WPROWADZENIE TEORETYCZNE

Ze względu na przyczyny ich powstawania błędy dzielimy na: przypadkowe, systematyczne i grube. W praktyce błędy grube i systematyczne powinno się starać zawsze eliminować. Dlatego analiza wyników pomiarów jest przeprowadzana przy założeniu, że występują tylko błędy przypadkowe. Przypadkowość tych błędów sprawia, że ich wielkości i znaki są zmienne i niemożliwe do wyeliminowania.
Błędy te traktujemy jako zmienne losowe a granice ich występowania określa się wg teorii prawdopodobieństwa.
Przy powtarzaniu pomiarów wybranej wielkości fizycznej jednym i tym samym przyrządem mierniczym nie otrzymuje się nigdy jednakowych wyników. Istnieje jednak pewna prawidłowość w rozproszeniu tych wyników. Jest ona opisana matematycznie tzw. krzywą rozkładu normalnego.

Rys 4.1.

Pole pod krzywą rozkładu normalnego przyjmuje się równe jedności. Pole odpowiadające któremuś z przedziałów osi x przedstawia prawdopodobieństwo przyjęcia przez przypadkowy wynik pomiaru wielkości zawartej w tym przedziale.
Z kształtu krzywej Gaussa widać, że największą ilość otrzymywanych wyników pomiarów będzie się układać wokół pewnej wartości centralnej, czyli średniej ,
określanej jako wartość oczekiwana. Częstość odchyleń σ (σ  odchylenie standardowe - parametr rozkładu normalnego od wartości  jest zależna od wartości bezwzględnej tychże odchyleń; przykładowo: dla przedziału
[-σ, +σ] częstość wyników pomiarów zawartych w tym przedziale wynosi 0,6827 ogólnej liczby przeprowadzonych pomiarów.
Prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku pomiaru rośnie wraz ze zwiększeniem długości przedziału i widać, że poza przedziałem [-3σ, +3σ] znalazło się zaledwie 0,0027 całkowitej liczby wyników pomiarów. Stąd powstała trzysigmowa metoda szacowania błędu przypadkowego.

Jeżeli do pomiaru tej samej wielkości zastosuje się metody pomiarowe o rożnej dokładności, wtedy rozproszenie wyników pomiarów skupi się dookoła wartości ,
ale kształt krzywej się zmieni ze względu na inne odchylenie standardowe σ zależne od metody pomiaru. Inaczej mówiąc: odchylenie standardowe charakteryzuje rozrzut błędów przypadkowych odpowiadających danej metodzie pomiarowej. Jest także tym mniejsze, im metoda jest dokładniejsza.

Rys. 4.2.




1. Metoda trzysigmowa (liczba pomiarów n≥
Wynik pomiaru X jest zmienną losową. Po wykonaniu n pomiarów tej samej wielkości tą samą metodą otrzymuje się ciąg realizacji zmiennej losowej. Należy teraz oszacować nieznaną wartość oczekiwaną  = Ex. Najczęściej tym
oszacowaniem jest wartość średnia z próbki n-elementowej.

gdzie:
x - jest estymatorem wartości oczekiwanej
Dla wszystkich realizacji zmiennej losowej X (w populacji generalnej) miarą rozproszenia wyników dookoła  jest odchylenie średniokwadratowe σ.

W powyższym wzorze  nie jest znane, a znany jest tylko jego estymator, dlatego jako oszacowanie parametru σ przyjmuje się estymator s
nazywany średnim odchyleniem skorygowanym (estymator nieobciążony odchylenia standardowego) pojedynczego pomiaru.
Dla liczby pomiarów n≥ sσ według wzoru

przyjmując x. Ostatnią czynnością w metodzie trzysigmowej jest obliczenie oszacowania S odchylenia średniokwadratowego wartości średniej, które wynosi:

dla liczby pomiarów od 15 do 30 lub

dla większej liczby pomiarów. Ostateczny wynik pomiaru wynosił będzie

2. Metoda studenta (liczba pomiarów n
Różnice pomiędzy obliczeniem granic przedziału, obejmującego wartość x,

za pomocą rozkładu t Studenta a metodą trzysigmowa występują szczególnie duże dla malej liczby pomiarów. Dlatego więc przy n nie można stosować metody klasycznej Ze wzrostem n rozkład t Studenta zbliża się do rozkładu normalnego i różnice rozwiązań staja się coraz mniejsze.
Procedura obliczania granic przedziału obejmującego wartość x:
a) obliczyć wartość średnią n elementowej próbki ze wzoru

i przyjąć jako oszacowanie poprawnej wartości mierzonej wielkości
b) obliczyć średnie odchylenie skorygowane s oraz jego estymator (oszacowanie)

c) znaleźć w tablicach parametr t₁ zależnie od liczby stopni swobody k (k=n-1) oraz od przyjętego poziomu ufności 1-
d) obliczyć granice przedziału wg wzoru

e) podąć wynik pomiaru

lub w postaci wzoru z poprzedniego punktu

RYSUNEK I OPIS STANOWISKA

W ćwiczeniu stosowaliśmy dwa przyrządy pomiarowe: suwmiarkę i mikrometr.
Suwmiarka śluzy do mierzenia wymiarów zewnętrznych, wewnętrznych i mieszanych. Jej układ pomiarowy stanowią: zespól prowadnicy z naniesiona podziałką liniowa i noniusz.
Mikrometr jest przyrządem pomiarowym służącym do mierzenia wymiarów zewnętrznych metodą bezpośrednią. Rolę przetwornika pomiarowego stanowi zespól wzorca długości w postaci sruby mikrometrycznej współpracującej z nakrętką.

ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

(dokonana za pomocą pakietu Statgraphics)

1. Pomiary wykonane mikrometrem

Jak widać, podstawowe dane statystyczne, nie różnią się od tych otrzymanych w czasie ćwiczenia, natomiast znacząca różnica występuje dla otrzymanych przedziałów ufności

Na górnym wykresie znajduje się krzywa Gaussa dla pomiarów wykonanych mikrometrem. Aby można było określić, która metoda pomiarowa jest dokładniejsza; należy wiec przeprowadzić ta sama analizę dla 30 pomiarów wykonanych suwmiarką.

2. Pomiary wykonane suwmiarką
Od razu zauważamy większą wartość odchylenia standardowego, co jest cechą charakterystyczną dla mniej dokładnej metody pomiarowej.

Tak samo, jak w poprzedniej metodzie pomiarowej otrzymaliśmy rożne wartości przedziałów ufności dla średniej pomiaru, mimo przyjęcia tych samych poziomów istotności 0,05. Jest to znacząca różnica rzędu 5,6 dla suwmiarki, która jest spowodowana innymi dokładnościami pomiarowymi mikrometru i suwmiarki.

PRZYKŁADOWE OBLICZENIA

1. Ocena błędu metodą studenta dla liczby pomiarów mniejszej od 15.
Procedura obliczania granic przedziału obejmującego wartość x:
a) obliczamy wartość średnią n-elementowej próbki ze wzoru:


wynik ten przyjmujemy jako oszacowanie poprawnej wartości wielkości mierzonej
b) obliczamy średnie odchylenie skorygowane s ze wzoru:



s=0,048215
c) dla liczby pomiarów n=10 (czyli k=n-1=10) i przedziału ufności 0,95 z tablic znajdujemy parametr t₁ rozkładu t Studenta; t₁= 2,262
d) obliczamy granice przedziału wg wzoru:





e) wynik pomiaru zapisujemy jako

49,0550000,12470

2. Metoda trzysigmowa liczba pomiarów 30
a) obliczenie wartości średniej

Wynik pomiaru X jest zmienną losową. Po wykonaniu 30 pomiarów tej samej wielkości tą samą metodą otrzymuje się ciąg realizacji zmiennej losowej. Należy teraz oszacować nieznaną wartość oczekiwaną  = Ex. Dla 30 pomiarów tym oszacowaniem jest wartość średnia z próbki  wzór przykładowego obliczenia pokazano dla 10 pomiarów

b) obliczamy oszacowanie odchylenia średniego kwadratowego pojedynczego pomiaru; dla liczby pomiarów 30 można korzystać z poniższego wzoru

c) obliczamy oszacowanie S odchylenia średniego kwadratowego wartości średniej

cały czas korzystając z założenia, że dla liczby pomiarów n≥ sσ

d) obliczenie błędu trzysigmowego

3S = 0,144646

e) wynik pomiaru wynosi

49,068333  0,14464

UWAGI I WNIOSKI
1. Dla 10 pomiarów obliczenia wykonano metodą studenta. Metoda ta zależy od liczby pomiarów. Stąd też wartość średnia, jak również wartość błędu są różne od wartości uzyskanych dla 30 pomiarów.

2. Dla 30 pomiarów zastosowano dwie metody obliczeniowe studenta oraz trzysigmową. Okazuje się, że wyniki uzyskane tymi metodami dla tej ilości pomiarów są zbieżne. Zatem możemy do obliczeń serii powyżej 30 pomiarów stosować metodę trzysigmową, bo jest prostsza.

3. Dokładniejsze wyniki pomiarów uzyskaliśmy mikrometrem niż suwmiarką.
Błąd pomiaru przedmiotu suwmiarką wyszedł o rząd wielkości większy od błędu uzyskanego mikrometrem. Wynika to zapewne z dokładności pomiarowych obu przyrządów oraz ich cech konstrukcyjnych.

---