Teoria pola elektromagnetycznego

Skrypt do wykładu

Prof. dr hab. inż. Romuald Nowicki

Redakcja komputerowa: Hanna Ćwikła

Przy współpracy Zespołu w składzie: Łukasz Boniewicz, Paweł Borek, Krzysztof Bulwiński, Michał Chojaczyk, Marta Fornalik, Jakub Janiak, Krzysztof Janusz, Marek Jarycki, Jakub Jaszcz, Piotr Sydor, Marcin Szota

Spis treści

1. Podstawowe pojęcia i równania teorii pola elektromagnetycznego

1.1. Równania Maxwella

Równania Maxwella stanowią opis matematyczny praw doświadczalnych, uzupełniony hipotezą o prądzie przesunięciowym.

Są słuszne w zakresie zjawisk makroskopowych. W mikroświecie rządzą prawa elektrodynamiki kwantowej - makroskopowe równania Maxwella stanowią tylko pewne uśrednienie zjawisk elektrycznych w obrębie mikroświata. Ograniczymy się tylko do rozpatrywania zjawisk elektromagnetycznych w ośrodkach nieruchomych lub wolno poruszających się (v<<c). Ogólnie rozwiązania w poruszających się ośrodkach - teoria względności.

	- twierdzenie Gaussa, źródłem pola elektrycznego są ładunki
	- pola magnetyczne nie posiada źródeł - linie pola są liniami zamkniętymi
	- zasada indukcji elektromagnetycznej Faraday'a. Pole elektryczne może być wytworzone przez zmienne pole magnetyczne. Pole to jest wirowe.
	- uogólnione prawo przepływu

Uzupełnieniem jest równanie ciągłości:

Wielkości pola i związki

		- natężenie pola elektrycznego
		- wektor indukcji elektrycznej
		- wektor natężenia pola magnetycznego
		- wektor indukcji magnetycznej

Wektory
i
określone są przez oddziaływanie pola na ładunki elektryczne.

	w polu magnetycznym ładunek doznaje działania siły tylko wówczas, gdy się porusza względem pola.
	podstawa kinetyki ładunków

Wektory
i
- stosowane w obecności ośrodków materialnych.

w próżni

Dalsze definicje

Gęstość prądu wiąże się z ruchem ładunków:

- średnia prędkość dryftu (rzędu ~10^-3 [m/s] , prędkość termiczna ~10⁶ [m/s])

Postać różniczkowa równań pola elektromagnetycznego

1).	, więc ⇒
2).
3).
4).

Zestawienie:

1).
2).
3).
4).

Uzupełnieniem jest równanie ciągłości:

Przebiegi harmoniczne

W praktyce bardzo często wielkości rozbudowujące (prądy, napięcia) zmieniają się harmonicznie w czasie. W ośrodkach liniowych zmieniają się wówczas harmonicznie wszystkie wielkości polowe.

Będziemy stosować zespolony zapis:

Np.

Jest, więc
i zapis równań Maxwella będzie uproszczony.

1.2. Właściwości ośrodków i warunki brzegowe

Wpływ ciał materialnych na pole określają wektory
i
. Cząstki materialne są jako całość elektrycznie obojętne. Rozkład ładunków i ruchy ładunków powodują zjawiska elektryczne.

Moment elektryczny

Dla układu ładunków:

Dobór punktu odniesienia jest dowolny:

Wektor polaryzacji

- moment elektryczny jednostki objętości

Wektor indukcji elektrycznej

- podstawowa definicja, słuszna ogólnie

dla dowolnego ośrodka

W ośrodkach liniowych

dla próżni

Wektor natężenia pola magnetycznego

Opisuje wpływ ciał materialnych na pole magnetyczne.

- moment magnetyczny płaskiego obwodu.

Wektor namagnesowania

lub

Jest to definicja ogólna dla dowolnego ośrodka.

W ośrodkach liniowych:

- dla próżni μ=μ₀=4π 10^-7 [
]

Lokalna postać prawa Ohma

W wielu ośrodkach materialnych, o właściwościach liniowych jest:

- przy braku sił przyłożonych

W obecności sił przyłożonych trzeba uzupełnić:

- wektor elektromotoryczny (poruszający ładunki,

nieelektryczny)

Dla metali przewodnictwo właściwe σ jest bardzo duże, rzędu

Rodzaje ośrodków

Ośrodki liniowe:

Ośrodki nieliniowe (skalarnie) - np.

Wówczas zwykle można wyrazić:

Ośrodki anizotropowe (liniowe)

w skrócie
lub

- tensor

Zwykle np. w kryształach, tensor
jest symetryczny

Ośrodki żyromagnetyczne (ferryty):

Np. pole magnetyczne
wzdłuż osi OZ. Wówczas dla składowych zmiennych (w wyniku efektu żyroskopowego precesji)

Wprowadzając tensor

Można napisać

- jest tensorem antysymetrycznym,

Podobne właściwości ma silnie zjonizowany gaz (plazma).

Wprowadza się antysymetryczne tensory
i
.

Wpływ ośrodków materialnych - interpretacja fizyczna

Wyeliminowaliśmy	w próżni

- rozkład przestrzenny polaryzacji jako „ładunek związany”.

- zmiany w czasie polaryzacji jako „prąd przesunięciowo-polaryzacyjny”

- rozkład przestrzenny magnetyzacji jako „prąd niedomagnesowany”

Ośrodki ruchome

Ruchomy przewodnik zamknięty porusza się z prędkością
względem pola
.

- pole w systemie ruchomym

Musimy liczyć różniczkę zupełną:

bo

lub

	- pole mierzone w systemie nieruchomych,
ładunki są przesuwane przez pole	wektor elektromotoryczny siły Lorentza

Ruchomy dielektryk

Trzeba uwzględnić prąd konwekcyjny ładunków swobodnych i związanych:

oraz całkowite zmiany wektora polaryzacji:

- ruchomy dielektryk wykazuje moment magnetyczny

Ruchomy ośrodek magnetyczny

Można poprawnie opisać jedynie wzorami relatywistycznymi.

1.3. Pola na granicy rozdziału ośrodków

Warunki brzegowe podają, jak zachowują się wektory pola elektromagnetycznego przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego.

Niech , obszary stają się zewnętrznymi i całka znika

dowolne, więc

Analogicznie:

Dla składowych stycznych:

Niech

dla h → 0; gdy istnieje prąd powierzchniowy

Zapis wektorowy:

Doskonałe przewodniki

Gdy założymy
prąd popłynie przy

Np.

woda morska

miedź

Definicja doskonałego przewodnika:

skończone,

wewnątrz doskonałego przewodnika.

Głębokość wnikania dla prądów przewodnika przy
, więc również
.

Wnioski:

1). Pole elektryczne jest prostopadłe do powierzchni doskonałego przewodnika
.

2). Pole magnetyczne jest styczne do powierzchni doskonałego przewodnika

1.4. Energia pola elektromagnetycznego

Policzmy bilans napięć pola elektromagnetycznego, zawartego w objętości V, ograniczonej zamkniętą i nieruchomą powierzchnią A.

Korzystając z tego, że div(
x
) =
rot
-
rot

Całkując po objętości:

div(
x
)dV =
div(
x
)d
=

= -

Dla ośrodków liniowych:

E² +
H² )dV = -
x
)d
-

Wektor Poytinga

[
]

Np.

Twierdzenie Poytinga nie zadaje wektora
jednoznacznie!

Np. Niech

taki wektor, że div
=0

otrzymujemy ten sam strumień mocy przez powierzchnię. Przyjście
x
jest najprostszą formą.

2. Rodzaje zjawisk elektromagnetycznych

2.1 Elektrostatyka i magnetostatyka

Stacjonarne pole elektryczne

więc
pole jest bezwirowe

Znak (-) dotyczy umowy co do kierunku wektora
(od ładunków dodatnich do ujemnych)

- w dowolnym ośrodku liniowym

W ośrodku jednorodnym - ε = const., grad ε = 0

- równanie Poissona

w obszarze bez ładunków przestrzennych: ρ = 0

- równanie Laplace'a

Ogólne rozwiązanie równania Poissona dla ośrodków jednorodnych (ε = const.) ma postać:

Warunki brzegowe - na powierzchni przewodników

wewnątrz przewodnika

Pole magnetyczne prądu stałego

, lecz pole jest niezmienne w czasie(
)

Niech:

- potencjał wektorowy pola magnetycznego [
]=

- potencjał wektorowy spełnia tożsamościowo

równanie dywergencji

Dla ośrodków jednorodnych - μ = const.

Definicja
nie wyznacza pola wektorowego
jednoznacznie:

Niech
φ - dowolna funkcja skalarna

Więc potencjał
jest równie „dobry” - daje to samo pole
.

Możemy, więc przyjąć dodatkowy warunek dla potencjału
.

Niech:
- tzw. wycechowanie Coulomba (stacjonarne)

Warunek ten oznacza,że wśród dowolnych funkcji φ wybieramy te, które spełniają:

Warunek wycechowania wyznacza równanie dla potencjału:

- jest to skrócony zapis trzech równań
itd.

Ogólne rozwiązanie ma postać:

- dla pól stacjonarnych! (stałych w czasie)

2.2. Stacjonarne i kwazistacjonarne pola elektromagnetyczne

Prawa Kirchoffa

Przebiegi stacjonarne -

„generator”

całkujemy po drodze zamkniętej ε = IR

Dla zamkniętego oczka w obwodzie:

Dowolne przebiegi czasowe -

Pole
nie jest już bezwirowe:

przy φB =LI	S - powierzchnia rozpięta na zamkniętym obwodzie A - powierzchnia przekroju przewodów

Niestacjonarną część pola reprezentują w równaniach Kirchoffa człony typu:

lub

Postępowanie takie jest uzasadnione, gdy są spełnione warunki kwazistacjonarności -

1. Faza napięć i prądów w całym obwodzie jest taka sama:

l<<λ , gdzie l - liniowe wymiary obwodów

2. Można zaniedbać prądy przesunięciowe:
   

Teoria obwodów - zakłada warunki 1 i 2

Teoria linii długich - zakłada tylko warunek 2

2.3. Równania Maxwella w postaci zespolonej dla przebiegów harmonicznych

Obliczanie pochodnej po czasie -

więc,

- dla przebiegów harmonicznych

Obliczanie wartości rzeczywistej -

Przykłady:

(t) = Re(
е^jωt) =
(
е^jωt +
^*е-^jωt)

(t) = Re(
е^jωt) =
(
е^jωt +
^*е-^jωt)

- równanie dla rzeczywistych przebiegów

Równanie to musi być spełnione dla dowolnego czasu, różne czynniki przy nawiasach, musi więc być:

Jest to jeden i ten sam warunek, ze względu na:

gdy jest spełniony pierwszy, to jednocześnie jest spełniony drugi.

Równanie dla rzeczywistych przebiegów chwilowych

przybierze dla przebiegów harmonicznych, w zapisie zespolonym, postać:

	__→
	__→
	__→
	__→
	__→

Powyższe równania dotyczą zespolonych amplitud, znika jawna zależność od czasu - czynnik е^jωt.

Zespolone przenikalności

Podstawowe definicje
i
wiążą się ze stanem polaryzacji:

Dla ośrodków liniowych:

W przypadku pól zmiennych - zjawiska polaryzacji wykazują pewną bezwładność, będą się opóźniać w stosunku do zmian pola. Opóźnienia te zależą od właściwości danego ośrodka, będą pewną funkcją częstotliwości. Oprócz opóźnienia - maleją również amplitudy ruchów cząsteczek - zmieniają się również wielkości
i
.

Występowanie opóźnienia w zjawiskach polaryzacji opiszemy wprowadzając zapis zespolony dla podatności:

Jest, więc:

Przy zespolonych podatnościach również przenikalności będą liczbami zespolonymi:

Na wykresie wskazowym:

Możemy, więc zapisać:

Uwaga: zarówno moduły jak i argumenty przenikalności ε i μ są funkcjami częstotliwości charakterystycznymi dla danego ośrodka.

Przewodnictwo właściwe

Bezwładność ładunków może powodować zespolony charakter przewodnictwa właściwego σ w gazach zjonizowanych lub elektrolitach:
,
.

W metalach nośnikami prądu są elektrony - bardzo mała bezwładność - opróżnienia fazowe występują przy częstotliwościach optycznych.

W zakresie radiowym będziemy, więc przyjmować, że σ jest rzeczywiste i równe przewodnictwu właściwemu dla prądu stałego.

Mieliśmy wzór, gdy na gęstość mocy strat:

Przy obecności prądu przesunięciowego występują ruchy ładunków - prąd polaryzacyjny. Musimy uwzględnić go przy obliczani strat.

- dla przebiegów harmonicznych

Co oznaczają poszczególne wyrazy?

W prądzie przesunięciowym wyróżniliśmy prąd polaryzacyjny:

„zwykły” ruch ładunków

Dla przebiegów harmonicznych:

Składowa:

jest w fazie z natężeniem pola elektrycznego
elektrycznego powoduje straty.

Składowa reaktancyjna:

przesunięta w fazie o
- nie powoduje strat.

Straty te są większe, im większe jest
, tzn. im większy jest kąt δ_e - kąt stratności.

Wprowadza się pojęcie tangensa kąta strat.

Zupełnie podobnie można postąpić w przypadku ośrodków magnetycznych i wprowadzić:

Przenikalność skuteczna

Rozwiążemy równanie:

Dla ośrodka nieprzewodzącego σ = 0

Pierwsze równanie można upodobnić do drugiego

Wprowadzimy pojęcie przenikalności skutecznej

lub

Otrzymamy więc:

3. Fale elektromagnetyczne

3.1. Równanie falowe dla obszaru bez źródeł

Zakładamy ośrodek jednorodny:
,
,
,

oraz brak źródeł pola (brak sił przyłożonych) - brak źródeł

, lecz

gdzie:
, oraz
;

oznacza to więc (w ośrodku jednorodnym):

Równania Maxwella:

I III II IV

Z II mamy:

Podstawiamy do IV:

gdzie:
, natomiast z I mamy:
, zatem

lub

Jest to równanie falowe Helmholtza

Dlaczego falowe - rozpoznamy później.

Współczynnik

nazywa się stałą rozchodzenia (lub propagacji).

Inaczej:

Równanie falowe ma zatem postać:

Podobnie, wychodząc z IV i podstawiając do II :

Stała rozprzestrzeniania:

, gdzie:

stąd:

- są to dwa zespolone pierwiastki

Wybieramy ten pierwiastek, którego części Re i Im są dodatnie

Zapiszemy :

- stała tłumienia

- stała fazowa

Re(
)=

Im(
)=

Stąd zakładając ośrodek nieferromagnetyczny mamy:

Zatem otrzymuje się:

Wzory te można zapisać jako:

FALE PŁASKIE

3.2. Jednorodna fala płaska

Dany jest nieskończenie rozległy jednorodny i izotropowy ośrodek:

,
,

Równania falowe:

,

są to równania dla części składowych E_x, E_y, E_z , H_x, H_y, H_z o tej samej postaci:

, U=U(x,y,z)

zastosujemy metodę rozdziału zmiennych (w oparciu o twierdzenie o jednoznaczności).

Niech:

U=U(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)

itd.

oraz:
,
=
,
=

Rozwiązanie takiego równania ma postać:

Stałe:
są liczbami zespolonymi (
- jest zespolone)

Niech:

Znaki dla
i
można wybrać tak, że uwzględnia się przypadek
lub

Rozpatrzmy przypadek

U= XYZ = A


=

= A

= A

Wprowadzimy wektory :

oraz:

wówczas mamy:

Jest więc:

U=A

Dopiszemy człon czasowy:

- jest to ogólny zapis fali płaskiej

Amplitudę przebiegu opisuje człon

Amplituda fali = const. gdy
=const.

Warunek
=const. jest spełniony dla punktów leżących na płaszczyźnie prostopadłej do wektora
.

Fazę przebiegu opisuje człon

Faza fali jest stała, gdy:

W ustalonej chwili t₀ faza jest stała na powierzchni

Faza jest stała w punktach płaszczyzny, prostopadłej do wektora
.

Klasyfikacja fal -

Stosownie do kształtu powierzchni ekwifazowej -

fala płaska

Gdy płaszczyzna ekwifazowa pokrywa się z płaszczyzną jednakowej amplitudy:

jednorodna fala płaska

3.3. Parametry propagacyjne jednorodnej fali płaskiej

Fala jednorodna:

Niech w kierunku
i
biegnie oś
i wektor

Płaszczyzny równej fazy i amplitudy są prostopadłe do
- są to płaszczyzny
=const.

Utworzymy wektor falowy :

Dla fali jednorodnej mamy:

bo

Obecnie jest:

i

Zapis fali -

- jednorodna fala płaska (j. f. p.)

Można także zapisać tak:

lecz:

Faza fali jest równa:

Ω=

stała faza:

Ω=
=const.
gdy

Fala rozchodzi się w kierunku osi
, tj w kierunku wskazywanym przez wektor falowy
(wektor
).

A więc :
fala rozchodzi się w kierunku

Ruch płaszczyzny ekwifazowej - stała faza, więc :

stąd prędkość fazowa:

Obliczymy długość fali:

Jest to odcinek, po przejściu którego napotkamy w ustalonej chwili t=const, tę samą fazę fali.

Będzie to odcinek odpowiadający zamianie fazy o 2π

Ω=
,

upraszczając to

Jeżeli też:

Ze wzrostem
amplituda fali zmienia się wykładniczo:

wtedy w miarę rozchodzenia się fala jest tłumiona wykładniczo; α - stała tłumienia

Głębokość wnikania:

Jest to odległość, po przejściu której amplituda fali maleje do
swojej wartości początkowej (maleje e-krotnie).

3.4. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w bezstratnym dielektryku

,
,

zatem z powyższego:

- wielkość rzeczywista

- wielkość rzeczywista

- wielkość rzeczywista

- wielkość rzeczywista

- wielkość urojona

, jest więc

α = 0 - w bezstratnym dielektryku fala płaska rozchodzi się bez tłumienia.

Próżnia

,
,

Prędkość falowa:

Po podstawieniu:

,

Prędkość rozchodzenia się elektromagnetycznych fal płaskich w próżni jest równa prędkości światła.

Długość fali:

W dielektrykach:

stąd:

3.5. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w dielektrykach stratnych

,
,
(
- ośrodek nieferromagnetyczny)

,

W miarę wzrostu strat ośrodka (w miarę wzrostu
) prędkość fazowa
oraz długość fali λ maleją.

gdy
= 0, wtedy α = 0

obecnie

W miarę wzrostu strat ośrodka (w miarę wzrostu
) tłumienie fali rośnie.

3.6. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w dobrym przewodniku

Podstawową rolę odgrywa przewodnictwo ośrodka σ - można pominąć straty związane z
. Przyjmijmy ośrodek nieferromagnetyczny:

,
,

gdy σ = 0 - wzory przechodzą we wzory dla bezstratnego dielektryka :
,

Dobry przewodnik - termin umowny:

W zależności od częstotliwości ten sam ośrodek może mieć cechy ośrodka dielektrycznego lub „dobrego” przewodnika.

Przewodniki metaliczne, aż do najwyższych częstotliwości radiowych mają właściwości dobrych przewodników.

Prędkość fazowa

V_f

czyli: V_f << c

Długość fali

,
,
,

Głębokość wnikania

, ale
,
,

W dobrym przewodniku występuje bardzo silne tłumienie fali.

Na odcinku

:

Znaczenie - zwłaszcza w mikrofalach - ścianki falowodów.

3.7. Struktura jednorodnej fali płaskiej

Jednorodny ośrodek bez źródeł:

Równania falowe:

Fala płaska:

gdzie:
- jednorodna fala płaska

Obliczanie pochodnych:
itd.

Więc:

,
,

- impedancja falowa ośrodka

Dla próżni:

Jest więc:

,

Drugie równanie rotacyjne:

Obydwa wzory są równoważne:

,

ze wzoru


,
,

c.b.d.o.

Podobnie ze wzoru

(można to też otrzymać ze wzorów impedancyjnych, mnożąc je skalarnie przez
)

,

Wnioski

Jednorodna fala płaska jest falą poprzeczną - wektory
i
są prostopadłe do kierunku propagacji
.

Układ wektorów:

Stosunki ilościowe:

Obliczając moduł obu stron:

W ośrodku bezstratnym
jest liczbą rzeczywistą

Transport energii przez jednorodną falę płaską

Ograniczymy się do ośrodka bez strat

- wielkość rzeczywista

- wielkość rzeczywista

Gęstość energii pola elektrycznego -

Gęstość energii pola magnetycznego -

Gęstość strumienia mocy -

W ośrodku liniowym:

Ze związku impedancyjnego:

Stąd

W przypadku ośrodka bez strat energia jednorodnej fali płaskiej rozkłada się po połowie na energię elektryczną i magnetyczną.

i

Strumień mocy (wektor
) otrzymuje się w wyniku ruchu energii o gęstości w z prędkością
.

Obliczymy wartość średnią strumienia mocy:

Stąd

i

lub

Polaryzacja fali elektromagnetycznej.

Niech pole elektryczne ma dwie składowe: z=0

- wartości chwilowe pól.

1. Gdy
   (pola zgodne w fazie)

(linia prosta, polaryzacja liniowa)

2. Gdy
   ,
   

- równanie okręgu, polaryzacja kołowa.

- polaryzacja lewoskrętna

- polaryzacja prawoskrętna

3.8. Odbicie i załamanie jednorodnej fali płaskiej na płaskiej granicy dwóch różnych ośrodków.

Przyjmujemy, że:

1. granica rozdziału jest nieruchoma

2. ośrodek 1 jest ośrodkiem bezstratnym

3. fala padająca jest jednorodną falą płaską

Teoria i doświadczenia wskazują na to, że obok fali wnikającej pojawia się również fala odbita.

Wersory
wyznaczają kierunki rozchodzenia się fal.

Płaszczyzna padania - płaszczyzna wyznaczana przez wersor fali padającej
i normalną do granicy rozdziału.

Na granicy ośrodków fale p, r i w muszą spełniać warunki brzegowe:

Doświadczenie wskazuje na to, że fala odbita i wnikająca też jest falą płaską. Zapiszemy więc dla pola elektrycznego.

Fala padająca

Fala odbita

Fala wnikająca

Warunek brzegowy:
dla z=0

Warunek ten musi być spełniony dla dowolnego momentu t i dla dowolnych punktów x,y.

Równanie to może być spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy:

W przypadku nieruchomej granicy rozdziału częstotliwości fali nie zmienia się przy odbiciu lub po przejściu przez granicę.

W przypadku granicy ruchomej częstotliwość może się zmieniać - efekt Dopplera.

W analogiczny sposób jak dla czasu możemy wykazać również dla x lub y (z=0, x ustalone, dowolne y; y ustalone, x - dowolne):

W ogólnym przypadku wektor falowy
jest sumą dwóch wektorów. Dla fali jednorodnej jest jednak
.

Dla fali padającej w ośrodku (1) jest więc

Obliczymy składowe:

Stąd dla fali odbitej

Mieliśmy ogólną zależność

Fala odbita - w ośrodku (1), więc

Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki - z rysunku wynika, że dla fali odbitej musimy przyjąć (-).

Wnioski:

1. wektor falowy
   leży w płaszczyźnie xz (płaszczyzna padania)

2. wersor
   ma składowe

Porównując wzory na składowe

widać, że

3. Jest
   

Fala odbita jest więc określona jednym wektorem.

Fala odbita jest jednorodną falą płaską.

Dla fali wnikającej było:

Wektor
nie ma składowej y - leży więc w płaszczyźnie xz, czyli w płaszczyźnie padania.

Tak więc:

Kierunki rozchodzenia się fali padającej, odbitej i wnikającej leżą w jednej płaszczyźnie - w płaszczyźnie padania.

Otrzymane wyniki nie zależą od ośrodka (2). Obecnie rozpatrzymy dalsze właściwości, zależne już od rodzaju ośrodka.

3.9. Odbicie i załamanie jednorodnej fali płaskiej na granicy dwóch różnych dielektryków

,

Fala wnikająca jest falą jednorodną

Jest więc Z rysunku

Stąd

Po podstawieniu

W praktyce bezstratne dielektryki są niemagnetyczne:

- prawo Snella

- względny współczynnik załamania ośrodka 2 względem 1

Uwaga -
bo
zależy od częstotliwości

(ośrodek 2 jest „gęstszy” niż ośrodek 1) wówczas
>1 i dla dowolnego kąta padania
jest

Gdy
(ośrodek jest „ rzadszy”), to
<1 wtedy

Kąt graniczny

gdy

,
stąd

Kąt padania

Dla kątów
musi być
- nie jest to możliwe w zakresie liczb rzeczywistych.

dla

dla
jest

- l. rzeczywista

- fala niejednorodna, bo

Podstawiamy do wzoru dla fali płaskiej

Amplituda jest stała - w płaszczyznach z= const.

Faza jest stała - w płaszczyznach x= const.

Stąd prędkość fazowa

Fala wnikająca jest falą niejednorodną

Analiza praw odbicia energii jest w przypadku
skomplikowana - nie przeprowadzimy jej .

Jest to przypadek odbicia zupełnego.

Energetycznie - jest wnikanie do obrazu 2 na niewielką odległość, następnie energia powraca.

Rozpatrzymy ilościowo prawa odbicia przy założeniu, że wszystkie fale są jednorodnymi falami płaskimi (pomijamy odbicia zupełne).

Rozłożymy wektor natężenia pola elektrycznego na składowe równoległe i prostopadłe do płaszczyzny padania:

Pole
uzyskamy z zależności impedancyjnych:

Fala padająca

W danej chwili t i dla wybranego punktu x, y płaszczyzny granicznej czynnik fazowy wszystkich trzech fal jest taki sam.

stąd:

Obliczymy stąd składowe x, y (styczne do granicy):

Fala odbita

Stąd:

Fala wnikająca

Tak samo jak dla fali padającej

,
,

Warunki brzegowe

Dla składowych stycznych

w ośrodku 1 - fala p + r, stąd:

Po podstawieniu - wszędzie występuje czynnik
, można więc skrócić:

Jest to zespół dwóch układów równań - dla || i

Rozwiązując ten układ równań otrzymamy współczynniki odbicia i wnikania , określone dla amplitud pola elektrycznego:

Dla dielektryków niemagnetycznych
:

Ze wzorów dla
i
widać, że fale spolaryzowane równolegle lub prostopadle do płaszczyzny padania odbijają się według innych praw.

Stan polaryzacji fali ulega zmianie w wyniku odbicia.

Wykorzystując prawo Snella

można powyższe wzory przekształcić do postaci:

Czy może być χ =0 ??

Ze wzorów na współczynniki Fresnela wynika, że χ ≠0 - fala wnikająca zawsze istnieje (pominęliśmy przypadek fali niejednorodnej; odbicie zupełne).

Czy może być ρ = 0 ??

1. Gdy
   , wówczas
   , ale
   oznacza, że oba ośrodki są identyczne

.

2. 
   , wtedy
   (
   )

3. Natomiast
   nigdy nie może znikać.

Kąt padania, przy którym fala spolaryzowana równolegle nie ulega odbiciu, nazywa się kątem Brewstera

,

Zmiana stanu polaryzacji

Fala pada pod kątem
- składowe równoległe przechodzą bez odbicia, składowe prostopadłe częściowo się odbijają - fala odbita będzie spolaryzowana liniowo, wnikająca - eliptycznie o zmienionych osiach.

Uwaga - Dla

Przy naszych kierunkach odniesienia:

Przykład :
- zawsze jest
(nie wystąpi odbicie zupełne)

3.10. Odbicie jednorodnej fali płaskiej rozchodzącej się w dielektryku od płaskiej powierzchni ośrodka przewodzącego

Ośrodek 1 - dielektryk

Ośrodek 2 - przewodnik

Składowe wektora falowego

(fala niejednorodna!!)

Dla fali wnikającej otrzymujemy:

Równa amplituda x - z =const.

Faza fal -

Powierzchnia ekwifazowa

Ogólna analiza jest trudna. Ograniczymy się do szczególnego przypadku:

- prostopadłe padanie

Faza fali -

Dla
fala wnikająca jest jednorodną falą płaską, wnikającą prostopadle w głąb przewodnika.

Można więc stosować wzory Fresnela:

Niech ośrodek 2 będzie „dobrym” przewodnikiem:

Dobry przewodnik (w szczególności przewodnik metaliczny) jest w przypadku prostopadłego padania fali elektromagnetycznej praktycznie doskonałym lustrem.

Skośne padanie

Przykład

Wnioski

1. Pojawianie się przewodnictwa zmienia charakter przebiegu - znika zjawisko Brewstera, lecz w dalszym ciągu
   przechodzi przez minimum.

2. Przy wzroście
   (gdy maleje częstotliwość) - ośrodek staje się „dobrym” przewodnikiem, współczynnik odbicia mało się różni od 1.

Dla przewodników metalicznych w całym zakresie częstotliwości radiotechnicznych i dla wszystkich kątów padania jest praktycznie
.

Dla przewodników metalicznych współczynnik
jest w całym zakresie częstotliwości radiotechnicznych w przybliżeniu równy 1. Jedynie dla
występuje pewne zmniejszenie
.

Np. Cu ,

Inaczej jest dopiero w zakresie optycznym, dla
.

4. Potencjały elektromagnetyczne i promieniowanie

4.1. Potencjały pól zmiennych, potencjały opóźnione.

Równianie Maxwella:

Zakładamy, że:

Wartość potencjału wektorowego
nie jest istotna - ma dawać poprawne pole
.

- zakładamy, że opisuje poprawnie pole
.

Czy może istnieć inny potencjał
?

- bezwirowy wektor

-
- dowolna funkcja skalarna

Istnieje więc duża swoboda doboru potencjału
tak, aby ułatwić analizę. Analogia - dobór potencjału odniesienia w polu elektrostatycznym.

- wprowadzamy potem skalarny

Istniała duża swoboda doboru potencjału
, ale pole
musi pozostać niezmienione

było

Mamy swobodę dobory potencjału skalarnego
, tym samym możemy przyjąć const = 0

Jeżeli zmienimy potencjał wektorowy
, to musi się w określony sposób zmienić również potencjał skalarny

- redukcja ilości równań z 6 do 4

Transformacja cechowania

Są to potencjały pola elektromagnetycznego (potencjały elektromagnetyczne, potencjały elektrodynamiczne). Sposób wprowadzania jest ważny dla dowolnych pól w dowolnych ośrodkach.

Stosowanie reguły dobory funkcji
zapewnia tzw. niezmienność cechowania - niezmienniczość równań Maxwella (wektorów pola) względem cechowania (doboru funkcji
).

Zakładamy nieskończenie rozległy, jednorodny ośrodek nie przewodzący :

W przestrzeni tej występują źródła pola - prądy
i ładunki przestrzenne
.

,

| x(-1)

| x(-1)

Skorzystamy teraz ze swobody w doborze potencjałów
i
.

Niech
- warunek Lorentza

(wycechowanie Lorentza)

Obecnie mamy:

Oznaczamy

,

- 4 równania różniczkowe

Dodatkowo mamy związek poprzez równanie ciągłości:

Równanie d'Alemberta

W teorii równań różniczkowych dowodzi się, że jeżeli funkcja F jest różna od zera w obszarze skończonym, wówczas:

Ogólne rozwiązanie obu równań ma postać:

Prędkość rozchodzenia się zaburzeń elektromagnetycznych -

Potencjały pól stacjonarnych

Są to znane wzory teorii pól stacjonarnych.

Zagadnienia kwazistacjonarne

Charakterystyczną cechą potencjałów stacjonarnych jest jednoczesność przyczyny
i skutku
- we wzorach brak czasu (bo nic się nie zmienia) i brak opóźnienia.

Jeżeli rozmiary badanego układu są tak małe, że opóźnienie
może być pominięte we wzorach na potencjał, tzn. gdy zaburzenie dociera niemal natychmiast do wszystkich punktów układu, wówczas mamy do czynienia z zagadnieniem kwazistacjonarnym.

Dla przebiegów harmonicznych - opóźnienie
powinno być znacznie mniejsze od okresu T - wówczas wszystkie punkty układu są niemal w jednakowej fazie:

Przykłady -

f = 50Hz
= 6000km - obwody, ale linie przesyłowe

f = 1MHz
= 300m - cewki obwodów, ale antena

f = 3000MHz
= 10cm - anteny większe, rozmiary falowodów

porównywalne

A więc - pola zmienne w czasie, lecz brak opóźnień.

Pole elektryczne nie jest na ogół potencjalne (zjawisko indukcji elektromagnetycznej).

4.2. Potencjał wektorowy Hertza

W obszarach bez źródeł

można wprowadzić nowy potencjał, bardzo ułatwiający obliczenia.

Niech

- elektryczny wektor Hertza

Warunek Lorentza:

niech const = 0

Zarówno potencjał wektorowy
, jak również skalarny wyrażają się za pomocą potencjału
.

Dla
mamy

Po podstawieniu:

(przy const = 0)

Mamy obecnie tylko jeden potencjał, jedno równanie

I - IV równania Maxwella są spełnione.

Stąd

ze wzoru

Dla przebiegów harmonicznych

Przypominam

W obszarze bez źródeł mamy

Można więc wprowadzić definicję potencjału

Następnie powtórzyć całe podane rozumowanie dla

- magnetyczny wektor Hertza

Otrzymuje się w ten sposób:

lub dla harmonicznych

Wybór potencjału zależy od rodzaju rozwiązywanego zagadnienia. Często przyjmuje się oba potencjały równocześnie. Potencjał
wiąże się poprzez
z prądami
. Natomiast „źródłami” potencjału
są fikcyjne „prądy magnetyczne”.

Schemat postępowania:

Anteny

Falowody lub + warunki brzegowe

4.3. Pole elementarnego oscylatora

Źródło elementarne:

a) rozpatrujemy pola w odległościach >> od rozmiarów źródła, tzn. l<<r

b) wymiary źródła są <<
(nie ma przesunięć fazowych w obrębie źródła)

Źródło elementarne można więc uważać za punktowe źródło pola.

Elementarny oscylator (wibrator lub dipol) -

	! a więc dla przebiegów harmonicznych o pulsacji ω
		- moment elektryczny odcinka o długości l, w którym płynie prąd przemienny o natężeniu I.

Mieliśmy wzór (w ośrodku
)

Mamy źródło liniowe o bardzo małych rozmiarach poprzecznych

, gdyż dla l << r i dla I = const, .

Jest to bardzo istotne założenie dla oscylatora elementarnego:

wartość (chwilowa) natężenia prądu w każdym punkcie oscylatora elementarnego jest taka sama.

lub

Dla drgań harmonicznych

stąd

zespolona amplituda, będziemy w dalszym ciągu się nią posługiwać.

Ma ona postać:

- potencjał wektorowy oscylatora elementarnego (w ośrodku )

Stąd

Przyjmujemy układ współrzędnych:

Po wykonaniu działań otrzymuje się:

Po wykonaniu działań otrzymuje się:

Struktura geometryczna pola

Linie pola
tworzą koła koncentryczne z osią oscylatora, linie równoleżnikowe. Linie wektora
leżą w płaszczyznach południkowych.

Pełna analiza pola jest trudna. Rozpatrzymy dwa szczególne obszary - w odległościach bliskich od oscylatora i w odległościach dalekich.

Małe odległości -
czyli

Duże odległości -
czyli

4.4. Pole elektromagnetyczne w małych odległościach od oscylatora

Stąd

gdyż

Interpretacja -

Dla prądu stałego mamy prawo Biot-Savarta:

jeżeli
wówczas

Nasze pole jest więc identyczne z polem krótkiego odcinka prądu stałego ! Dotyczy to rozkładu pola, wartości natomiast zmieniają się w czasie - pole pulsuje, ale jednakowo w całym obszarze (bliskim,
).

Dla dipola elektrostatycznego mamy wzór:

Stąd

Pole elektrostatyczne oscylatora jest więc w małej odległości identyczne z polem dipola elektrostatycznego ! - Ale jest to znowu pole pulsujące.

Pola
i
są więc w obszarze bliskim kwazistacjonarne.

4.5. Pole elektromagnetyczne w dużych odległościach od oscylatora elementarnego

- można pominąć człony z niskimi potęgami

E_r=0, E_φ=0,

H_r=0, H_θ=0,

Współczynnik we wzorze na E_θ :

Stąd:

Er=0, Eφ=0, Eθ= Hr=0, Hθ=0, Hφ=

Wnioski: 1). Pola elektryczne i magnetyczne są współfazowe.

2). Struktura geometryczna: pole E jest prostopadłe do H, linie wektora
biegną południkowo, linie wektora
równoleżnikowo.

3). Należy pamiętać, że w naszych wzorach są zespolone amplitudy
.

Mamy więc:
, czyli przebieg okresowo zmienny w czasie i przestrzeni - jest to więc fala elektromagnetyczna.

4). Podobnie jak dla fali płaskiej, również obecnie

4.6. Faza fali, typ fali, prędkość fazowa

W dużych odległościach od oscylatora faza fali zależy wyłącznie od czynnika
(j - oznacza stałe przesunięcie fazy)

Uwaga - w odległościach mniejszych, niż r >>
, faza zależy również od czynników w nawiasach ogólnych wzorów.

W danej chwili t faza fali jest więc stała, gdy

,

czyli, gdy r=const.

Faza fali jest stała na powierzchniach kulistych koncentrycznych ze źródłem.

W dużych odległościach od oscylatora mamy więc do czynienia z falą kulistą.

Uwaga - amplituda na powierzchniach r=const. nie jest stała, bo zależy jeszcze od kąta θ !

Faza przebiegu:

faza jest więc pewną funkcją czasu i położenia

Zmianę fazy, przy przesunięciu o odcinek skierowany
można obliczyć ze wzoru

Zmiana ta będzie największa wówczas, gdy
║ grad[cos(
,gradΩ)=1], lecz gradΩ jest prostopadły do powierzchni ekwifazowych Ω=const.

Największe zmiany fazy pomiędzy sąsiednimi punktami występują e kierunku prostopadłym do powierzchni ekwifazowej.

W tym więc kierunku będziemy mierzyć prędkość przesuwania się stałej fazy:

Ω=const., dΩ=0, dΩ=

Prędkość fazowa

Prędkość fazowa V_f fali wypromieniowanej przez oscylator elementarny (mierzona w kierunku prostopadłym do powierzchni ekwifazowych, czyli w kierunku radialnym jest równa prędkości charakterystycznej V w danym ośrodku.

W próżni

Rozważmy obecnie kierunek rozchodzenia się energii.

W małej odległości przepływ energii jest bardzo złożony.

W dużych odległościach -

E i H są współfazowe, więc kierunek transportu energii - radialny

Wnioski -

1. Na dużych odległościach od oscylatora (r >>
   ) przepływ energii odbywa się radialnie w stronę na zewnątrz - oscylator wypromieniowuje energię.

2. Przepływ energii pokrywa się z kierunkiem prędkości fazowej.

3. Wektory
   i
   są w dużych odległościach wzajemnie prostopadłe i prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Fala wypromieniowana przez oscylator jest falą płaską.

4. Wektor
   leży w płaszczyznach południkowych - fala oscylatora jest spolaryzowana liniowo w płaszczyznach południkowych. W bardzo dużych odległościach od oscylatora fala ma w przybliżeniu strukturę jednorodnej fali płaskiej.

Charakterystyka kierunkowa promieniowania

W dużych odległościach E_θ oraz H_φ są proporcjonalne do sinθ

wartość max E_θ i H_φ osiąga dla
- w płaszczyźnie równikowej.

Rozkład natężenia promieniowania możemy określić dla ustalonych r=const. i t=const.

w stosunku do wartości maksymalnej E_θmax
:

czyli

Jest to tzw. charakterystyka kierunkowa promieniowania.

Wykreślnie -

Kąt prosty, bo . Oscylator elementarny ma więc charakterystykę kołową.

A więc odległość danego punktu powierzchni charakterystycznej od początku układu reprezentuje dla danego kierunku wielkość natężenia pola w stosunku do natężenia maksymalnego.

Uwaga - oscylator promieniuje najsilniej w kierunku prostopadłym do dipola, natomiast w kierunku równoległym nie wypromieniowuje energii.

Moc wypromieniowana przez oscylator

Obliczmy średnią moc promieniowaną przez oscylator w ciągu jednego okresu drgań.

Moc na jednostkę powierzchni opisuje wektor Poyntinga.

Moc chwilowa

Strumień średniej mocy -

- dla pola dalekiego

Ogólnie mamy składowe:

,
, E_φ=0

W wartościach średnich potrzebne nam są części rzeczywiste.

Więc

Średnia moc wypromieniowana przez oscylator:

A - powierzchnia otaczająca oscylator, np. kula

- bo
║
dla kuli.

lub

Dla

Uwagi -

W wypromieniowaniu energii biorą udział jedynie składowe z najwyższymi potęgami czynnika
.

Wypromieniowanie energii wiąże się jedynie ze składowymi charakterystycznymi dla obszaru promieniowania (pola dalekie).

Pozostałe składowe pola, charakterystyczne dla obszaru bliskiego i przejściowego, nie wiążą się z odpromieniowaniem energii. Energia wiążąca się z tymi czynnikami pulsuje.

4.7. Opór promieniowania

Oscylator wypromieniowuje energię - musi więc ją pobrać ze źródła zasilającego.

Moc wypromieniowaną można więc uważać za "straty na promieniowanie" i dołączyć do źródła zastępczy opór R_pr taki, aby wydzielona w nim moc ciepła Joule'a była równa mocy promieniowanej przez oscylator:

Opór promieniowania - jest to taki opór zastępczy, w którym po dołączeniu do źródła zasilającego oscylator (antenę) wydziela się moc równa mocy promieniowanej przez oscylator (antenę).

Uwaga - dla anten złożonych definicję tę uzupełnimy (I_SK)

Dla oscylatora jest
, gdy Z_f=Z_f0

Stąd	- opór promieniowania oscylatora elementarnego w wolnej przestrzeni.

Zastosowania -

Założenie - l <<
tak, aby I=const.

Wzory dla oscylatora można więc wykorzystać do obliczania krótkich anten dipolowych, o ile jest l <<
- w praktyce l
0.1
. Również dla anteny krótkiej nad ziemią:

5. Anteny liniowe

Anteną liniową jest przewodnik o małym przekroju, lecz o długości porównywalnej z długością fali. W antenie takiej prąd ma różne wartości w różnych częściach anteny, nie jest więc spełnione założenie anteny krótkiej - l <<
oraz I=const.

Możemy jednak podzielić antenę liniową na bardzo małe elementy tak, aby powyższe założenie było spełnione.

Będziemy rozpatrywać jedynie pole w dużych odległościach od anteny. Można będzie wówczas przyjąć: ; dEθa, dEθb można sumować skalarnie

Dla elementarnego oscylatora: . Dla elementu I(z)dz . w mianowniku

Według zasady superpozycji jest więc

sens tego członu: ujmuje przesunięcie fazowe, zależne od elementu anteny (z) oraz od kąta cosθ

Antena liniowa z sinusoidalnym rozkładem prądu

W rzeczywistych antenach rozkład taki występuje wówczas, gdy przewód anteny jest bardzo mały w porównaniu z długością.

Ładunki mogą płynąć wzdłuż anteny, lecz na jej końcach musimy mieć węzły prądu:

Mamy więc:

Po wyliczeniu otrzymuje się dla amplitud
przy z₂ = z₂₀ = 120π

dla k=2,4,6,... i

dla k=1,3,5,... i

Charakterystyka kierunkowa:

dla k=2,4,6,... i

dla k=2,4,6,... i

Mamy więc:

Przykłady:

Anteny symetryczne

Antena symetryczna jest to taka, dla której jest

Uwaga - poprzednie anteny dla k=1, 3, 5, … są symetrycznymi

Rozkład prądu musi mieć węzły na końcach:

dla z < 0

dla z > 0

Amplituda natężenia pola elektrycznego anteny symetrycznej dla Z_f=Z_f0=120π wynosi:

gdzie

Dla

i wzór ten przechodzi w wyrażenie dla anten niesymetrycznych w przypadku k=1, 3, 5,........

Opór promieniowania

Mamy

Dla obu typów anten było

więc

stąd:

Przykład: Dla jest

Wnioski:

Im większe k, tym większy opór promieniowania.
a więc przy tym samym prądzie
będzie wypromieniowana większa moc. Lecz moc ta rozkłada się na większą ilość listków charakterystyki kierunkowej!

Praktycznie, więc największe znaczenie ma antena
.

Zysk kierunkowy anteny

Określimy antenę izotropową (teoretyczną):

dla r = const. jest

Antena izotropowa „promieniuje”, więc jednakową gęstość mocy we wszystkich kierunkach - kulista charakterystyka kierunkowa.

Jeżeli antena rzeczywista promieniuje w wybranym kierunku
taki sam strumień mocy jak antena izotropowa, tzn., gdy dla r = const jest

wówczas stosunek całkowitej mocy anteny izotropowej do mocy anteny rzeczywistej nazywamy zyskiem kierunkowym anteny:

lub

Oscylator elementarny:

Antena półfalowa:

Długość skuteczna anteny

W kierunku prostopadłym do anteny nie występują przesunięcia fazowe dla poszczególnych odcinków anteny.

Pole wypadkowe można więc obliczyć jako sumę pól zespołu elementarnych oscylatorów. Dla anteny liniowej -

dla θ = π/2

Długością skuteczną h anteny nazywamy długość anteny o równomiernym rozkładzie prądu I(z)=const o natężeniu równym
, której pole w kierunku prostopadłym do anteny ma taką samą wartość, jak pole anteny rzeczywistej.

Antena o rozkładzie prądu I(z)=const jest oscylatorem elementarnym.

dla θ = π/2

Porównując wzory na
otrzymamy, że

Przykład:

Antena z rozkładem sinusoidalnym k=1, 3, 5

Dla k=1 (
)

Dla k=2, 4, 6,... pojęcie długości skutecznej nie ma sensu - h=0, (bo wartość średnia prądu=0).

Anteny liniowe nad powierzchnią ziemi

Ziemia jest niezbyt dobrym przewodnikiem i silnie wpływa na falę rozchodzącą się nad ziemią. Pewne wnioski jakościowe (ew. ilościowe) można uzyskać rozpatrując antenę liniową umieszczoną nad płaską powierzchnią doskonałego przewodnika.

Korzystamy z twierdzenia o jedno-znaczności. Układ dipol doskonały-przewodnik (a właściwie układ dipol-system prądów na powierzchni przewodnika) zastępujemy układem dwóch dipoli symetrycznych - odbicie zwierciadlane.

Pola obu dipoli spełniają równania Maxwella.

Warunki brzegowe - na powierzchni doskonałego przewodnika pole E jest prostopadłe, przy dipolu ( Il ) pole musi do niego „pasować” - pole dipola ( Il ) jest dobre, pole dipola ( Il )' jest w miejscu ( Il ) równe zeru, ( bo dipol nie promieniuje w kierunku osi ).

Uwaga - w rzeczywistych warunkach ziemia nie jest idealnym przewodnikiem, indukują się prądy - ciepło Joule'a, powstają straty - zmiany amplitudy i fazy.

5.1. Układy anten

Szereg dipoli półfalowych

Dipole są zasilane ze wspólnej linii zasilającej tak, że prądy we wszystkich dipolach są jednakowe oraz we wspólnej fazie - zasilanie współfazowe. W dużej odległości od szeregu każdy dipol wytwarza pewne pole o amplitudzie k=0, 1,......, m-1

Dipole są półfalowe, więc

stąd

Całkowite pole w dowolnym punkcie przestrzeni (w dużej odległości) jest sumą pól od poszczególnych dipoli:

Trzeba wykonać sumowanie

gdzie
(
;
)

stąd

Moduł tego wyrażenia: πcosθ=a

stąd

moduł natężenia pola

Obliczymy
:

Dla θ=π/2

Stąd

- natężenie pola szeregu m diploi półfalowych w kierunku wartości maksymalnej jest m razy większe, niż natężenie pola pojedynczego dipola półfalowego.

Przykład:

Charakterystyka kierunkowa dla m =5

- figura obrotowa

Grupa dipoli półfalowych

Dipole półfalowe są zasilane współfazowo. dla ,

Charakterystyka kierunkowa dla n=5

figura symetryczna również dla kierunku -x

Płaska ściana dipoli półfalowych

Wszystkie dipole zasilane współfazowo.

dla
,
promieniuje w kierunku
i
.

W układach anten stosuje się dipole półfalowe ze względów ekonomicznych - opór promieniowania tylko nieco mniejszy niż dla dipoli o wyższym, k, lecz najmniejsza ilość materiału i miejsca.

Natomiast zysk kierunkowy wzrasta
,
lub
razy.

Np. dla m=n=10 zysk kierunkowy w kierunku
, ϕ=0 wynosi
lub 22,15dB.

Antena kierunkowa

Jeszcze inne efekty kierunkowe można otrzymać wówczas, gdy zasila się anteny w niejednakowych fazach.

Rozpatrzymy dwa oscylatory elementarne (krótkie), ζ=ζ₀, w płaszczyźnie
.

Jeden oscylator jest zasilany prądem
, natomiast drugi jest zasilany prądem opóźnionym w fazie
.

Dla dużych odległości można w mianowniku przyjąć
. Natomiast w czynniku fazowym trzeba uwzględnić zmianę fazy z odległością:

Stąd:

Pole całkowite jest sumą tych dwóch:

Moduł tego wyrażenia:

Uwaga - dla innego kierunku niż należy ten wynik pomnożyć przez sin θ.

Jest, więc

, gdzie

Dla
i ψ=0

Dla
i

- układ ma właściwości kierunkowe

W ten sam sposób, dodając „reflektor”, można uzyskać kierunkowość dla układów anten.

5.2. Anteny z elementami biernymi

W omawianych układach anten wszystkie części były odpowiednio zasilone.

Można jednak wstawić element bez zasilania (bierny) - w polu elementu czynnego wzbudzą się w nim prądy, będzie, więc on również promieniował, co umożliwia odpowiednie kształtowanie charakterystyki kierunkowej.

Antena ramowa

Rozpatrzymy pole promieniowania obwodu z prądem.

Zakładamy ( )

Dla prądu liniowego

stąd

Zakładamy, że r>>R, można, więc przyjąć w mianowniku ρ=r.

Natomiast czynnik fazowy trzeba obliczyć dokładnie:

z trygonometrii przestrzennej

W naszym przypadku dla punktu P
,
(dla Q)

Stąd

oraz

Z założenia
, można więc wyrażenie podcałkowe rozwinąć w szereg i wziąć tylko pierwsze dwa wyrazy rozwinięcia:

Po wykonaniu całkowania

Mieliśmy, że:

lub

Stąd

Wprowadzając wektor momentu magnetycznego

skierowany wzdłuż osi 0z, można powyższe zapisać:

Mieliśmy, że
,

jest funkcją tylko r,

Jest więc

Wynik ten można zapisać:

Stąd

Stąd

Stąd

Ostatecznie więc

Wnioski:

1. Podobnie jak dla oscylatora elementarnego - pole E i H jest proporcjonalne do
   .

2. Linie pola E są równoleżnikowe („równoległe” do drutu!), a pola H są południkowe.

3. Charakterystyka kierunkowa jest kołowa (
   ).

4. Impedancja jak poprzednio:

5. Czynnik fazowy jest taki sam jak dla dipola, więc wypromieniowana fala jest falą kulistą, prędkość fazowa

Obliczenie mocy odbywa się tak samo, jak poprzednio, wynik:

Dla
,
otrzymuje się

Antena w postaci jednozwojowej pętli

Jest to bardzo mały opór promieniowania - ze względu na
.

Przykład -

					Osc. elementarny
f	50 Hz	5 kHz	500 kHz	50 MHz	50 MHz
λ [m]	6⋅10^6	6⋅10^4	600	6	6
Rpr [Ω]	3,8⋅10^-25	3,8⋅10^-17	3,8⋅10^-9	0,38	0,88
					↓

natomiast oscylator o długości
⇒

→

5.3. Anteny odbiorcze

Zasada wzajemności

Przestrzeń jest wypełniona ośrodkiem o parametrach

ε, μ, σ = const. (σ ≠ 0 w niektórych miejscach przestrzeni)

W pewnym miejscu przestrzeni działa siła elektromotoryczna o polu sił przyłożonych
i wywołuje w przestrzeni pole
i
.

W innym miejscu działa
i wywołuje
i
.

Równania pól mają postać (dla przebiegów harmonicznych):

+
-
-
=
+
-

-
-
-
+
=

=

Jest wzór

Więc

Całkujemy po całej przestrzeni

Wg twierdzenia Gaussa:

Pierwsze dwie całki znikają, bo jeżeli w przestrzeni istnieje obszar σ ≠ 0, wówczas dla r → ∞
,
,
,
→ 0.

Przykład - pole oscylatora lub anten maleje jak
.

stąd

Jeżeli w przestrzeni zamienimy miejscami siły elektromotoryczne, wówczas zamieniają się miejscami również wywołane przez nie pola i prądy.

Przykład - dla antenowych obwodów liniowych:

Jeżeli do anteny nadawczej lub odbiorczej dołączymy tą samą siłę
=
, wówczas w drugiej antenie uzyskamy w obu przypadkach ten sam prąd.

Każda antena nadawcza może więc być zastosowana jako odbiorcza i na odwrót.

Zachowane są przy tym właściwości kierunkowe, impedancyjne itp.

6. Rozchodzenie się fal w układach równoległych przewodników i w falowodach

Sformułowanie problemu

Ośrodek jednorodny ε, μ, σ = const.

Nieskończenie długie przewodniki o stałym przekroju.

- linia dwuprzewodowa otwarta

Przewód ekranowany	Otwarta i ekranowana linia wieloprzewodowa
Falowody

Nasza linia została pobudzona gdzieś na początku; badamy pole w dużej odległości od miejsca pobudzenia.

Zakładamy, że w obrębie linii brak jest źródeł pola.

Równanie pola (dla przebiegów harmonicznych):

oraz

Warunki brzegowe

W rzeczywistych warunkach pole istnieje pomiędzy przewodami oraz wewnątrz przewodów.

W celu uproszczenia analizy przyjmiemy, że przewody mają przewodnictwo

σ → ∞

Założenie to stanowi dobre przybliżenie, gdyż dla metali σ jest rzędu 10⁷ (Ωm)^-1, a współczynnik odbicia dla częstotliwości radiotechnicznych (w tym mikrofalowych) jest ≈ 1.

Jest więc:

wewnątrz przewodnika -

na powierzchni -
, pole
jest prostopadłe do powierzchni.

lub

Bardzo ogólną analizę pola można przeprowadzić w oparciu o wektor Hertza.

Typy fal

Fale rozchodzące się w torach przesyłowych można podzielić na trzy główne typy:

1. Poprzeczna fala elektromagnetyczna

T lub TEM	(transverse electro-magnetic)

2. Poprzeczna fala magnetyczna

Tylko pole elektryczne ma składową podłużną.

E lub TM

3. Poprzeczna fala elektryczna

H lub TE

6.1. Poprzeczna fala elektromagnetyczna TEM

Mamy sześć składowych pola E_x, E_y, E_z, H_x, H_y, H_z = U spełniających równanie tego samego typu

U(x, y, z, t) = U(x, y, z) e^jωt

czyli

Niech

Po podstawieniu

Stąd

Po dopisaniu członu czasowego

Zapis ten reprezentuje dwie fale płaskie, rozchodzące się w kierunku 0z oraz -0z.

Będziemy rozpatrywać jedynie falę w kierunku 0z, przyjmiemy więc C₁ = 0

Stała C₂ jest zawarta w funkcji A.

Stąd

A więc
,
itd.

TEM Ez = 0

⇒

Podobnie można uzyskać z drugiego równania:

Z jednego układu:

z drugiego układu:

Stąd

⇒

Równanie to ma pierwiastki

Wybraliśmy propagację w kierunku 0z, więc

Jest więc teraz:

Fala rozchodząca się jest tłumiona (α), prędkość rozchodzenia się jest określona stałą β.

Fala TEM rozchodzi się wzdłuż toru z taką samą prędkością fazową i takim samym tłumieniem, jakie w danym ośrodku wykazywałaby jednorodna fala płaska.

W szczególności w próżni (~ w powietrzu) fala rozchodzi się wzdłuż toru bez tłumienia i z prędkością światła.

Układ geometryczny pola

Obliczymy

Z poprzednich równań mamy:

oraz

Stąd

Jest to wynik identyczny jak dla fali płaskiej.

Policzymy obecnie iloczyn

dla kabla koncentrycznego

Wynik ten jest identyczny jak dla fali płaskiej.

Ośrodek bez strat - ε_sk i Z rzeczywiste.

Wektory E i H są wtedy współfazowe, wzajemnie prostopadłe, wektor Poytinga w kierunku osi OZ.

Fala TEM niezależnie od kształtu przewodnika (pod warunkiem, że w ogóle jest możliwa) wykazuje wszystkie cechy fali płaskiej (układ geometryczny, stosunek ilościowy wektorów E i H, prędkość fazowa, tłumienia).

Kiedy fala TEM jest możliwa?

Pole elektryczne jest poprzeczne - linie sił pola elektrycznego
leżą w płaszczyznach prostopadłych do osi OZ.

Obliczymy cyrkulację wektora
po konturze L leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do OZ.

A - płaszczyzna ograniczona konturem L

gdzie

(patrz układy równań dla składowych pola fali TEM)

Wektor
w płaszczyźnie poprzecznej jest wektorem bezwirowym, może więc być przedstawiony jako:

Przewody są idealnie przewodzące (σ=∞), więc:

Pole
jest prostopadłe do powierzchni przewodów - kontur przewodów stanowi więc linię ekwipotencjalną.

Załóżmy, że w badanym obszarze brak jest źródeł pola, potencjał φ spełnia więc równanie Laplace'a:

1) Falowód

	, na brzegu Można udowodnić, że w całym obszarze objętym konturem musi być φ = φL = const. (potencjał osiąga wartość ekstremalną na brzegu obszaru).

Fala TEM nie może rozchodzić się w falowodach!

2) Pojedynczy przewodnik

- potencjał w przestrzeni zewnętrznej jest nieokreślony (bo na nieskończenie długim przewodniku jest zgromadzony nieskończenie duży ładunek) Jest on typu , brak rozwiązania jednoznacznego.

Również w przypadku pojedynczego przewodnika fala TEM nie może się rozchodzić.

3) Tory wieloprzewodowe

Na konturach L₁, L₂ φ₁ = const, φ₂ = const.

W przestrzeni między przewodami Δφ = 0

Jest to znane zagadnienie elektryczne pola między równoległymi przewodnikami. Rozwiązanie takiego zagadnienia istnieje.

Fala TEM może rozchodzić się wzdłuż toru wieloprzewodowego otwartego lub ekranowanego.

Uwaga - powyższy wynik jest taki sam jak w teorii linii długich - wzdłuż linii fala TEM rozchodzi się z prędkością zbliżoną do prędkości światła. W teorii linii długich korzysta się jednak ze współczynników L', C', R' określanych dla prądu stałego. Obecnie otrzymaliśmy więc falowy dowód na to, że przybliżenie kwazistacjonarne jest dopuszczalne i słuszne. Przybliżenie to nie może uwzględnić wszystkich efektów - np. przy obecności niejednorodności (podwieszenie linii, załamania, przerwa, itp.) linia promieniuje i teoria kwazistacjonarności nie jest w stanie tego opisać.

6.2. Poprzeczna fala magnetyczna TM w falowodzie o przekroju prostokątnym

Wzbudzając falę TM lub TE w zamkniętej „rurze” - falowodzie można uzyskać transport energii w odmienny sposób, niż np. w przewodowych liniach energetycznych (sposób podejścia jest dostosowany do skryptu R. Litwina). Będziemy rozważać najważniejsze przypadki, każdy z osobna, lecz można w oparciu o wektor Hertza zrobić to ogólnie, a przykłady uzyskać jako przypadki szczególne.

Zakładamy:

1. ścianki falowodu są wykonane z doskonałego przewodnika.

2. falowód jest wypełniony ośrodkiem jednorodnym, izotropowym, liniowym i bezstratnym (ε = const μ = const σ = const).

3. falowód jest torem jednorodnym - posiada jednakowy przekrój poprzeczny na całej długości.

Niech

liczby zespolone	liczby zespolone	liczba rzeczywista

Rozwiązania mają postać:

, podobnie jest dla Y(y) oraz Z(z).

Stałe wyznaczymy z warunków brzegowych - pole elektryczne musi być prostopadłe do ścianek falowodu (σ = ∞), więc składowa E_Z, jako styczna musi zanikać na wszystkich ściankach:

E_Z(0, y, z) = X(0)Y(y)Z(z) = 0 czyli X(0) = 0

E_Z(a, y, z) = X(a)Y(y)Z(z) = 0 czyli X(a) = 0

E_Z(x, 0, z) = X(x)Y(0)Z(z) = 0 czyli Y(0) = 0

E_Z(x, b, z) = X(x)Y(b)Z(z) = 0 czyli Y(b) = 0

X(0) = A₁e⁰ + A₂e^-0 = A₁ + A₂ = 0 ⇒ A₂ = -A₁

⇒

Niech γ_X = α_X + jβ_X

Jest więc

Może więc być
, m - liczba całkowita

Równocześnie musi zachodzić:

Jest więc

⇒

, m - liczba całkowita

Podobnie z dwóch dalszych warunków brzegowych otrzymuje się:

Oraz

n - liczba całkowita

Obecnie można określić γ_Z i Z(z)

Wybieramy tylko falę rozchodzącą się w kierunku osi OZ

- istnieją dwa pierwiastki, nam wystarczy tylko jeden

Dla dużych częstotliwości wyrażenie pod pierwiastkiem jest >0 (γ_z jest urojone, γ_Z=jβ_Z)

Dla małych częstotliwości wyrażenie pod pierwiastkiem jest <0 (γ_z jest rzeczywiste, γ_Z=α_Z)

Częstotliwością graniczną (krytyczną) f_gr nazywamy taką częstotliwość, dla której wyrażenie pod pierwiastkiem (a tym samym γ_Z ) jest równe zeru.

Stąd

- częstotliwość graniczna zależy od rozmiarów falowodu (a, b) jak również od rodzaju fali (m, n).

W przestrzeni ε, μ bez falowodu; fala swobodna rozchodzi się z prędkością

Można zatem napisać:

Przy tej częstotliwości swobodna fala w danym ośrodku miałaby długość:

Jest więc: f > f_gr γ_z = jβ_z urojone

f < f_gr γ_z = α_z rzeczywiste

Rozpatrzymy falę rozchodzącą się w kierunku OZ:

Stąd

Indeksy m, n określają rodzaj fali TM_mn lub E_mn

Rozważymy obecnie przypadek f > f_gr

,

Przekonamy się później, że pozostałe składowe pola elektrycznego magnetycznego zależą w ten sam sposób od t i z - są proporcjonalne do
.

Wzdłuż falowodu rozchodzi się więc nietłumiona fala o stałej fazowej β_Z.

Prędkość fazowa fali w falowodzie - mierzona w kierunku osi falowodu:

⇒

Długość fali w falowodzie - odległość pomiędzy punktami o tej samej fazie, mierzona w kierunku osi falowodu.

Zarówno β_f jak v_f oraz λ_f w falowodzie różnią się od wartości β, v, λ w swobodnej przestrzeni.

- prędkość swobodnej fali w danym ośrodku

⇒

- długość fali swobodnej! w danym ośrodku.

Można też zapisać

Fala w falowodzie nie rozchodzi się ze stałą prędkością:

f → ∞ : v_f → v : f → f_gr : v_f → ∞

dla f < f_gr : v_f jest urojona

Wnioski:

1. Prędkość fazowa v_f zależy od częstotliwości - falowód ma więc właściwości dyspersyjne.

Przy przesyłaniu sygnału np. w postaci krótkiego impulsu prostokątnego (przebieg taki składa się z szeregu harmonicznych o różnych częstotliwościach) poszczególne składowe harmoniczne sygnału rozchodzą się w falowodzie z różną prędkością fazową - na takim torze powstają więc zniekształcenia sygnału.

2. Prędkość fazowa w falowodzie może być znacznie większa od c (prędkości światła) - nie jest to nic niezwykłego, ponieważ prędkość fazowa v_f nie opisuje ruchu materii ani energii, lecz ruch punktu o tej samej fazie.

6.3. Przypadek f < f_gr

Brak czynnika
, jest to więc pole zmienne w czasie i szybko malejące w kierunku osi OZ.

Dla f < f_gr fala nie może rozchodzić się wzdłuż falowodu.

Czynnik
nie ma tutaj charakteru tłumienia w wyniku strat w przewodzących ściankach - ścianki są doskonale przewodzące.

Obliczymy obecnie pozostałe składowe pola.

H_z = 0 dla fali TM

Podobnie:

⇒ Hx oraz Hy zależą w ten sam sposób od z jak Ez, są więc proporcjonalne do . Z dwóch pierwszych równań wynika, że również Ex oraz Ey zależą tak samo od .

Zatem dla wszystkich składowych spełnione jest więc
.

Z (2) i (3):

⇒

Mieliśmy zależność

Stąd

Obecnie można wypisać składowe pola fali TM w falowodzie wzory na składowe, wzór na E_z, dopisujemy człon czasowy
i wypiszemy jedynie części rzeczywiste:

obecnie: „stare” Amn

lub

Stałe A_mn - można je wyznaczyć z dodatkowych warunków, np. energii przesyłanej falowodem.

Amplitudy naszych składowych zawierają funkcje trygonometryczne, których argumenty zmieniają się od 0 do

Indeksy m, n określają ilość połówek „fal”, układających się wzdłuż osi x lub y - czyli ilość maksimów i minimów amplitudy pola wzdłuż ścianek.

Uwaga - nie może być m=0, lub n=0 - pole jest wówczas równe 0.

Przykład:

E11 - najniższe możliwe indeksy - rozkład pola TM przy ściance falowodu

Podobnie z (1) i (4) otrzymuje się

z (3) i (4):

Obliczamy iloczyn poprzecznych składowych pola:

Jest więc: Składowe poprzeczne pola fali TM są do siebie prostopadłe.

Obliczamy
:

- fala TM

Wnioski:

1. Jest tu również zawarty wynik
   .

2. Składowe poprzeczne pola są współfazowe (dla f>f_gr).

3. Wzór ten stanowi zależność ilościową pomiędzy składowymi poprzecznymi
   - obowiązuje więc we wszystkich punktach przekroju poprzecznego.

	E12

Rozkłady pola w przestrzeni

E11

E12

	Uwagi: 1) Linie pola biegną w środku falowodu, ale zaczynają się i kończą na ściankach - na ładunkach (+) i (-) 2) Linie pola leżą w płaszczyznach poprzecznych - fala TM - i tworzą linie zamknięte 3) Pole przesuwa się wzdłuż falowodu, zmieniają się więc również ładunki - w ściankach płyną zmienne prądy

6.4. Poprzeczna fala elektryczna TE w falowodzie o przekroju prostokątnym


,



,
itd.




Warunki brzegowe są obecnie inne, bo dotyczą pola magnetycznego
, wewnątrz przewodnika
, B_n=0




Dla ścianek x=0, x=a musi znikać składowa normalna pola (czyli Hx) oraz składowa styczna pola (czyli Ey):

Stąd
dla x=0, a














Stąd, identycznie jak dla pola E_z fali TM:









podobnie


Podobnie jak dla fali TM
.

Niech c₁=0 (fala w kierunku Oz), stąd


m, n - liczby całkowite

Fala TE - rodzaj TE_mn lub H_mn

Podobnie ze wzoru
:




Podobnie, jak dla fali TM, istnieje również

częstotliwość graniczna fgr graniczna długość fali λgr

wzory jak dla fali TM

1) f<f_gr γ_z rzeczywiste


Dla f<f_gr fala TE nie może się rozchodzić w falowodzie prostokątnym.

2) f>f_gr γ_z urojone


Dla f>f_gr fala TE rozchodzi się w falowodzie prostokątnym bez tłumienia.

Uwaga - wyprowadzenia i wzory na v_f i λ_f są identyczne dla fali TE i TM.

Wzory na składowe pola wyprowadza się identycznie tak samo, jak dla fali TM:





,
,


lub


,
,


Podobnie jak poprzednio - indeksy m, n określają ilość maksimów i minimów pola wzdłuż osi x i y.

Jeżeli przyjąć m=n=0 -
- wszystkie składowe pola znikają.

Natomiast przy m≠0, n=0 lub m=0, n≠0 fala może istnieć.

Nie może istnieć rodzaj H₀₀. Natomiast są możliwe rodzaje H_0n lub H_m0, np.: H₀₁, H₀₂, ..., H₁₀, H₂₀, ...

Można łatwo policzyć, że
tzn.

Składowe poprzeczne pola fali TE są do siebie prostopadłe


Po obliczeniu iloczynu
otrzymuje się:








Dla fali typu H (TE) jest więc:




Wnioski:

1. Składowe poprzeczne pola elektrycznego i magnetycznego są wzajemnie prostopadle
   

2. Składowe poprzeczne pola elektrycznego i magnetycznego są współfazowe (Z_f jest rzeczywiste, musi być f>f_gr),

3. Związek ilościowy pomiędzy E_T i H_T jest podobny do tego związku dl fali płaskiej lub pola TM (E) w falowodzie - tutaj Z_f jest podzielone przez
   

6.5. Rodzaj podstawowy

Dany jest falowód o wymiarach a×b. Mogą się w nim rozchodzić pola typu TM lub TE (E lub H). Częstotliwość graniczna określona jest tym samym wzorem:







Częstotliwość graniczna zależy od wielkości indeksów m i n

Rodzaj o najmniejszej częstotliwości granicznej f_gr (lub o największej granicznej długości fali λ_gr) w danym falowodzie nazywa się rodzajem podstawowym.

Pole E_mn - m≠0, n≠0

Pole H_mn - m=0 lub n=0 - jest możliwy

Najniższą częstotliwość graniczną ma więc zawsze rodzaj H. Rodzajem podstawowym jest więc rodzaj H₀₁ lub H₁₀.




	rodzajem podstawowym jest H01 (decyduje dłuższy bok) rodzajem podstawowym jest H10

Rodzaj podstawowy posiada najniższą częstotliwość graniczną. Tym samym -

Największą długością fali, przy jakiej w ogóle można falowodem przesyłać energię elektromagnetyczną, jest graniczna długość fali dla rodzaju podstawowego.

Przykład:


rodzaj	λgr	rodzaj	λgr
H00	-	E00	-
H01	2b	E01	-	fgr1
H10 H02	b	E10 E02	-	fgr2
H11	0,894b	E11	0,894b	fgr3
H12	0,707b	E12	0,707b	fgr4
H03	0,667b	E03	-	fgr5
H13	0,544b	E13	0,544b	fgr6
H20 H04	0,5b	E20 E04	-	fgr7




Wnioski:

1. Największy „skok” w częstotliwości występuje pomiędzy f_gr1 (rodzaj podstawowy) a f_gr2

2. Dla 0<f<f_gr1 w falowodzie fale nie mogą się rozchodzić.

3. Dla f_gr1<f<f_gr2 w falowodzie może rozchodzić się tylko jeden rodzaj podstawowy.

4. Dla f>f_gr2 w falowodzie może równocześnie rozchodzić się kilka różnych rodzajów fal

W ostatnim przypadku - różne stałe przenoszenia β_z, różne v_f - efekty interferencyjne niestabilne - wahania mocy w miejscu odbioru. Praktycznie wykorzystuje się więc zakres f_gr1<f<f_gr2. W falowodzie prostokątnym jest on bardzo korzystny stosunkowo szerokie pasmo (przy a:b=1:2 - f_gr1:f_gr2=1)

Rozkład pola fali TE

H₀₁





Rozpływ prądów w ściankach falowodu:




Szczeliny w ściankach falowodów




Szczelina typu A - równoległa do linii prądów powierzchniowych, nieco ten rozpływ zakłóca, mało - gdy wąska nie powoduje zmian w przepływie energii wewnątrz falowodu, szczeliny pomiarowe - sondy,

Szczelina typu B - przecinają linie prądu, brzegi szczeliny ładują się, w szczelinie powstaje pole
, prąd przesunięcia
, pole
- szczelina wypromieniowuje energię. Wykorzystanie - anteny falowodowe, sprzęganie dwóch falowodów.

Pobudzanie falowodu

Pobudza się za pomocą „antenek” - sonda lub pętla.

- w jakiejś fazie. Pole wnikające do falowodu można przedstawić jako superpozycję szeregu rodzajów falowodowych. Największą amplitudę będą miały te rodzaje, które najlepiej „pasują” do pola pobudzającego. Inne rodzaje będą miały amplitudy bardzo małe.

Przykład:

Rozkład pola elektrycznego dla kilku rodzajów:	H01	H10	H11
		H02	H20	H12

Pobudzenie:
lub

Odbiór energii - odbywa się na tych samych zasadach, za pomocą sondy lub pętli.

Falowody o przekroju kołowym

Metoda postępowania jest podobna jak dla falowodów prostokątnych. Stosuje się układ współrzędnych walcowych oraz funkcje walcowe.

Wyniki są podobne - dla f < f_gr fale nie mogą się rozchodzić.

Przy f > f_gr występują różne rodzaje pola. Oznaczenia rodzajów - wg miejsc zerowych funkcji Bessella, nieco inne dla falowodów prostokątnych ( inna kolejność ).

Falowód o promieniu a

Rodzaj fali	H11	E01	H21	H01 E11	H31
λgr	3,41a	2,61a	2,06a	1,64a	1,496a
↑ rodzaj podstawowy

Zakres częstotliwości przy rodzaju podstawowym jest mniejszy niż dla falowodu prostokątnego - f_gr2 : f_gr1 = 1,3 : 1.

Rozkład pola dla H11:

Przewód koncentryczny

Główny sposób przenoszenia energii w przewodzie koncentrycznego - fala TEM (rodzaj T).

Rodzajem podstawowym jest rodzaj T o częstotliwości granicznej (f_gr)_podst = 0.

Poza falą TEM możliwa jest również fala TE lub TM.

Największą długość fali λ_gr wśród rodzajów falowodowych ma fala H₁₁

	λgr jest więc proporcjonalne do średniego obwodu przestrzeni między płaszczami.

Przewód koncentryczny może przenosić energię elektromagnetyczną jako falę T przy dowolnych częstotliwościach, począwszy od prądu stałego f=0.

Po przekroczeniu f_gr pierwszego z rodzajów falowodowych (H₁₁) pojawia się inne pole o różnych β i v_f - wystąpią zniekształcenia, wahania mocy itp.

W praktyce stosuje się więc przewody koncentryczne w zakresie


.

Pasmo przenoszenia przewodu koncentrycznego można więc zwiększyć zmniejszając średnicę przewodu.

Wady:

1. trudności produkcyjne ze względu na tolerancję,

2. maleje dopuszczalna natężenia pola - maleje moc

3. rośnie tłumienie fali.

W praktyce :




Tłumienie fal w falowodach

Ścianki w rzeczywistych falowodach mają skończone przewodnictwo - przy przepływie prądów powierzchniowych wydziela się ciepło Joule'a - druty, tłumienie fali.

Przykład 1) Falowód prostokątny

falowód Cu 2,54 × 5,08 mm

Wzrost tłumienia - dla malejącej f - zbliżamy się do f_gr, pole wykazuje silny zanik, dla rosnących f - maleje głębokość wnikania (maleje „przekrój” przewodów dla prądów).

Przykład 2) - Falowód kołowy

2a = 5,08 mm falowód Cu

Szczególnie korzystny przebieg dla rodzaju H₀₁ - malejące tłumienie - następuje koncentracja pola w środku falowodu, pole przy ściankach słabnie, efekt przewyższa malenie głębokości wnikania.

Uwaga - korzystny rodzaj H₀₁ nie jest rodzajem podstawowym!

6.6. Prostopadłościenny rezonator wnękowy

Przypomnienie z obwodówki - Jeżeli w obwodzie LC wzbudzimy drgania elektromagnetyczne o częstotliwości rezonansowej (własnej) układu, wówczas obwód „magazynuje” energię w ten sposób, że ustawicznie zachodzi zamiana energii pola elektrycznego w energie pola magnetycznego i na odwrót. W idealnym obwodzie stan taki może trwać nieskończenie długo - bez strat (pomija się tu wypromieniowanie energii).

Rozpatrzymy rezonator prostopadłościenny, wykonany z doskonałego przewodnika, wypełniony jednorodnym, bezstratnym dielektrykiem

ε, μ = const, σ = 0.

	Równanie falowe dla przebiegu harmonicznego
		Warunek brzegowy na ściance

Stosując metodę rozdzielania zmiennych i spełniając warunek brzegowy otrzymuje się:







m, n, p - liczby całkowite.

Współczynniki (amplitudy) A, B i C nie mogą być dowolne. Podstawiając do div E = =0 otrzymamy:




Pole magnetyczne obliczamy z równania














Z analizy powyższych zależności można wywnioskować, że tylko jeden z indeksów m, n, p, może być równy zeru.

Pole
nie zawiera czynnika typu e^αx, lub e^at, ani amplituda pola nie maleje z odległością, ani nie ma zaniku w czasie - drgania rezonatora są nietłumione.

Podstawiając wzory na E_x, E_y, lub E_z do równania falowego
otrzymujemy wzór na stały χ_mnp, stąd obliczamy częstotliwość rezonansową




Częstotliwości tej odpowiada długość fali w nieograniczonym ośrodku




We wnęce można wzbudzić nieskończenie wielką ilość różnych drgań własnych o różnych częstotliwościach.

W teorii obwodów - tylko jeden rezonans, bo uwzględnia się tylko jeden typ pola. Obecnie różne drgania własne mają różne układy pola.

Rodzaj drgań odpowiadający najbliższej częstotliwości własnej nazywa się rodzajem podstawowym.

Przykład - sześcian a = b = c

rodzaje 110, 101 lub 011




Długość fali drgań własnych rezonatora wnękowego jest rzędu jego wymiarów geometrycznych.

We wzorach na
występują amplitudy A, B i C, dwie z nich są dowolne, trzecia wynika ze związków.

Niech
, gdy A - liczba rzeczywista, to również C jest liczbą rzeczywistą.

Składowe E_x, E_y, E_z są wówczas rzeczywiste, a składowe H_x, H_y, H_z - urojone.

Pole magnetyczne jest przesunięte w fazie o
względem pola elektrycznego.

Oznacza to, że w chwili, gdy E=0 w rezonatorze, pole magnetyczne przyjmuje wartość maksymalną i na odwrót.

Przy drganiach własnych rezonatora następuje nieprzerwana przemiana energii pola elektrycznego w energię pola magnetycznego i na odwrót.

118

tekst został ucięty

zmiana energii zmagazy-nowanej w obszarze

strumień mocy

przez powierzchnię

straty

ciepło Joule'a

praca sił przyłożonych

prąd

przewodnościowy

wchodzi tu m.in. składowa urojona prądu polaryzacyjnego

składowa

rzeczywista prądu polaryzacyjnego

bo w ośrodku (1)

• są to tzw.

współczynniki Fresnela

---