa oraz błędu cyfrowego δc:

δ_PC=±δa±δc (26)

15.5. Przebieg ćwiczenia

1. Pomiar częstotliwości za pomocą mostka Robinsona

Rys.7. Schemat układu mostka Robinsona: Uz - napięcie zasilania (generator RC). WR -wskaźnik równowagi (słuchawki telegraficzne), C₁,C₂ - kondensatory dekadowe, R₁,R₂,R₃,R₄ - dekady rezystancyjne. Za pomocą mostka Robinsona należy dokonać pomiaru częstotliwości w zakresie (0±1000)Hz, dobierając i regulując odpowiednie elementy mostka. Wyniki oraz wartości błędów: bezwzględnego Δf i względnego Δf zanotować w tabeli.

15.5.2. Wyznaczanie błędu nieczułości przy pomiarze częstotliwości za pomocą mostka Robinsona. Schemat układu pomiarowego jest przedstawiony na rysunku 6. Dla częstotliwości zmierzonych fx należy określić błąd nieczułości zmieniając wartość mierzonej częstotliwości w chwili równowagi o taką minimalną wartość, która spowoduje zauważalne rozrównoważenie mostka. wyniki należy zanotować w tabeli.

15.5.4. Badanie właściwości częstościomierza cyfrowego

Rys.8. Schemat układu do badania częstościomierza - czasomierza cyfrowego PFL-22

Wykorzystując układ przedstawiony na rysunku 8 należy zmierzyć za

pomocą częstościomierza-czasomierza cyfrowego PFL-22 częstotliwość fg ustawioną na generatorze wykorzystując do tego celu dwie metody:

1) metodę bezpośredniego pomiaru częstotliwości z wykorzystaniem wszystkich możliwych czasów pomiaru (czasów otwarcia bramki) T_P

2) metodę pomiaru okresu badanego przebiegu z wykorzystaniem wszystkich możliwych nastaw okresu wzorcowego Tw

Pomiary należy przeprowadzić dla trzech różnych wartości częstotliwości fg ustawionych na generatorze: a) fg₁ = 10Hz, b) fg₂ = 100Hz, c)fg3=1000Hz. Otrzymane wyniki należy zapisać w tabeli, przy czym dla każdej wartości częstotliwość i fg należy sporządzić oddzielną tabelę.

---