Politechnika Śląska

Wydział AEiI

Kierunek AiR

Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki:

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą

wahadła matematycznego i rewersyjnego.

Grupa IV, sekcja 3

1.Szymon Ciupa

2.Adam Filipek

Gliwice, 14.05.1999

1. Wstęp teoretyczny:

Przyspieszeniem ziemskim nazywamy przyspieszenie swobodnie spadającego ciała, mierzone względem układu odniesienia związanego z Ziemią.

Do wyznaczenia tego przyspieszenia posłużyło nam wahadło. Wahadło jest to ciało stałe, które pod wpływem działania siły ciężkości wykonuje drgania względem nieruchomego punktu lub osi. Rozróżnia się wahadło matematyczne i wahadło fizyczne.

Wahadłem matematycznym nazywamy idealny układ, składający się z nieważkiej i nierozciągliwej nici oraz zawieszonej na tej nici punktowej masy. Dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego jest niewielka, ciężka kulka, zawieszona na cienkiej nici, której długość jest znacznie większa od wymiarów tego ciała. Wahadło matematyczne wychylone z położenia równowagi o kąt  porusza się pod wpływem składowej siły własnego ciężaru. Ruch punktu, w którym działająca na niego siła jest skierowana wzdłuż tej samej prostej w kierunku jakiegoś stałego punktu i wartość tej siły jest proporcjonalna do odległości między tymi punktami, nazywamy ruchem drgającym prostym lub harmonicznym dla niewielkich wychyleń. Z rozwiązania równania różniczkowego drgań harmonicznych mamy:
w przypadku wahadła matematycznego:
z czego wyliczamy
gdzie: g - przyspieszenie ziemskie.

Jeżeli drgające ciało nie może być używane za punkt materialny, to wahadło nazywamy wahadłem fizycznym. Za wahadło fizyczne możemy więc przyjąć każdą bryłę sztywną wahającą się pod wpływem siły ciężkości dokoła osi, nie przechodzącej przez środek masy tej bryły. Wypadkowa sił ciężkości działających na ciało równa się ciężarowi wahadła Q = mg, punktem przyłożenia tej wypadkowej jest środek ciężkości wahadła G.

Okres drgań wahadła fizycznego wynosi:
.

Wahadło matematyczne o długości l_zr=I/ml ma ten sam okres drgań, co dane wahadło fizyczne. Wielkość tą nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Jest więc ona długością wahadła matematycznego, którego okres drgań jest taki sam, jak okres drgań wahadła fizycznego.

Wahadło Katera jest to wahadło rewersyjne, w którym położenia osi zawieszenia są stałe. Składa się ono z metalowej sztaby, wzdłuż której można przesuwać dwie masy o kształcie soczewek. Na sztabie znajdują się dwa ostrza, które są osiami wahań wahadła. Jedno z ostrzy znajduje się pomiędzy masami drugie na zewnątrz ich. Długość zredukowana wahadła rewersyjnego jest to odległość między środkami ciężkości mas wtedy gdy okresy drgań są identyczne dla obu położeń wahadła.

2. Opis ćwiczenia:

Ćwiczenie polegało na wyznaczeniu przyspieszenia ziemskiego.

W pierwszej części ćwiczenia przyspieszenie to było wyznaczane na podstawie okresu drgań wahadła rewersyjnego. Najpierw należało wyznaczyć długość zredukowaną wahadła. W tym celu były dokonywane pomiary czasu trwania 10 okresów wahnięć wahadła zawieszanego na ostrzu A, a następnie na ostrzu B. Pomiary były wykonywane dla różnych odległości mas od siebie (co 3 cm). Następnie został sporządzony wykres zależności okresu drgań wahadła od odległości mas. Z tego wykresu w punkcie przecięcia wykresów dla osi zawieszenia A i B zostało odczytane położenie „ruchomej” masy, po czym został przeprowadzony pomiar czasu trwania 50 okresów dla tego położenia dla obu ostrzy, oraz dla położeń sąsiadujących.

W drugiej części ćwiczenia przyspieszenie ziemskie było wyznaczane przy pomocy wahadła matematycznego. Pomiar polegał na pomiarze czasu 10 wahnięć wahadła dla każdej długości wahadła w zakresie 2040 cm co 2 cm .

Znając okres drgań wahadła matematycznego można obliczyć przyspieszenie ziemskie. Obliczenia są dostępne w dalszej części sprawozdania.

3. Obliczenia i analiza błędów:

Część 1: wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego:

1. Najlepszą zgodność okresów drgań wahadła rewersyjnego względem obu ostrzy uzyskano dla położenia y = 37,8 [cm]. Dla tej długości okresy drgań dla poszczególnych ostrzy obliczono według następującego wzoru:

,

gdzie: n = 50 - ilość zmierzonych okresów drgań, t_(a,b) - czas trwania n okresów drgań dla poszczególnych ostrzy.

2. Wypadkowy okres drgań dla długości zredukowanej obliczono według następującego wzoru:

,

gdzie: T_a = 1,28624 [s] - okres drgań względem ostrza A dla długości zredukowanej, T_b = 1,28662 [s] - okres drgań względem ostrza B dla długości zredukowanej.

3. Wartość przyspieszenia ziemskiego obliczono według następującego wzoru:

,

gdzie: L = 0,4105 [m] - długość zredukowana.

4. Błąd wyznaczania wartości przyspieszenia ziemskiego obliczono z różniczki zupełnej według następującego wzoru:

,

gdzie: T = 0,003 [s] - błąd pomiaru okresu T, równy 1/3 ostatniej dekady miernika cyfrowego, L = 0,00005 [m] - błąd wyznaczania długości zredukowanej.

Część 2: wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego:

1. Okresy drgań dla poszczególnych długości wahadła obliczono według następującego wzoru:

,

gdzie: n = 10 - ilość zmierzonych okresów drgań dla określonej długości wahadła, t_i - czas trwania n okresów drgań dla konkretnej długości wahadła, i = 111 - numer kolejnego pomiaru.

2. Metodą regresji liniowej obliczamy nachylenie charakterystyki T = f ( l ) (UWAGA! Dla charakterystyki T = f ( l ) stosujemy podobne wzory - różnica polega na tym, że w miejsce wartości dotyczących długości l wahadła wstawiamy wartości l ). Korzystamy z następujących wzorów:

- wartość średnia pomiaru długości wahadła;

- wartość średnia pomiaru okresu drgań wahadła;

- współczynnik nachylenia charakterystyki;

- błąd wyznaczania wartości a;

- współczynnik przesunięcia charakterystyki;

- błąd wyznaczania wartości b;

n = 11 - ilość dokonanych pomiarów okresu drgań T i długości l wahadła.

T = f ( l )				T = f ( l )
a [s/m]	b [m/s^2]	a [s/m]	b [m/s^2]	A [s/m]	B [m/s^2]	a [s/m]	b [m/s^2]
1,840	0,549	0,033	0,011	1,946	0,036	0,025	0,014

UWAGA! Przy zastosowaniu metody regresji liniowej należy uwzględnić sytuację, w której okres drgań wahadła dla zerowej długości wahadła wynosi zero (sytuację tę obrazuje na wykresie T = f (l ) prosta koloru czerwonego).

a [s/m]	b [m/s^2]	a [s/m]	b [m/s^2]
2,003	0,004	0,011	0,006

3. Wartość przyspieszenia ziemskiego obliczono według wzoru otrzymanego na podstawie następującego wyprowadzenia:

.

4. Błąd wyznaczania wartości przyspieszenia ziemskiego obliczono z różniczki zupełnej według następującego wzoru:

.

4. Wykresy:

5. Wnioski:

Obie metody wyznaczania wartości przyspieszenia ziemskiego dały podobne wyniki, co może świadczyć o poprawności wykonanego ćwiczenia.

Otrzymane wartości przyspieszenia ziemskiego:

• dla wahadła rewersyjnego:

;

• dla wahadła matematycznego:

.

Na błędy wyznaczania powyższych wartości miały wpływ różne wychylenia wahadeł z położenia równowagi, opory ruchu związane z tarciem w miejscu zawieszenia w przypadku wahadła rewersyjnego, błąd pomiaru miernika cyfrowego oraz niedokładność wyznaczania długości wahadeł.

7

---