8. GEOMETRIA ANALITYCZNA PR

1. Wierzchołkami trójkąta są punkty
   
   
   Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka
   oraz oblicz pole tego trójkąta. (4 pkt)

2. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek prostej
   wycięty przez hiperbolę o równaniu
   . Wykonaj odpowiedni rysunek. (4 pkt)

3. Do okręgu o równaniu
   poprowadzono styczne równoległe do prostej
   . Wyznacz współrzędne punktów styczności i napisz równanie tych stycznych. (5 pkt)

4. W trapezie
   dane są wierzchołki
   oraz punkt przecięcia przekątnych
   . Pole wynosi
   . Oblicz długość
   oraz współrzędne pozostałych wierzchołków. (6 pkt)

5. Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta którego boki zawierają się w prostych o równaniach:
   ,
   
   Wykaż że trójkąt jest prostokątny. (4 pkt)

6. Oblicz pole trójkąta
   w którym dany jest wierzchołek
   środek
   boku
   i wektor
   Napisz równanie symetralnej boku
   (4 pkt)

7. Napisz równanie stycznych do okręgu o równaniu
   przechodzących przez początek układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta ograniczonego tymi stycznymi i prostą o
   . (4 pkt)

8. Jaką figurą na płaszczyźnie jest zbiór wierzchołków parabol o równaniach:
   ? Napisz równanie tej figury. (3 pkt)

9. Prosta o równaniu
   przecina parabolę
   w punktach
   . Oblicz pole i obwód trójkąta
   , gdzie
   jest wierzchołkiem paraboli. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie
   (5 pkt)

10. Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach
    ,
    . Punkt
    jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Napisz równanie prostych zawierających pozostałe boki. Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku i oblicz jego pole. (5 pkt)

11. Wyznacz współrzędne wierzchołka
    kwadratu
    , gdy:
    ,
    
    . Napisz równania prostych zawierających przekątne kwadratu. Znajdź równanie okręgu opisanego na tym kwadracie. (4 pkt)

12. Punkty
    są wierzchołkami trapezu równoramiennego
    . Podstawy trapezu są prostopadłe do prostej
    przechodzącej przez punkt
    . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu i oblicz jego pole. (6 pkt)

13. Wyznacz równania stycznych do okręgu równaniu:
    w punktach przecięcia tego okręgu z prostą:
    . Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności i środek okręgu. (5 pkt)

14. Punkty
    i
    są punktami wspólnymi okręgu o równaniu
    i prostej o równaniu
    przy czym rzędna punktu
    jest większa od rzędnej punktu
    . Znajdź zbiór punktów , których odległość od punktu
    jest dwukrotne większa od odległości od punktu
    . Jaka to figura? (6 pkt)

15. Para liczb
    jest rozwiązaniem układu równań
    . Dla jakich wartości parametru
    punkt
    należy do koła o promieniu
    i środku w początku układu współrzędnych? (4 pkt)

16. W układzie współrzędnych są dane punkty:
    oraz
    . Wyznacz współrzędne punktu
    leżącego na osi
    tak że kąt
    jest kątem prostym. (3 pkt)

17. Sprawdź, że przekształcenie
    płaszczyzny dane wzorem
    jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu
    w przekształceniu
    . (3 pkt)

18. Dla jakich wartości parametru
    prosta
    jest prostopadła do prostej
    , jeżeli:
    
    ,
    ? (4 pkt)

19. Odcinek
    jest obrazem odcinka
    w jednokładności o skali
    . Wiedząc, że
    wyznacz: (3 pkt)

1. równanie prostej przechodzącej przez punkt
   i jego obraz w tej jednokładności,

2. równanie prostej przechodzącej przez punkt
   i jego obraz w tej jednokładności,

3. współrzędne środka tej jednokładności.

1. Punkt
   jest jednym z końców odcinka
   . Punkt
   należy do odcinka
   i
   . Oblicz współrzędne punktu
   . (3 pkt)

2. Dane są punkty
   Na prostej o równaniu
   wyznacz punkt
   tak, aby trójkąt
   miał najmniejszy obwód. (3 pkt)

3. Napisz równanie prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i stycznych do okręgu
   danego równaniem
   . (3 pkt)

4. Punkt
   , jest jednym z wierzchołków rombu
   , a punkt
   jest środkiem symetrii tego rombu. Pole
   rombu jest równe
   . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu. Narysuj rysunek pomocniczy. (6 pkt)

5. Punkty
   i
   są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego
   . Prosta
   o równaniu
   jest osią symetrii tego trapezu. Napisz równanie okręgu opisanego na tym trapezie i oblicz pole trapezu. (5 pkt)

6. Czworokąt
   gdzie
   ;
   ;
   jest trapezem, w którym przekątna
   jest dwusieczną kąta przy wierzchołku
   . Wyznacz współrzędne punktu
   . Znajdź równanie okręgu opisanego na trapezie
   . (5 pkt)

7. Koło
   jest ograniczone okręgiem
   . Koło
   ma środek w punkcie
   i promień o długości
   . Oblicz pole zbiorów:
   oraz
   . (4 pkt)

8. Z punktu
   poprowadzono do okręgu o równaniu
   dwie proste, styczne do okręgu w punktach
   . Znajdź kąt miedzy stycznymi. Znajdź długość odcinka
   . Znajdź najmniejszą odległość między punktami okręgu i punktem
   . (4 pkt)

9. Wyznacz równanie prostej stycznej do okręgu
   w punkcie
   . (3 pkt)

10. Dany jest okrąg o równaniu
    oraz punkt
    Z punktu
    poprowadzono styczne do tego okręgu w punkcie
    Wyznacz równania tych stycznych i długość odcinka
    . (5 pkt)

11. Odcinek o końcach
    podzielono na trzy równe części. Wyznacz współrzędne punktów podziału. (4 pkt)

12. Jak względem siebie położone są okręgi o równaniach
    ? (3 pkt)

13. Zaznacz zbiór
    punktów płaszczyzny i napisz równanie jego osi symetrii. (4 pkt)

14. Zaznacz zbiór
    punktów płaszczyzny. Oblicz jego pole i wyznacz równania osi symetrii. (4 pkt)

15. 
    ,
    są zbiorami punktów płaszczyzny. Oblicz pole zbioru
    . (4 pkt)

16. Zaznacz zbiór
    punktów płaszczyzny i oblicz jego pole. (3 pkt)

17. Zaznacz zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają warunek
    . Czy jest on zawarty w kole
    ? Wyznacz równanie jego osi symetrii. (4 pkt)

18. Zaznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają warunek
    . Znajdź jego środek symetrii. (4 pkt)

19. Okręgi o równaniach:
    są do siebie styczne w punkcie
    i są styczne do prostej o równaniu
    w punktach
    Oblicz pole trójkąta
    . Jaki to trójkąt? (4 pkt)

20. Z punktu
    poprowadzono styczne do okręgu o równaniu
    w punktach
    . Wyznacz długość odcinków
    i
    . Oblicz tangens kąta utworzonego przez styczne. (4 pkt)

21. Określ wzajemne położenie prostej o równaniu
    , i okrąg o równaniu
    niezależnie od wyboru liczby
    . (3 pkt)

22. Pary liczb
    spełniające układ równań:
    są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego
    . (2005) (6 pkt)

a) Wyznacz współrzędne punktów:
.

b) Wykaż, że czworokąt
jest trapezem równoramiennym.

c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie
.

23. Punkty
    i
    są wierzchołkami trójkąta
    , w którym
    . (2006) (6 pkt)

a) Wyznacz współrzędne wierzchołka
, wiedząc, że leży on na osi
.

b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie
w

jednokładności o środku w punkcie
i skali
.

24. Podstawa
    trapezu
    jest zawarta w osi
    , wierzchołek
    jest punktem przecięcia paraboli o równaniu
    z osią
    . Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli. Oblicz pole tego trapezu. (2006) (4 pkt)

25. Wierzchołki trójkąta równobocznego
    są punktami paraboli
    . Punkt
    jest jej wierzchołkiem, a bok
    jest równoległy do osi
    . Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta. (2007) (6 pkt)

26. Określ wzajemne położenie prostych o równaniach :
    . Oblicz
    kąta jaki tworzą one ze sobą. (3 pkt)

27. Dany jest wektor
    oraz punkt
    . Oblicz współrzędne punktu
    oraz współrzędne i długość wektora
    . (3 pkt)

28. Prostą o równaniu
    przesunięto o wektor
    . Napisz równanie otrzymanej prostej. (2 pkt)

29. Jak względem siebie położone są: prosta zawierająca punkty
    oraz wektor
    ? Uzasadnij odpowiedź. (2 pkt)

30. Punkty
    są wierzchołkami trapezu równoramiennego
    niebędącego równoległobokiem, w którym
    . (CKE) (4 pkt)

1. Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.

2. Oblicz pole tego trapezu.

31. Wyznacz równanie okręgu o środku
    , stycznego do prostej o równaniu
    . (CKE) (3 pkt)

32. Dane są punkty
    . Na prostej o równaniu
    wyznacz punkt
    tak, aby łamana
    miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij. (CKE) (3 pkt)

33. Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu
    jest równoodległy od osi
    i od punktu
    . (2008) (4 pkt)

34. Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
    jest okrąg o równaniu
    , a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną. (2008) (4 pkt)

35. Prosta
    przechodzi przez początek układu współrzędnych. Napisz równanie tej prostej, wiedząc, że jej odległość od punktu
    jest równa
    . (2008) (5 pkt)

36. Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu
    , a drugi na prostej o równaniu
    . Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od
    . Sporządź odpowiedni rysunek. (2009) (5 pkt)

37. Środek okręgu przechodzącego przez punkty
    leży na osi
    . (2009) (6 pkt)

a) Wyznacz równanie tego okręgu.

b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej
i oddalonej

od początku układu współrzędnych o
.

38. W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu
    oraz zaznacz punkt
    . Prosta o równaniu
    jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt
    . Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt
    . (2009) (5 pkt)

39. Obrazem odcinka
    , gdzie
    i
    w jednokładności o skali
    i środku
    jest odcinek
    , gdzie
    . Zapisz równanie okręgu o środku w punkcie
    i promieniu
    . (2009) (5 pkt)

40. Punkty rownoodległe od prostej o równaniu
    i punktu
    należą do wykresu funkcji
    . Znajdź wzór tej funkcji. (2009) (4 pkt)

41. Dane są zbiory
    oraz
    . W układzie współrzędnych zaznacz
    i oblicz pole otrzymanej figury. (5 pkt)

42. Punkt
    jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego
    , w którym
    . Pole tego trójkąta jest równe
    . Bok
    jest zawarty w prostej o równaniu
    . Oblicz współrzędne wierzchołka
    . (2010) (6 pkt)

43. Punkty
    oraz
    leżą na okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu
    . Wyznacz równanie tego okręgu. (4 pkt)

44. Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki zawarte są w osiach
    i
    układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które nie leżą na żadnej z osi układu współrzędnych. Narysuj tę krzywą. (CKE) (4 pkt)

45. Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu
    poprowadzonymi przez punkt
    (2011) (4 pkt)

ZADANIA DODATKOWE

46. W trójkącie
    jest
    Znajdź
    .

47. Dla jakich wartości parametru
    wektory
    i
    są prostopadłe, jeżeli wiadomo, że
    oraz
    

48. Obliczyć długość wektora
    wiedząc, że wektory
    i
    tworzą kąt
    oraz
    

49. Jak względem siebie położone są wektory
    ? Znajdź kosinus kąta między nimi. Znajdź
    .

50. Dana jest prosta
    o równaniu
    oraz wektor
    . Określić położenie wektora
    względem prostej
    .

51. Dane są wektory
    . Czy
    ,
    ? Znajdź
    .

52. Dane są punkty
    Wyznacz

1. 
   ;

2. 
   .

3. Czy punkty
   są wierzchołkami trójkąta ?

1. Punkty
   są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz:

a)
;

b)
;

c) punkt przecinają się środkowych boków trójkąta
.

2. Dane są: punkt
   i wektor
   . Czy prosta o równaniu
   

1. zawiera punkt
   ;

2. jest równoległa do wektora
   ;

3. jest prostopadła do wektora
   ?

1. Prosta przechodząca przez punkty
   przecina parabolę
   w punktach
   .

1. Napisz równanie stycznych do paraboli w punktach
   i
   .

2. Wyznacz punkt
   przecięcia się stycznych oraz napisz równanie okręgu o środku w punkcie
   i promieniu równym
   długości odcinka
   .

© MIROSŁAW JEDLIŃSKI

2

---