Wykład 6

Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne.

Przypominamy, że zbiór nazywamy przeliczalnym, jeśli jest on równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych
, a co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on przeliczalny lub skończony.

Podamy najpierw definicję przestrzeni metrycznej ośrodkowej i omówimy kilka z jej własności.

Definicja 65 (przestrzeni ośrodkowej)

Przestrzeń metryczną
nazywamy ośrodkową, jeśli istnieje zbiór co najwyżej przeliczalny i gęsty w tej przestrzeni, tj. istnieje zbiór
taki, że
jest co najwyżej przeliczalny i
.

Zbiór,
o którym mowa w definicji 65, nazywa się często ośrodkiem przestrzeni
.

Przykład 66 (przestrzeni ośrodkowej)

Przestrzeń euklidesowa
jest ośrodkowa, gdyż przyjmując
łatwo widać, że
jest zbiorem przeliczalnym i ponadto
.

Twierdzenie 67

Obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową.

Dowód

Niech
będzie przestrzenią metryczną ośrodkową, a
dowolną przestrzenią metryczną i niech
będzie dowolną funkcją ciągłą. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że
, tj. że funkcja
odwzorowuje przestrzeń
na
. Wybierzmy jakiś, co najwyżej przeliczalny zbiór
gęsty w przestrzeni
. Oczywiście
jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym w przestrzeni
jako, że jest to obraz zbioru co najwyżej przeliczalnego
. Zostało wykazać, że
jest zbiorem gęstym w przestrzeni
. Zgodnie z twierdzeniem 51 (a) wystarczy pokazać, że biorąc dowolny niepusty zbiór
otwarty w przestrzeni
zbiór
jest niepusty. Weźmy zatem dowolny niepusty zbiór
otwarty w przestrzeni
. Zbiór
jest otwarty w
, gdyż funkcja
jest ciągła (zob. twierdzenie 55 (a)) i niepusty w
, gdyż
jest odwzorowaniem „na”. Ponieważ zaś
jest gęsty w przestrzeni
, więc (zob. twierdzenie 51 (a)) zbiór
jest niepusty. Weźmy
. Mamy
, a to pokazuje, że zbiór
jest niepusty. Zbiór
jest zatem zbiorem co najwyżej przeliczalnym i gęstym w przestrzeni Y, a to oznacza, że przestrzeń
jest ośrodkowa.

Twierdzenie 68

Jeżeli w przestrzeni metrycznej
istnieje nieprzeliczalny zbiór
o tej własności, że dla dowolnych
takich, że
mamy
, gdzie
jest pewną liczbą dodatnią, to przestrzeń ta nie jest ośrodkowa.

Dowód

Przypuśmy wbrew tezie, że przestrzeń
jest ośrodkowa. Niech
będzie zbiorem co najwyżej przeliczalnym i gęstym w tej przestrzeni, a
zbiorem nieprzeliczalnym o własności wspomnianej w założeniu twierdzenia. Rozważmy rodzinę zbiorów
. Zauważmy, że zbiory tej rodziny są parami rozłączne. Istotnie gdyby tak nie było, to
dla pewnych
. Wówczas istniałby punkt
taki, że
i
lub równoważnie
i
. Stąd zaś, biorąc pod uwagę nierówność trójkąta dla
dostalibyśmy:
, co jest jednak niemożliwe, gdyż na mocy założenia
dla wszystkich
.

Weźmy dowolny element rodziny
, tj. kulę
- jednoznacznie wyznaczony element
. Na mocy twierdzenia 51 (a)
, a stąd istnieje
taki, że
. A ponieważ rodzina
składa się z różnych elementów, to tym samym istnieje różnowartościowa funkcja
, która każdemu elementowi
przyporządkowuje punkt
. To jest jednak niemożliwe, gdyż to by oznaczało, że nieprzeliczalny zbiór
jest podzbiorem zbioru co najwyżej przeliczalnego
. Przestrzeń
nie jest zatem przestrzenią ośrodkową.

Łatwo teraz podać przykład przestrzeni, która nie jest przestrzenią ośrodkową.

Przykład 69 (przestrzeni nie ośrodkowej)

Korzystając z twierdzenia 68 widzimy, że przestrzeń dyskretna
nie jest ośrodkowa. Istotnie, biorąc
widzimy, że
jest zbiorem nieprzeliczalnym i że dla dowolnych
takich, że
mamy
.

Przejdziemy teraz do zdefiniowania i podania kilku własności kolejnej klasy ważnej klasy przestrzeni metrycznych, a mianowicie przestrzeni metrycznych zupełnych.

Definicja 70 (przestrzeni zupełnej)

Przestrzeń metryczną
nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg
elementów tej przestrzeni spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny (do punktu tej przestrzeni), tj. istnieje punkt
taki, że
.

Przykład 71 (przestrzeni zupełnej)

Z twierdzenia 23 bezposrednio otrzymujemy, że każda przestrzeń euklidesowa
jest zupełna.

Podamy teraz dwa ważne w zastosowaniach twierdzenia, dotyczące przestrzeni metrycznych zupełnych.

Twierdzenie 72 (Cantora)

W przestrzeni metrycznej zupełnej zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych, których średnice tworzą ciąg zbieżny do zera, posiada dokładnie jeden punkt wspólny.

Dowód

Niech
będzie przestrzenią metryczną zupełną i
dowolnym ciągiem zstępującym niepustych zbiorów domkniętych, których średnice tworzą ciąg zbieżny do zera. Dla każdej liczby naturalnej
niech
będzie wybranym elementem zbioru
. Pokażemy, że utworzony w ten sposób ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego. Niech
będzie dowolną liczbą dodatnią. Ponieważ
, więc istnieje
takie, że
dla
. Biorąc teraz
takie, że
mamy

i
,

skąd
. Ciąg
spełnia więc warunek Cauchy'ego, a ponieważ przestrzeń
jest zupełna, to ciąg ten jest zbieżny do pewnego elementu
. Ustalmy
. Dla
mamy
, a ponieważ
, to na mocy twierdzenia 38 (a)
. Ponieważ zaś zbiór
jest domknięty, więc
. Pokazaliśmy zatem, że
dla wszystkich
, tj.
. Zbiór
jest zatem niepusty.

Łatwo teraz pokazać, że
składa się z dokładnie jednego punktu. Istotnie, gdyby istniały dwa różne punkty
i
należące do
, to biorąc dowolne
dostalibyśmy
, co przeczy warunkowi
.

Twierdzenie 73 (Baire'a)

Jeżeli
jest przestrzenią metryczną zupełną, to:

(a) iloczyn przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych i gęstych w
jest zbiorem gęstym w
.

(b) suma przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych i brzegowych w
jest zbiorem brzegowym w
.

Dowód

(a) Niech
będą zbiorami otwartymi i gęstymi w przestrzeni
. Musimy pokazać, że zbiór
jest gęsty w przestrzeni
. Weźmy dowolny niepusty zbiór otwarty
w
. Ponieważ zbiór
jest niepusty (gdyż
jest gęsty - zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz uwaga 33 (d)), więc znajdziemy niepusty zbiór otwarty
o średnicy mniejszej niż
taki, że
. I dalej, ponieważ zbiór
jest niepusty (gdyż
jest gęsty - zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz uwaga 33 (d)), więc znajdziemy niepusty zbiór otwarty
o średnicy mniejszej niż
taki, że
. Postępując tak dalej i biorąc niepusty zbiór otwarty
znajdziemy niepusty zbiór otwarty
o średnicy mniejszej niż
taki, że
. A zatem istnieje ciąg
niepustych zbiorów otwartych taki, że

i
dla

Niech
. Ponieważ zbiory
są niepuste (gdyż
są niepuste), domknięte (zob. uwaga 28 (c)), o średnicach tworzących ciąg zbieżny do zera (gdyż
) oraz zstępujące (gdyż
,
), więc na mocy twierdzenia Cantora (zob. twierdzenie 72) zbiór
jest jednopunktowy, skąd niepusty. Dostajemy zatem

,

i po skorzystaniu z twierdzenie 51 (a), zbiór
jest gęsty w
.

(b) Niech
będą zbiorami domkniętymi i brzegowymi w przestrzeni
. Musimy pokazać, że zbiór
jest brzegowy w przestrzeni
. Rozważmy zbiory:
Oczywiście są one otwarte (jako dopełnienia zbiorów domkniętych) i gęste w przestrzeni
, gdyż

, dla

(zob. twierdzenie 31).

Korzystając teraz z (a) zbiór
jest gęsty w
, a stąd

,

co wobec definicji 35 zbioru brzegowego pokazuje, że
jest zbiorem brzegowym w przestrzeni
.

Definicja 74 (zbiorów typu
i
)

Zbiór, który można przedstawić w postaci sumy przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych, nazywamy zbiorem typu
, a zbiór który można przedstawić w postaci iloczynu przeliczalnej ilości zbiorów otwartych, nazywamy zbiorem typu
.

Przykład 75 (zbiory typu
i
)

(a) Łatwo zauważyć, że każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej
postaci
,
,
lub
, gdzie
i
, jest zarówno zbiorem typu
jaki i
.

(b) Pokażemy, że zbiór liczb wymiernych
jest zbiorem typu
, a zbiór liczb niewymiernych
jest zbiorem typu
, jeśli zbiory te rozpatrywane są jako podzbiory przestrzeni euklidesowej
. Ponieważ zbiór liczb wymiernych
jest zbiorem przeliczalnym, więc ustawiając go w ciąg
dostajemy
. A ponieważ każdy ze zbiorów
jest domknięty (gdyż jest jednopunktowy), to zbiór liczb wymiernych
jest zbiorem typu
. I dalej, ponieważ
i zbiory
są otwarte, to zbiór liczb niewymiernych
jest zbiorem typu
.

(c) Wykorzystujac twierdzenie Baire'a można pokazać, że zbiór liczb niewymiernych
nie jest zbiorem typu
(a stąd, że zbiór liczb wymiernych
nie jest zbiorem typu
). Istotnie, gdyby zbiór liczb niewymiernych
był zbiorem typu
, to byłby sumą przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych, z których każdy byłby tak naprawdę zbiorem brzegowym, gdyż sam zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem brzegowym. Ponieważ zaś zbiór liczb wymiernych jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów jednopunktowych, czyli domniętych i brzegowych, więc cała przestrzeń zupełna
(zob. przykład 71) dałaby się przedstawić jako suma przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych i brzegowych. Zgodnie z twierdzeniem Baire'a (zob. twierdzenie 73), byłaby ona zbiorem brzegowym, tj.
, a wiemy, że tak nie jest. A zatem zbiór liczb niewymiernych
nie jest zbiorem typu
, i co za tym idzie, zbiór liczb wymiernych
nie jest zbiorem typu
.

Kolejne twierdzenia podają pewne cechy, które charakteryzują przestrzenie metryczne zupełne i ich podzbiory.

Twierdzenie 76

Jeżeli
jest przestrzenią metryczną zupełną, to każdy jej domknięty podzbiór
też stanowi przestrzeń metryczną zupełną.

Dowód

Musimy pokazać, że przestrzeń metryczna
jest zupełna, tj., że każdy ciąg punktów tej przestrzeni spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny (do punktu tej przestrzeni). Weźmy zatem dowolny ciąg
punktów przestrzeni
spełniający warunek Cauchy'ego. Oczywiście ciąg ten spełnia również warunek Cauchy'ego w przestrzeni „szerszej”, tj. w przestrzeni
, a ponieważ jest to przestrzeń zupełna, więc istnieje
taki, że
. Korzystając z twierdzenia 38 (a)
, a ponieważ zbiór
jest domknięty, więc
.

Twierdzenie 77

Niech
będzie dowolną przestrzenią metryczną, a
jej podprzestrzenią. Jeżeli
jest przestrzenią zupełną, to
jest zbiorem domkniętym w
.

Dowód

Musimy pokazać, że
jest domknietym podzbiorem przestrzeni
, co wobec uwagi 28 (a) sprowadza się do pokazania, że
. Weźmy zatem dowolny
. Na mocy twierdzenia 38 (a) istnieje ciąg
punktów przestrzeni
taki, że
. Ponieważ ciąg ten jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego, a ponieważ przestrzeń metryczna
jest zupełna, więc jest on zbieżny do pewnego punktu zbioru
, tj.
dla pewnego
. Z jednoznaczności granicy w przestrzeni metrycznej
(zob. twierdzenie 17 (b)) wnosimy teraz, że
, a ponieważ
, to i
. Inkluzja
zatem zachodzi, tj. zbiór
jest domknięty w
.

Wniosek 78

Jeżeli
jest przestrzenią metryczną zupełną i
, to przestrzeń
jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy
jest domkniętym podzbiorem przestrzeni
.

Dowód

Wynika bezpośrednio z twierdzeń 76 i 77.

Uwaga 79

Uwzględniając wniosek 78 i przykład 71 dostajemy: podzbiór
przestrzeni euklidesowej
stanowi przestrzeń metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy
jest domkniętym podzbiorem tej przestrzeni.

Podamy teraz definicję odwzorowania zwężającego i punktu stałego, a po niej sformułujemy bardzo ważne w zastosowaniach twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

Definicja 80 (odwzorowania zwężającego i punktu stałego)

Funkcję
, gdzie
i
są przestrzeniami metrycznymi, nazywamy odwzorowaniem zwężającym, jeśli istnieje liczba
taka, że dla dowolnych punktów
spełniona jest nierówność

.

Punkt
jest punktem stałym przekształcenia
, jeśli
.

Na koniec podamy bez dowodu (dowód można znaleźć w wielu pozycjach do analizy) jeszcze jedno bardzo ważne w zastosowaniach twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

Twierdzenie 81 (Banacha o punkcie stałym)

Jeżeli przestrzeń metryczna
jest zupełna i
jest odwzorowaniem zwężajacym, to
ma dokładnie jeden punkt stały.

1

---