SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW

TEMAT NR 1

„STATECZNOŚĆ CIAŁ PŁYWAJĄCYCH”

WYKONAŁ ZESPÓŁ NR 6

JELONEK MICHAŁ

KACZMAREK GRZEGORZ

JAKUBIAK JACEK

ZAJAS JAN

WROŃSKI RADOSŁAW

GRUPA: COWiG 4

1. Wprowadzenie

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wysokości metacentrycznej względem osi podłużnej i poprzecznej metodą doświadczalną.

Na ciało zanurzone działają siły: ciężar G, oraz siła wyporu W. Warunkiem pływania ciała jest równowaga tych sił (G = W). Przy wychyleniu ciała pływającego z pozycji pionowej, wektor wyporu (na skutek zmiany położenia środka ciężkości bryły wyporu) przecina oś pływania w punkcie zwanym metacentrum. Wzniesienie punktu metacentrum ponad środek ciężkości ciała jest miernikiem stanu równowagi ciała pływającego i nazywa się wysokością metacentryczną. Jej wartość można określic analitycznie ze wzoru:

Gdzie:

m - wysokość metacentryczna

J - moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem jego osi obrotu

V - objętość zanurzonej części ciała

a - odległość mierzona w górę od środka wyporu do środka ciężkości ciała i ma wartość dodatnią, gdy środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu.

Wartość wysokości metacentrycznej można również wyznaczyć metodą doświadczalną, korzystając ze wzoru:

Gdzie:

m - wysokość metacentryczna

G' - ciężar obciążnika powodującego wychylenie ciała

b/2 - odległość między osia modelu i położeniem obciążnika G'

W - wypór równy ciężarowi ciała

∆φ - kąt wychylenia odpowiadający wielkości b, wyrażony w radianach

Każdemu stanowi równowagi ciała pływającego odpowiada inna wartość wysokości metacentrycznej. W przypadku równowagi trwałej m>0 ; równowagi obojętnej m=0 ; równowaga chwiejnej m<0. Przeprowadzone przez nas doświadczenie dotyczy jedynie równowagi stałej ( m>0).

2. Opis stanowiska

Stanowisko pomiarowe składa się ze zbiornika z wodą, modelu ciała pływającego (katamaranu o masie 3520g), obciążników G' o masach 200g i 400g oraz płytek: stalowych o masie 436g, winidurowych o masie 118g oraz styropianowych o masie 0g. Na maszcie katamaranu znajdował się obracający się wokół osi pion ze skalą o podziałce wyrażonej w stopniach ( jedna działka odpowiada wartości: 0⁰58'43” ). Temperatura powietrza wynosiła w trakcie pomiarów: 21⁰C, temperatura wody w zbiorniku: 18⁰C. Maszt katamaranu znajduje się w geometrycznym środku jego rzutu poziomego.

Układy płytek:

W ćwiczeniu zastosowano następujące warianty ułożenia płytek:

1. Brak balastu

2. 2 płytki winidurowe

3. 4 płytki winidurowe

4. 2 płytki stalowe

5. 4 płytki stalowe

3. Wyniki doświadczalne i obliczenia.

3.1. Wyznaczanie wysokości metacentrycznej - obrót wokół osi podłużnej, metodą doświadczalną.

Wyniki uzyskane podczas badania metacentrum dla obrotu wokół osi podłużnej zestawiono w poniższej tabeli:

Wariant	Odległość b/2 [m]	odczyt na lewo [ilość podziałek]	oczyt na prawo [ilość podziałek]	Kąt Δφ (L+P) [°]	Kąt Δφ [radiany]
1 (bez balastu)	0,1025	5	4,5	9° 17' 49''	0,162
		0,0950	4	4	7° 49' 44''	0,137
		0,0800	3,5	3,5	6° 51' 1''	0,120
	2 (balast = 2* płytka winidurowa)	0,1025	5	4,5	9° 17' 49''	0,162
		0,0950	4,5	4	8° 19' 6''	0,145
		0,0800	4	3,5	7° 20' 23''	0,128
	3 (balast = 4* płytka winidurowa)	0,1025	5	4,5	9° 17' 49''	0,162
		0,0950	4,5	4	8° 19' 6''	0,145
		0,0800	4	3,5	7° 20' 23''	0,128
	4 (balast = 2* płytka stalowa)	0,1025	5	4,5	9° 17' 49''	0,162
		0,0950	4,5	4	8° 19' 6''	0,145
		0,0800	4	3,5	7° 20' 23''	0,128
	5 (balast = 4* płytka stalowa)	0,1025	5,5	5	10° 16' 32''	0,179
		0,0950	5	4,5	9° 17' 49''	0,162
		0,0800	4,5	4	8° 19' 6''	0,145

Wysokość metacentryczną obliczać będziemy ze wzoru:

Masa ruchomego ciężarka wynosi 0,4 kg.

Aby wyznaczyć wartość wyporu, posłużymy się warunkiem pływania ciała, opisywanym przez równanie:

G = W,

gdzie G to ciężar katamaranu, a W to siła wyporu. Po podstawieniu:

gdzie: m_c - masa całkowita pływaka, ciężarka G' i balastu

ρ_w - gęstość wody odczytana z tablic dla 291K = 998,59 kg/m³

Wysokość metacentryczną ostatecznie obliczono ze wzoru:

Przykładowe obliczenia:

Wyniki obliczeń zestawiono w poniższej tabeli:

Wariant	Odległość b/2 [m]	Kąt Δφ [radiany]	Objętość [m^3]	Wysokość metacentryczna [m]	Uśrednione m [m]
1 (bez balastu)	0,1025	0,162	0,003926	0,128917	0,136
		0,0800		0,137			0,141889
		0,0950		0,120			0,13655
	2 (balast = 2* płytka winidurowa)	0,1025		0,162		0,004162	0,121596	0,123
		0,0800		0,145			0,125958
		0,0950		0,128			0,120212
	3 (balast = 4* płytka winidurowa)	0,1025		0,162		0,004398	0,115063	0,116
		0,0800		0,145			0,119189
		0,137		0,128			0,113752
	4 (balast = 2* płytka stalowa)	0,162		0,162		0,004799	0,105458	0,106
		0,128		0,145			0,10924
		0,145		0,128			0,104257
	5 (balast = 4* płytka stalowa)	0,162		0,179		0,005672	0,080725	0,080
		0,128		0,162			0,082694
		0,162		0,145			0,077829

3.2. Wyznaczanie wysokości metacentrycznej - obrót wokół osi podłużnej, metodą analityczną.

W tej metodzie będziemy korzystali ze wzoru:

Przy obliczaniu J stosujemy podstawowy wzór na moment bezwładności dla prostokątów:

,

gdzie: b - bok przylegający do osi względem której liczymy moment bezwładności

h - drugi bok

Po zastosowaniu wzoru dla powierzchni przecięcia zwierciadła wody przez katamaran, otrzymujemy:

Wielkość a wyznaczamy ze wzoru:

,

gdzie S_c - środek ciężkości ciała

S_w - środek wyporu w położeniu równowagi

Środek wyporu obliczamy z następującej zależności:

,

gdzie h to wysokość części zanurzonej.

Środek ciężkości dla całego układu, liczymy ze wzoru:

,

gdzie:
- masa i środek ciężkości pływaka

- masa i położenie środka ciężkości ciężarka liczone od dolnej krawędzi pływaka

- masa i położenie środka ciężkości płytek liczone od dolnej krawędzi pływaka

Przy czym płytki oraz ciężarek uznajemy za zbudowane z materiału jednorodnego, a więc ich środki ciężkości znajdują się w połowie ich wysokości.

Przyjmujemy też uproszczenie, iż środek ciężkości pływaka znajduje się w jego połowie.

Wysokość ciężarka wynosi 4cm, grubość płytki windurowej 8mm, a stalowej 5mm.

Przykładowe obliczenia, dla przypadku z dwoma płytkami winidurowymi:

a = 0,047705-0,020445 = 0,02603 [m]

Wyniki obliczeń zebrano w tabeli:

Wariant	Kąt Δφ [radiany]	Objętość [m^3]	J [m^4]	Sw [m]	Sc [m]	a [m]	m [m]	m uśrednione [m]
1	0,0950	0,003926	4,864E-04	0,020445	0,046122	0,02568	0,098	0,098
			0,1025						4,864E-04				0,098
			0,0800						4,864E-04				0,098
	2		0,0950				0,004162		4,864E-04	0,021676	0,047705	0,02603	0,091	0,091
			0,1025						4,864E-04				0,091
			0,0800						4,864E-04				0,091
	3		0,0950				0,004398		4,864E-04	0,022907	0,049548	0,02664	0,084	0,084
			0,162						4,864E-04				0,084
			0,120						4,864E-04				0,084
	4		0,145				0,004799		4,864E-04	0,024994	0,058715	0,03372	0,068	0,068
			0,162						4,864E-04				0,068
			0,128						4,864E-04				0,068
	5		0,145				0,005672		4,864E-04	0,029542	0,078107	0,04857	0,037	0,037
			0,179						4,864E-04				0,037
			0,145						4,864E-04				0,037

3.3. Wyznaczanie wysokości metacentrycznej - obrót wokół osi poprzecznej, metodą doświadczalną.

Wyniki uzyskane podczas badania metacentrum dla obrotu wokół osi poprzecznej zestawiono w poniższej tabeli:

Wariant	Odległość b/2 [m]	odczyt na lewo [ilość podziałek]	oczyt na prawo [ilość podziałek]	Kąt Δφ (L+P) [°]	Kąt Δφ [radiany]
1 (bez balastu)	0,1370	1,5	1	2° 26' 48''	0,043
		0,1160	1	1	1° 57' 26''	0,034
		0,0800	0,5	0,5	0° 58' 43''	0,017
	2 (balast = 2* płytka winidurowa)	0,1370	1	1	1° 57' 26''	0,034
		0,1040	0,75	0,5	1° 13' 24''	0,021
		0,0800	0,5	0,5	0° 58' 43''	0,017
	3 (balast = 4* płytka winidurowa)	0,1370	1	1	1° 57' 26''	0,034
		0,1040	1	0,5	1° 28' 5''	0,026
		0,0800	0,5	0,5	0° 58' 43''	0,017
	4 (balast = 2* płytka stalowa)	0,1370	1,5	1	2° 26' 48''	0,043
		0,1040	1	1	1° 57' 26''	0,034
		0,0800	0,5	0,5	0° 58' 43''	0,017
	5 (balast = 4* płytka stalowa)	0,1370	1,5	1,5	2° 56' 9''	0,051
		0,1040	1	1	1° 57' 26''	0,034
		0,0800	0,75	0,5	1° 13' 24''	0,021

W obliczeniach zastosowano identyczny tok postępowania jak w poprzednim podpunkcie. Wyniki zestawiono w tabeli:

Wariant	Odległość b/2 [m]	Kąt Δφ [radiany]	Objętość [m^3]	Wysokość metacentryczna m [m]	Uśrednione m [m]
1 (bez balastu)	0,1370	0,043	0,003926	0,6547	0,7678
		0,1160		0,034			0,6930
		0,0800		0,017			0,9556
	2 (balast = 2* płytka winidurowa)	0,1370		0,034		0,004162	0,7720	0,8703
		0,1040		0,021			0,9376
		0,0800		0,017			0,9014
	3 (balast = 4* płytka winidurowa)	0,1370		0,034		0,004398	0,7305	0,7743
		0,1040		0,026			0,7393
		0,0800		0,017			0,8529
	4 (balast = 2* płytka stalowa)	0,1370		0,043		0,004799	0,5356	0,6085
		0,1040		0,034			0,5083
		0,0800		0,017			0,7817
	5 (balast = 4* płytka stalowa)	0,1370		0,051		0,005672	0,3776	0,4456
		0,1040		0,034			0,4300
		0,0800		0,021			0,5292

3.3. Wyznaczanie wysokości metacentrycznej - obrót wokół osi poprzecznej, metodą analityczną.

Zastosowano identyczny tok postępowania. Tym razem wzór na moment bezwładności przyjmuje postać:

Wyniki umieszczono w tabeli:

Wariant	Kąt Δφ [radiany]	Objętość [m^3]	J [m^4]	Sw [m]	Sc [m]	a [m]	m [m]	m uśrednione [m]
1	0,0950	0,003926	0,00288	0,019402	0,046122	0,025677	0,708	0,708
			0,1025						0,00288				0,708
			0,0800						0,00288				0,708
	2		0,0950				0,004162		0,00288	0,020633	0,047705	0,026029	0,666	0,666
			0,1025						0,00288				0,666
			0,0800						0,00288				0,666
	3		0,0950				0,004398		0,00288	0,021864	0,049548	0,026641	0,628	0,628
			0,162						0,00288				0,628
			0,120						0,00288				0,628
	4		0,145				0,004799		0,00288	0,02395	0,058715	0,033722	0,566	0,566
			0,162						0,00288				0,566
			0,128						0,00288				0,566
	5		0,145				0,005672		0,00288	0,028499	0,078107	0,048566	0,459	0,459
			0,179						0,00288				0,459
			0,145						0,00288				0,459

4. Analiza błędów i wyników.

4.1. Analiza błędów.

Błędy pomiarowe wyznaczonych wartości Df i b określone były przez dokładność przyrządu. Błąd wartości m obliczono na podstawie pochodnej logarytmicznej według wzoru :

gdzie
- błąd wyznaczenia wartości m,

- błąd wyznaczenia wartości b, równy 1 cm

- błąd wyznaczenia wartości kąta wychylenia, równy 0,01745 radiana

Oś poprzeczna:

m doświadczalne [m]	błąd [m]	błąd względny [%]
0,136	0,0177	13,05
0,123	0,0154	12,91
0,116	0,0146	12,91
0,106	0,0134	12,91
0,08	0,0091	11,61

Oś podłużna:

m doświadczalne [m]	błąd [m]	błąd względny [%]
0,7678	0,43252	56,3
0,8703	0,633467	72,8
0,7743	0,532432	68,8
0,6085	0,342905	56,3
0,4456	0,221224	49,6

Błędy są bardzo duże, co wynika przede wszystkim z niedokładności pomiaru kąta. Odczyt ze skali kątowej dokonywany był z błędem równym najmniejszej podziałki, czyli prawie 1°.

Błędy są dużo mniejsze w przypadku obrotu względem osi poprzecznej, gdzie kąty były kilkakrotnie większe.

4.2. Porównanie wyników doświadczalnych i analitycznych.

Obrót wokół osi podłużnej:

Wariant	Środek ciężkości [m]	m doświadczalne [m]	m analityczne [m]	różnica [m]	różnica [%]
1	0,046122	0,136	0,098	0,038	27,94
2	0,047705	0,123	0,091	0,032	26,02
3	0,049548	0,116	0,084	0,032	27,59
4	0,058715	0,106	0,068	0,038	35,85
5	0,078107	0,08	0,037	0,043	53,75

Rozbieżności pomiędzy wartościami wysokości metacentrycznej wyznaczonej oba sposobami okazują się być bardzo duże. Może to wynikać z kilku czynników.

Przede wszystkim popełniono błąd przy doborze ciężarka - okazał się on zbyt duży przez co kąty wychylenia przekraczały 7°, a poza tym zakresem wzór na wyznaczenie m okazuje się niedokładny.

Poza tym, należy zwrócić uwagę na niedokładność przyrządu do pomiaru kątów. Bardzo trudno wykonać z niego precyzyjny odczyt, możliwe więc że popełniono błędy grube odczytu.

Dokonano także wielu uproszczeń, które mogły wpłynąć na końcowy wynik.

Mimo, że rozbieżności są duże, przebieg zmian wysokości metacentrycznej w zależności od obciążenia katamaranu jest poprawny. Ze wzrostem środka ciężkości, zmniejsza się stateczność statku. Zależność tą przedstawia poniższy wykres:

Wykres przedstawia zależność liniową.

Obrót wokół osi poprzecznej:

Wariant	Środek ciężkości [m]	m doświadczalne [m]	m analityczne [m]	różnica [m]	różnica [%]
1	0,046122	0,7678	0,708	0,0598	7,79
2	0,047705	0,8703	0,666	0,2043	23,47
3	0,049548	0,7743	0,628	0,1463	18,89
4	0,058715	0,6085	0,566	0,0425	6,98
5	0,078107	0,4456	0,459	0,0134	3,01

Tym razem kąty nie przekraczały 7°. Poza wariantami II i III, wyniki są zadowalające. Uzyskane tutaj wysokości metacentryczne zwiększają się, pomimo wzrostu wysokości środka ciężkości. Prawdopodobnie popełniono tam błąd gruby. Mógł on wynikać z niedokładności pomiaru kątów, które okazały się jeszcze trudniejsze do odczytu przy mniejszych wychyleniach.

5. Wnioski

1. Pomiar metodą doświadczalną okazał się niewystarczająco dokładny, co może wynikać z niedokładności przyrządów pomiarowych (pion umieszczony na maszcie nie miał idealnej geometrii, jak i również zacinał się co utrudniało poprawny odczyt), popełnionych błędów grubych, a w szczególności z zastosowania niewłaściwego obciążnika G' przy pierwszych pomiarach.

2. Błędy względne pomiarów są mniejsze dla mierzenia wysokości metacentrycznej obiektu względem osi poprzecznej.

3. Niedokładność może również wynikać z niedokładnie pomierzonej masy obciążników, balastu jak i również katamaranu oraz niedokładnie wymiarowanego modelu.

4. Katamaran podczas pomiarów znajdował się cały czas w stanie równowagi trwałej, przy czym daje się zauważyć prawidłowość, że im bardziej model został obciążony, tym mniejsza stawała się jego stateczność (wartość wysokości metacentrycznej malała)

5. Wysokość metacentryczna maleje wraz ze wzrostem położenia środka ciężkości. Potwierdzają to wyniki naszych badań, poza dwoma przypadkami kiedy prawdopodobnie popełniono błąd gruby odczytu.

---