5. Liniowa filtracja sygnałów dyskretnych

5.1. Zagadnienia ogólne

5.1.1. Pojęcia podstawowe

• Filtr cyfrowy = przetwornik sygnału dyskretnego, którego zadaniem jest tłumienie pewnej części widma sygnału.

• Alternatywne opisy filtrów liniowych :

- odpowiedź impulsowa lub jej parametry;

- transmitancja lub jej parametry;

- parametry równania różnicowego typu ARMA :

 

- parametry modułu transmitancji (por. twierdzenie Holtza - Leondesa [CTNES & ENOCHSON'78 - * 3.8]) :

(5-1)

(5-2)

- charakterystyki częstotliwościowe i :

(5-3)

Przykład 5.1. Dla filtru dolnoprzepustowego

,

rozpatrzonego w Przykładzie 2.2., wzory (5-1) i (5-2) przybierają postać :

♣

• Klasyfikacja filtrów idealnych

1

filtr dolnoprzepustowy

1

filtr górnoprzepustowy

1

filtr środkowoprzepustowy

1

filtr środkowozaporowy

1

filtr wszechprzepustowy

- stała dowolna (znormalizowane przesunięcie grupowe)

- znormalizowana pulsacja odcięcia

- znormalizowana dolna i górna pulsacja odcięcia

• Parametry robocze filtrów rzeczywistych

• Sposób realizacji filtru :

      FIR - filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (ang.: finite impulse response)

(5-4)

IIR - filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (ang.: infinite impulse response)

(5-5)

5.1.2. Ogólna metodyka projektowania

• Wymagania (kryteria jakości i ograniczenia projektowe) :

• - parametry robocze :

• - liniowość charakterystyki fazowej :

• - stabilność : dla (- biegun )

• - minimalnofazowość : dla (- zero )

• - ograniczenia realizacyjne : złożoność, wrażliwość na błędy kwantyzacji ...

• Sformułowanie problemu syntezy :

• - wybór klasy filtrów (FIR lub IIR)

• - wybór kryterium optymalizacji i ograniczeń optymalizacji

• - sformułowanie problemu optymalizacji

• (5-6)

Przykład 5.2. Zaprojektować filtr dolnoprzepustowy o pulsacji odcięcia i nachyleniu charakterystyki amplitudowej :

Zakładając, że filtr ten będzie typu IIR rzędu , wybieramy :

- kryterium optymalizacji

gdzie

- ograniczenia optymalizacji

, , (stabilność) ♣

• Wyznaczenie parametrów :

• - metodą optymalizacji bezpośredniej

• - jedną z metod tradycyjnych :

- wyznaczenie parametrów odpowiedniego filtru dolnoprzepustowego (por. * 5.2 i * 5.3) o pulsacji odcięcia

- przeliczenie tych parametrów na parametry projektowanego filtru (Tab. 5.1)

Tablica 5.1

FILTR	PODSTAWIĆ ZAMIAST W TRANSMITANCJI FILTRU DOLNOPRZEPUSTOWEGO O PULSACJI ODCIĘCIA
Dolnoprzepustowy	gdzie
Górnoprzepustowy	gdzie
Środkowoprzepustowy	gdzie
Środkowozaporowy	gdzie

Uwaga : - pulsacje graniczne projektowanego filtru

Zadanie 5.1. Sprawdzić skuteczność powyższych wzorów konstruując filtr górnoprzepustowy i środkowozaporowy na bazie filtru dolnoprzepustowego :

♣

• Konstrukcja algorytmu filtracji

Przykład 5.3. Realizacja filtracji IIR według wzoru (5-5) wymaga pamięci dla wartości oraz dla wartości . Alternatywą jest algorytm :

wymagający przechowywania wartości . Algorytm ten wynika z następującego rozumowania :

Graf przepływowy filtru IIR :

♣

Przykład 5.4. Dowolny filtr IIR (którego transmitancje ma tylko bieguny pojedyncze) może być zrealizowany w postaci kaskady filtrów elementarnych o transmitancjach postaci :

lub (faktoryzacja)

albo też w postaci równoległego połączenia filtrów elementarnych o transmitancjach postaci :

lub (ułamki proste)

gdzie . Np.:

(kaskada)

(połączenie równoległe) ♣

• Ocena rozwiązania : analiza właściwości nie objętych procedurą syntezy (np. wrażliwość na błędy zaokrągleń).

5.2. Filtry typu FIR

5.2.1. Właściwości filtrów typu FIR

• Formy opisu :

(5-7)

(5-8)

• Zalety filtrów typu FIR :

• - są zawsze stabilne (brak biegunów),

• - mogą być minimalno-fazowe,

• - mogą mieć liniową fazę,

• - są odporne na błędy realizacji cyfrowej (brak efektu kumulacji błędów).

• Minimalno-fazowe filtry typu FIR

Ponieważ

(5-9)

zastąpienie zera o module większym od jedności zerem o module       

mniejszym od jedności nie zmienia kształtu charakterystyki amplitudowej.

• Filtry typu FIR o liniowej fazie

(5-10)

Z definicji (5-8)

(5-11)

Stąd

albo

czyli

Równanie to spełnia każdy ciąg taki, że

(5-12)

pod warunkiem, że

(5-13)

W podobny sposób można pokazać, że warunkiem liniowości fazy w ogólniejszym sensie

(5-14)

jest

, , (5-15)

albo

, , (5-16)

Zadanie 5.2. Wykazać prawdziwość wzoru (5-9). ♣

Zadanie 5.3. Podać przykłady odpowiedzi impulsowych :

a) spełniających warunki (5-15),

b) spełniających warunki (5-16),

dla oraz . Naszkicować charakterystyki amplitudowe i fazowe odpowiadające tym . ♣

5.2.2. Metody aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej filtru typu FIR

• Interpolacja trygonometryczna : wyznaczyć odpowiedź impulsową filtru typu FIR, którego charakterystyka częstotliwościowa przyjmuje wartości dla , gdzie :

dla (5.17)

• czyli

• stąd rozwiązanie w dziedzinie czasu

(5.18)

• i w dziedzinie częstotliwości

(5-19)

(5-20)

Przykład 5.5. Dane są wartości charakterystyki częstotliwościowej z parametrem . Zrealizowano wzory (5-18) i (5-20) dla :

♣

• Aproksymacja średniokwadratowa : wyznaczyć odpowiedź impulsową filtru typu FIR, którego charakterystyka częstotliwościowa minimalizuje

• gdzie - zadana charakterystyka idealna,

(5-21)

• Rozwiązaniem są współczynniki Fouriera

(5-22)

Przykład 5.6. Odpowiedź impulsowa filtru FIR, którego charakterystyka częstotliwościowa jest średniokwadratową aproksymacją dla ma postać :

♣

Zadanie 5.4. Wykazać prawdziwość wzoru (5-22). ♣

Zadanie 5.5. Zaprojektować filtr środkowoprzepustowy :

a) metodą interpolacji,

b) metodą aproksymacji średniokwadratowej. ♣

• Aproksymacja jednostajna : wyznaczyć odpowiedź impulsową filtru typu FIR, którego charakterystyka częstotliwościowa minimalizuje

• Rozwiązanie : iteracyjny algorytm Remeza [BRODZIEWICZ, JASZCZAK `87 - *4.2.]

Przykład 5.7. Dla i za pomocą algorytmu Remeza zaprojektowano filtr dolnoprzepustowy o charakterystyce :

♣

5.2.3. Metody aproksymacji odpowiedzi impulsowej filtru typu FIR

• Istota metody okien czasowych :

(5-23)

(5-24)

gdzie  - okno czasowe, które powinno być optymalizowane w kierunku minimalizacji zniekształcenia widma odpowiedzi w stosunku do .

Ponieważ

(5-25)

gdzie , problem sprowadza się do godzenia sprzecznych wymagań :

- minimalizacji szerokości okna w dziedzinie czasu,

- minimalizacji szerokości okna w dziedzinie częstotliwości.

• Stosowanie okna ( dla i ) :

• (prostokątne)

• (Bartletta)

• (Hanninga)

• (Hamminga)

• (Blackmana)

• (Kaisera)

• gdzie -  zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju, zerowego rzędu, - parametr kształtu.

• Minimalne tłumienie w paśmie zaporowym :

okno prostokątne - 21 dB

okno Bartletta - 25 dB

okno Hanninga - 44 dB

okno Hamminga - 53 dB

okno Blackmana - 74 dB

okno Kaisera - 100 dB

• Projektowanie filtru typu FIR przy użyciu okna Kaisera (wory empiryczne) : wyznaczyć odpowiedź impulsową , zapewniająca następujące parametry charakterystyki częstotliwościowej : , , .

• Algorytm

• 1^o Obliczyć:

• 2^o Wyznaczyć:

Przykład 5.8. Zaprojektowano filtr typu FIR o parametrach : dB, , , przy użyciu okna Kaisera.

Otrzymano :

Charakterystyka filtru na rysunku :

♣

5.2.4. Porównanie metod projektowania filtrów typu FIR

Zależność liczby próbek widma przypadających na pasmo przejściowe od wymaganej wartości parametrów i [RABINER & GOLD `75- p.183].

Zadanie 5.6. Zaprojektować filtr dolnoprzepustowy typu FIR o parametrach : , , metodą :

a) interpolacji trygonometrycznej (5-19),

b) aproksymacji jednostajnej,

c) okna Kaisera.

Porównać złożoność otrzymanych rozwiązań. ♣

5.3. Filtry typu IIR

5.3.1. Właściwości filtrów typu IIR

• Formy opisu :

• - funkcja , np.

• (5-26)

• Zalety filtrów typu IIR :

- mogą być zawsze minimalnofazowe i stabilne, dzięki zastąpieniu zer i biegunów ich sprzężonymi odwrotnościami (por. wzór (5-9));

• - mogą być reprezentowane za pomocą niewielkiej liczby parametrów i .

• Wady filtrów typu IIR :

- są bardziej niż filtry typu FIR wrażliwe na błędy realizacji cyfrowej (tym bardziej, im są bliższe 1),

- mają nieliniową fazę.

• Korekcja nieliniowości fazy za pomocą filtrów wszechprzepustowych:

• (5-27)

• Ponieważ - por. (5-9) - więc poprzez odpowiedni dobór oraz można w dowolny sposób ukształtować fazę .

Zadanie 5.7. Zaprojektować korektor fazy filtru IIR o transmitancji . ♣

5.3.2. Metody aproksymacji charakterystyk częstotliwościowych filtrów typu IIR

• Symulacja klasycznych filtrów analogowych metodą transformacji biliniowej :

(5-28)

• gdzie - transmitancja filtru analogowego.

Zadanie 5.8. Wykazać, że transformacja biliniowa odwzorowuje lewą półpłaszczyznę zmiennej na wnętrze okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej . ♣

Pulsacja rzeczywista podlega nieliniowej transformacji w pulsację unormowaną wg wzoru :

(5-29)

Zadanie 5.9. Wyprowadzić wzór (5-29). ♣

Jako odniesienie analogowe stosuje się filtru Butterwortha, filtry Czebyszewa i filtry eliptyczne [OPPENHEIM & SCHAFER '79 - * 5.2].

Przykład 5.9. Zaprojektować filtr cyfrowy symulujący filtr Butterwortha o następujących właściwościach :

Charakterystyka filtru Butterwortha ma postać

co oznacza, że

ma bieguny równomiernie rozmieszczone na okręgu o promieniu . Bieguny leżące w lewej półpłaszczyźnie są biegunami .

1^o Wyznaczanie i :

- przeniesienie wymagań projektowych na filtr analogowy za pomocą przekształcenia pulsacji odwrotnego do (5-29) :

•   

•   

- podstawienie do wzoru definiującego

•  

•  

- rozwiązanie równań : ,

2^o Wyznaczenie parametrów transmitancji projektowanego filtru :

• - dla transmitancja o biegunach w lewej półpłaszczyźnie ma postać

•   

• - podstawienie daje

♣

Zalety transformacji biliniowej :

- gwarantuje stabilność filtru cyfrowego zaprojektowanego na podstawie stabilnego oryginału analogowego;

- gwarantuje brak efektu nakładania się widm (dzięki temu, że całą oś transformuje się na cały okrąg jednostkowy w płaszczyźnie ).

Zadanie 5.10.  Zaprojektować filtr cyfrowy spełniający wymagania z przykładu 5.9., posługując się filtrem Czebyszewa jako oryginałem analogowym [OPPENHEIM & SCHAFER '79 - * 5.2.2].

♣

• Aproksymacja pseudokwadratowa: wyznacza się parametry filtru minimalizując

• (5-30)

• gdzie ,

• Przyrównując pochodne wskaźnika (5-30) względem do zera otrzymuje się układ równań :

• dla (5-31)

• Przyrównując do zera pochodne względem

• dla (5-32)

• gdzie

Zadanie 5.11. Wyprowadzić wzory (5-31) i (5-32). ♣

• Aproksymacja jednostajna: Wyznacza się parametry filtru minimalizując

• Rozwiązanie : Iteracyjny algorytm Remeza [BRODZIEWICZ & JASZCZAK '87 - * 4.3.3].

5.3.3. Metody aproksymacji odpowiedzi czasowej filtru typu IIR

• Dyskretyzacja modelu całkowego :

• (5-33)

• przy założeniu, że

• (5-34)

Zadanie 5.12. Pokazać, że :

(5-35)

♣

• Stosując różne aproksymacje w przedziale , otrzymuje się różne schematy dyskretyzacji, np.:

• daje po podstawieniu do (5-35)

• skąd

• a po uwzględnieniu (5-33)

• oraz

• (5-36)

• W analogiczny sposób wyprowadza się :

• - z założenia , :

• (5-37)

• - z założenia

• (5-38)

• etc.

Zadanie 5.13. Wyznaczyć wzory (5-37) i (5-38). ♣

Przykład 5.11. Odpowiedź czasowa filtru analogowego o transmitancji

może być aproksymowana odpowiedzią filtru cyfrowego zaprojektowanego w następujący sposób :

1^o Rozłożyć na ułamki proste

2^o Zastosować wzór (5-36)

♣

• Dyskretyzacja modelu różniczkowego w postaci równań stanu :

• (5-39)

• (5-40)

• Stosując stabilny schemat numerycznego różniczkowania do aproksymacji , otrzymuje się równanie stanu filtru cyfrowego. Np. stosując wsteczny schemat Eulera

• otrzymuje się w dziedzinie transformat

• a stąd - po wyeliminowaniu - zależność od .

• Zauważmy, że

• (5-41)

---