Do wykładu № 9

Prąd elektryczny. Prąd elektryczny w metalach, cieczach i gazach. Prawa Ohma i Joule'a-Lenza. Prawo Kirchhoffa. Półprzewodniki.

1. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M. Feynmana wykłady z fizyki. - Warszawa: PWN, 1971. - W 5 t.

2. Resnik R., Holliday D. Fizyka. - Warszawa: WN PWN, 1998. W 2 t.

3. Bobrowski C. Fizyka - krótki kurs. - Warszawa: WNT, 2007.

Wykłady realizowany są w ramach projektu pt. „Mechatronika kierunkiem przyszłości - dostosowanie oferty edukacyjnej Uniwersytetu Kazimierza Wielkiego do potrzeb rynku pracy”, Działanie 4.1.1, Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki, współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”.

Natężenie i gęstość prądu elektrycznego.

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych pod wpływem pola elektrycznego. Nośnikami prądu mogą być ładunki dodatnie (np. jony w cieczy lub w gazie) i ładunki ujemne (elektrony w ciele stałym, elektrony i jony w cieczy lub w gazie). Jako kierunek prądu przyjęto kierunek ruchu nośników dodatnich, a więc prąd płynie od potencjału wyższego do potencjału niższego.

Natężenie prądu
jest określone jako szybkość przepływu ładunku, czyli stosunek
ładunku
przepływającego przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie
, do tego czasu

.

Jeśli w przepływie prądu uczestniczą różne nośniki ładunku, to natężenia prądu tych nośników dodają się

.

Gęstość prądu jest wektorem
, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu, zaś wartość jest określona przez stosunek natężenia prądu
przepływającego przez mały element powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika
do pola powierzchni tego elementu. Zatem

,

gdzie
jest wersorem wskazującym kierunek ruchu dodatnich nośników prądu przez powierzchnię
. Natężenie prądu jest strumieniem wektora gęstości prądu przez daną powierzchnię.

Wówczas

.

Prawo Ohma.

Dla danego przewodnika stosunek napięcia między końcami przewodnika do
natężenia prądu płynącego przez przewodnik jest wielkością stałą. Wielkość tę nazywamy oporem elektrycznym. Z prawa tego wynika, że dla przewodnika natężenie prądu jest liniową funkcją napięcia, współczynnik kierunkowy prostej
jest równy odwrotności oporu.

Istnieją elementy przewodzące prąd, dla których natężenie prądu nie jest liniową funkcją napięcia.

Opór elektryczny

Opór elektryczny jednorodnego przewodnika o stałym przekroju jest zależny od jego długości
i pola przekroju
oraz od rodzaju przewodnika

,

gdzie
to opór właściwy substancji, z której wykonany jest przewodnik.

Przewodniki
Srebro
Miedź
Złoto
Aluminium
Żelazo
Półprzewodniki
German
Krzem
Izolatory
Szkło
Ebonit
Polietylen
Powietrze
Ciecze
Woda destylowana
Woda rzeczna
Woda morska
Spiritus etylowy

Wartość oporu właściwego
silnie zależy od własności mikroskopowych substancji, z których wynika rodzaj nośników prądu (ładunek i masa) oraz ich koncentracja (liczba nośników w jednostce objętości). W przewodnikach (metalach) nośnikami są elektrony. Ich koncentracja jest duża, tego rzędu, co koncentracja atomów, stąd małe wartości oporu właściwego.

Opór właściwy metali rośnie wraz ze wzrostem temperatury. Według najprostszego modelu zależność ta ma charakter liniowy

,

gdzie
jest opór właściwy w temperaturze
(większość tablic podaje jego w temperaturze
),
jest temperaturowym współczynnikiem oporu.

W izolatorach (dielektrykach) koncentracja nośników jest mała, stąd duże wartości oporu właściwego. W cieczach i w gazach duże wartości oporu właściwego wynikają nie tylko z małej koncentracji, ale również z małej ruchliwości nośników (duża masa jonów). W półprzewodnikach samoistnych (np. german, krzem) koncentracja nośników (elektrony i dziury) rośnie ze wzrostem temperatury, co prowadzi do zmniejszania wartości oporu właściwego. Silny wpływ na koncentrację nośników mają domieszki.

W praktyce często wykorzystuje się przewodnictwo właściwe
jako odwrotność oporu właściwego

.

Mikroskopowy opis przepływu prądu elektrycznego w przewodniku.

W jednorodnym przewodzie o przekroju
i koncentracji elektronów
(liczba
elektronów w jednostce objętości przewodnika) pole elektryczne działa na elektrony ze siłą
, zmuszając je do ruchu ze stałym przyspieszeniem. Mogłoby się wydawać, że pod wpływem pola elektrycznego elektrony będą się poruszać ruchem jednostajnie zmiennym, z rosnącą liniowo prędkością. Jednak, po przebyciu drogi równej średniej odległości międzyatomowej, wskutek zderzeń z atomami, prędkość elektronów spada do zera i przyspieszanie zaczyna się od nowa. W krótkim czasie od włączenia pola elektrycznego ustala się równowaga dynamiczna. Szybkość dostarczania energii przez pole zrównuje się z szybkością strat energii w zderzeniach i ustala się wartość prędkości unoszenia elektronów (tak, jakby oprócz stałej siły elektrycznej działała równa jej wartość siły oporu). Z takiego modelu przepływu prądu w wynika wzrost energii wewnętrznej przewodnika (wzrost temperatury) oraz interpretacja fizyczna oporu elektrycznego i pracy prądu elektrycznego.

W rezultacie występuje pewna średnią prędkość unoszenia elektronów
i możemy zapisać następujący związek

,

gdy w przewodniku płynie prąd stały.

Poruszając się w kierunku wymuszonym przez pole elektryczne elektrony nie rezygnują z bezładnego ruchu cieplnego. Według prostego modelu klasycznego „gaz” elektronowy opisujemy podobnie jak gaz doskonały. Wartość prędkości średniej ruchu cieplnego w temperaturze pokojowej można oszacować wykorzystując wzory

,

gdzie
jest średnią prędkością ruchu cieplnego elektronów w przewodniku.

Wartość prędkości unoszenia elektronów można oszacować wykorzystując wzory

,

gdzie
,
,
(
jest grubość przewodu miedzianego).

W tej ocenie wykorzystano, że każdy atom miedzi daje jeden elektron swobodny, zatem znając masę molową miedzi
, gęstość miedzi
i liczbę Avogadro
można obliczyć koncentrację elektronów
.

Warto zauważyć, że prędkość elektronów będących nośnikami prądu jest niezwykle mała w porównaniu z prędkością ruchu cieplnego. Można powiedzieć, że prąd płynie bardzo wolno. Oczywiście sygnał, który nakazuje elektronom przewodnictwa płynąć w określonym kierunku rozchodzi się niezwykle szybko. Sygnałem tym jest pole elektryczne, które rozchodzi się z prędkością równą prędkości światła.

Praca i moc

Praca
wykonana przez pole elektryczne na wymuszenie przepływu ładunku
w czasie
powoduje wzrost energii wewnętrznej przewodnika (wzrost temperatury), a w konsekwencji do otoczenia może przepłynąć energia w postaci ciepła
. Pracę elementarną możemy zapisać w postaci

.

Pracę wykonaną w czasie
otrzymamy po zsumowaniu porcji
, które w przypadku prądu o stałym natężeniu daje wartość

.

Wykorzystując prawo Ohma wzór ten można przedstawić w trzech postaciach

.

Moc jest równa szybkości wykonywania pracy i może być przedstawiona za pomocą trzech wzorów

.

W zastosowaniach praktycznych należy do danej sytuacji dostosować odpowiednią postać wzoru. Np. jeśli ustalona jest wartość napięcia zasilania
, to zarówno praca jak i moc są tym większe im mniejszy jest opór.

Siła elektromotoryczna

Siła elektromotoryczna jest różnicą potencjałów wytwarzaną przez źródło prądu, czyli
urządzenie przetwarzające energię (chemiczną, mechaniczną,...) na energię elektryczną. Jej wartość jest określona przez wydatek energetyczny źródła
na wymuszenie przepływu ładunku
, przypadający na jednostkę ładunku

Większe znaczenie praktyczne ma określenie siły elektromotorycznej jako napięcia na
zaciskach źródła, gdy prąd w obwodzie zawierającym źródło nie płynie.

Prawa Kirchhoffa

Prawa Kirchhoffa wynikają z zasady zachowa­nia ładunku i podstawowych własności pola elektrycz­nego. Za pomocą praw Kirchhoffa uzyskujemy równa­nia, z których można obliczyć natężenie prądu w każdej części obwodu elektrycznego oraz napięcie między dwoma dowolnymi punktami obwodu.

Suma natężeń prądów dopływających do punktu węzłowego (punktu połączenia przewodów) jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego punktu.

Suma zmian potencjału na drodze zamkniętej w obwodzie elektrycznym jest równa zeru.

Prosty obwód prądu stałego

Składa się w swojej podstawowej wersji ze źródła o sile elektromotorycznej
i oporze wewnętrznym
oraz obwodu zewnętrznego o oporze
.

Dla obwodu zapisujemy prawo zachowania energii (drugie prawo Kirchhoffa)

.

Skąd dla prądu mamy

.

Natężenie prądu w obwodzie osiąga wartość największą dla
, jest to tzw. prąd zwarcia
.

Różnica potencjałów (napięcie) na oporze zewnętrznym zgodnie z prawem Ohma będę

.

Napięcie na zaciskach źródła
dąży do wartości równej sile elektromotorycznej
, gdy
.

Moc w oporniku zewnętrznym

.

Jest to funkcja oporu
. Dla znalezienia oporu
przy którym ta moc jest maksymalna, różniczkujemy względem
i pochodną przyrównujemy do zera

.

Skąd

.

Moc w oporniku zewnętrznym
osiąga wartość największą dla
i jest równa

.

Moc w oporniku wewnętrznym
określa się w sposób podobny

.

Moc całkowita
jest równa sumie mocy
w obwodzie zewnętrznym i mocy
wewnątrz źródła

.

Podstawiając mamy

.

Sprawność jest określona jako stosunek mocy w oporniku zewnętrznym do mocy całkowitej

.

Z charakteru zależności mocy w obwodzie zewnętrznym od wartości oporu zewnętrznego wynika, że określoną moc P można uzyskać dla dwóch różnych wartości oporu
i
. Na podstawie wykresu zależności sprawności od oporu zewnętrznego można stwierdzić, że bardziej korzystny jest wybór oporu
, gdyż większa jest sprawność.

Obliczanie oporu zastępczego układu oporników

Jeśli układ oporników podłączymy do źródła napięcia
to popłynie prąd o natężeniu
. Opór zastępczy układu, to opór opornika, przez który po podłączeniu do takiego źródła popłynie prąd o takim samym natężeniu.

Wynika stąd ogólna i uniwersalna metoda obliczania oporu zastępczego: należy obliczyć natężenie prądu, który popłynie do danego układu oporników po podłączeniu do źródła napięcia
. To natężenie prądu będzie proporcjonalne do napięcia, a współczynnik proporcjonalności to odwrotność oporu zastępczego układu

.

Za pomocą tej metody można obliczyć opór dowolnego układu oporników, bez konieczności ustalania jak są połączone oporniki, a więc nawet bez znajomości wzorów na łączenie szeregowe, równoległe, łączenia w trójkąt i w gwiazdę,... .

Do obliczania natężenia prądu
wykorzystywane są dwa podstawowe prawa fizyczne:

• zasada zachowania ładunku (czyli tzw. pierwsze prawo Kirchhoffa),

• w polu elektrostatycznym suma zmian potencjału na drodze zamkniętej jest równa zeru (czyli tzw. drugie prawo Kirchhoffa).

Spośród różnych możliwych połączeń oporników wyróżniamy dwa podstawowe - połączenie szeregowe i połączenie równoległe.

Szeregowe połączenie oporników. Oporniki uznajemy za połączone szeregowo, jeżeli płynie przez nie prąd o takim samym natężeniu. Układ
oporników połączonych szeregowo można zastąpić opornikiem o oporze równym sumie ich oporów

.

Równoległe połączenie oporników. Oporniki uznajemy za połączone równolegle,
jeżeli napięcie na nich ma taką samą wartość. Układ
oporników połączonych równolegle można zastąpić opornikiem o oporze, którego odwrotność jest równa sumie odwrotności ich oporów

.

Układy oporników spotykane w zadaniach są często zagmatwane. Aby obliczyć opór takiego układu, staramy się narysować go w prostszy sposób, ustalając, które oporniki są połączone szeregowo a które równolegle. Układ oporników można oczywiście przekształcać tylko w taki sposób, aby natężenia prądów płynących przez poszczególne oporniki nie uległy zmianie.

Najczęściej stosowane są dwa sposoby:

• punkty o tym samym potencjale można połączyć,

• pojedynczy opornik można zastąpić dwoma opornikami, które następnie można rozłączyć.

Przy analizie połączeń oporników należy zwracać uwagę na symetrię układu, która ułatwia np. dostrzeżenie punktów o tym samym potencjale.

Łączenie źródeł napięcia

Podstawowe sposoby połączenia
źródeł napięcia o sile elektromotorycznej
i oporności wewnętrznej
w baterię to połączenie szeregowe i połączenie równoległe.

W przypadku połączenia szeregowego siła elektromotoryczna baterii jest sumą sił elektromotorycznych źródeł, opór wewnętrzny baterii jest sumą oporów wewnętrznych źródeł

.

W przypadku połączenia równoległego siła elektromotoryczna baterii jest równa sile elektromotorycznej pojedynczego źródła, opór wewnętrzny baterii wynika z połączenia równoległego oporów wewnętrznych źródeł

.

Maksymalna moc, jaką można uzyskać w obwodzie zewnętrznym dołączonym do baterii jest niezależna od sposobu połączenia źródeł w baterię

.

---