1. Całka nieoznaczona i funkcja pierwotna
   całką nieoznaczoną funkcji f(x) nazywamy jej funkcję pierwotną F(x)

, gdzie F'(x) = f(x)

2. Całkowanie sumy i iloczynu

3. Całkowanie przez części i podstawienie

• Tw. całkowanie przez podstawienie

Niech f(x) będzie funkcją ciągłą i całkowalną w przedziale (α, β). Niech ponadto t=g(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) spełniającą warunek, że α< g(x)< β i posiadającą ciągłą pochodną g'(x). Wówczas:

• Tw. całkowanie przez części

Niech u(x) oraz v(x) będą funkcjami mającymi w pewnym przedziale ciągłe pochodne u'(x) oraz v'(x). Wówczas:

4. Własności całki oznaczonej

• 
  , gdzie F(x) - funkcja pierwotna funkcji f(x)

• 
  

• 
  , gdzie k - stała

• Jeżeli dla x є[a, b] f(x) ≤ g(x) to wówczas
  (analogicznie f(x) ≥ g(x) )

• Jeżeli m ≤ f(x) ≤ M, x є(a, b) to wówczas
  

• Jeżeli c є(a, b) to
  

• 
  

• Całkowanie przez podstawienie

Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w zbiorze wartości ciągłej funkcji t = g(x) mającej ciągłą pochodną g'(x) w przedziale [a, b] to

• Całkowanie przez części

Załóżmy że f(x) i g(x) mają w [a, b] ciągłe pochodne f'(x) i g'(x). Wówczas

5. Zastosowania całek oznaczonych

• Obliczanie pól obszarów na płaszczyźnie

• Obliczanie długości łuku krzywej

• Obliczanie objętości brył obrotowych

• Obliczanie pól powierzchni bocznej brył obrotowych

6. Całki niewłaściwe

• Gdy funkcja jest nieograniczona (czyli np. f(b) = ∞ ), to

• Gdy granice całkowania są nieograniczone, to

7. Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych

Niech funkcja f(x,y) będzie określona w otoczeniu punktu P₀(x_0,y₀). Zależy ona tylko od zmiennej x gdy zmiennej y nadamy stałą wartość y₀. Pochodną tak otrzymanej funkcji f(x,y₀) nazywamy pochodną cząstkową względem x funkcji f(x,y) w punkcie P₀(x_0,y₀) i oznaczamy:

Analogicznie określa się pochodną cząstkową funkcji f(x,y) względem y w punkcie P₀(x_0,y₀).

8. Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych

Niech funkcja f(x,y) będzie określona w otoczeniu punktu P₀(x_0,y₀) i różniczkowalna w tym punkcie. Iloczyny

gdzie dx, dy są dowolnymi przyrostami a pochodne cząstkowe są obliczone w punkcie P₀ nazywamy różniczkami cząstkowymi. Sumę różniczek cząstkowych oznaczmy df i nazywamy różniczką zupełną funkcji f(x,y) w punkcie P₀

9. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

• Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f(x,y) ma ekstremum w punkcie P₀(x_0,y₀) i istnieją pochodne cząstkowe funkcji w tym punkcie to

• Warunek dostateczny istnienia ekstremum

Niech funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe I i II rzędu w otoczeniu punktu P₀ oraz niech:

1. 
   

2. 
   

Wówczas funkcja f(x,y) ma ekstremum w punkcie P₀(x_0,y₀). Jest to minimum (maksimum) gdy
. UWAGA: gdy wyznacznik jest ujemny to funkcja nie ma ekstremów.

10. Twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej jednej zmiennej

Jeśli funkcja F(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe I rzedu w otoczeniu punktu P₀(x_0,y₀) i spełnia warunki:

• F(x₀,y₀) = 0

• 
  ,

to w pewnym otoczeniu punktu x₀ istnieje jednoznacznie określona funkcja y = y(x) spełniająca warunki:

• y = y(x) dla x należących do otoczenia punktu x₀

• w otoczeniu punktu x₀ funkcja jest ciągła i ma ciągłą pochodną określoną wzorem:

11. Ekstrema funkcji uwikłanej jednej zmiennej.

Jeżeli funkcja F(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe II rzędu w otoczeniu punktu P₀(x_0,y₀) i spełnia warunki:

• F(x₀,y₀) = 0

• 
  ,

• 
  ,

to funkcja uwikłana y = y(x) określona wzorem F(x,y) = 0 ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne. Jest to minimum (maksimum) gdy y''(x₀) >(<) 0

12. Całka podwójna po prostokącie i jej własności.

Jeżeli istnieje granica
niezaleznie od wyboru ciągu normalnego podziałów prostokąta P i niezależnie od wyboru punktów (h_ij, l_ij), to mówimy że funkcja f jest całkowalna w prostokącie P, a liczbę I nazywamy jej całką podwójną po prostokącie P i oznaczamy:

Własności całki:

• 
  

• 
  , o ile m ≤ f(x,y) ≤ M dla (x,y) є P.

• Jeśli funkcje f(x,y) oraz g(x,y) są całkowalne w P to ich suma/różnica też jest całkowalna:

13. Całki iterowane.

Niech f(x,y) będzie funkcją określoną i ograniczoną w prostokącie P, P:{(x,y): x є [a,b], y є [c,d]} i niech przy każdym stałym x istnieje całka pojedyncza
. Jest ona (ta całka) funkcją zmiennej x określoną w przedziale [a,b]. Jeżeli ta funkcja jest całkowalna w przedziale [a,b] to całką iterowaną funkcji f(x,y) nazywamy całkę postaci:

14. Zamiana całki podwójnej na iterowaną.

Jeżeli f(x,y) jest ciągła w prostokącie P, to obie całki iterowane istnieją i są równe całce podwójnej

15. Zamiana zmiennych w całce podwójnej.

Jeśli

• funkcje x(u,v) oraz y(u,v) są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi I rzędu w obszarze zawierającym D' oraz jego brzeg,

• odwzorowanie wnętrz obszarów D i D' jest jednoznaczne (różnym punktom D' odpowiadają różne punkty D)

• jakobian przekształcenia(wyznacznik)
  dla (u,v) є D' , to

prawdziwy jest następujący wzór:

16. Zastosowania geometryczne i fizyczne całek podwójnych.

• Obliczanie objętości brył

• Obliczanie pola płata powierzchniowego

• Obliczanie masy obszaru o gęstości powierzchniowej μ(x,y)

• Momenty statyczne względem osi układu obszaru D o gęstości μ(x,y)

• Współrzędne środka ciężkości (środka masy) o gęstości powierzchniowej μ(x,y)

• Moment bezwładności obszaru D o gęstości powierzchniowej μ(x,y) względem:

1. osi OX
   

2. osi OY
   

3. początku układu
   

17. Definicja szeregu liczbowego i jego suma.

Niech dany będzie nieskończony ciąg liczbowy (a_n), a_n є R. Sumę wyrazów tego ciągu nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy:

18. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych.

• Warunek konieczny zbieżności szeregów:
  

• Kryterium całkowe

Jeżeli funkcja f(x) jest nieujemna i malejąca w [1,∞] i jeśli ponadto f(n)=a_n, to

19. Szeregi o wyrazach dowolnych.

20. Zbieżność warunkowa i bezwzględna szeregu liczbowego.

21. Własności szeregów zbieżnych.

22. Szereg potęgowy i jego promień zbieżności.

Ten szereg jest zawsze zbieżny dla x=0.

Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny w punkcie x₀≠0 to jest bezwzględnie zbieżny w przedziale (-|x₀|, |x₀|). Jeżeli szereg nie jest zbieżny dla wszystkich xєR to wśród przedziałów (-|x₀|, |x₀|) istnieje największy. Oznaczmy go (-r, r) liczba r jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego. W przedziale (-r, r) szereg jest zbieżny natomiast w przedziale (-∞, -r)u(r,∞) jest rozbieżny

23. Twierdzenie Cauchy'ego - Hadamarda.

Promień zbieżności szeregu potęgowego oblicza się ze wzoru
, gdzie

Jeśli λ=0 to przyjmujemy r=∞, jeśli λ=∞ to r=0 a szereg jest zbieżny tylko w 1 punkcie, dla x=0

Promień można też obliczać z innego wzoru:

Jeśli istnieje granica

24. Twierdzenie o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów potęgowych.

Niech szereg potęgowy
ma promień zbieżności r>0 i niech

• O różniczkowaniu

wówczas funkcja f(x) jest różniczkowalna w przedziale (-r,r) oraz

• O całkowaniu

wówczas funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale (-r,r) oraz

25. Definicja równania różniczkowego i jego rozwiązania.

26. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

27. Metoda uzmienniania stałej rozwiązania równania różniczkowego liniowego I rzędu.

28. Równania różniczkowe liniowe jednorodne, II rzędu, o stałych współczynnikach i ich rozwiązywanie.

29. Metody rozwiązywania równań różniczkowych liniowych II rzędu o stałych współczynnikach, niejednorodnych.

---