ANALIZA INPUT OTPUT 30 ST, Zarządzanie projektami, Zarządzanie(1)

ANALIZA INPUT - OUTPUT

NOTATKI

SPIS TRECI

	PRZEDMOWA
1.	TABLICA PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH	4
	Wprowadzenie	4
	Wskaniki efektywnoci gospodarczej	7
	Rozszerzona tablica przepyw�w midzygaziowych	9
	Rodzaje bilans�w przepyw�w midzygaziowych	11
	Rodzaje bilans�w przepyw�w midzygaziowych	13
2.	MODEL LEONTIEWA	14
	Wprowadzenie	14
	Model Leontiewa w ujciu kosztowym	14
	Optymalizacja i model Leontiewa	19
	Model Leontiewa w ujciu rzeczowym	21
	Funkcja produkcji w modelu Leontiewa	22
3.	PROBLEMY AGREGACJI BILANS�W PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH	23
	Wprowadzenie	23
	Agregacja bilansu przepyw�w midzygaziowych	23
4.	SOWNICZEK WANIEJSZYCH POJ	27
5.	LITERATURA	28

PRZEDMOWA

Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa

ROZDZIA I

TABLICA PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH

WPROWADZENIE

Analiza input - output (ang. input - output analysis), zwana take analiz przepyw�w midzygaziowych lub analiz nakad�w i wynik�w, stanowi rodzaj rachunku ekonomicznego sucego do badania stanu i struktury zoonych ukad�w gospodarczych.

Zoono ukadu oznacza, e mona wyr�ni w nim pewn liczb gazi, z kt�rych kada wytwarza okrelony produkt inny ni pozostae gazie.

Wielko analizowanego ukadu moe by bardzo r�na - moe nim by zar�wno caa gospodarka narodowa, jak r�wnie przedsibiorstwo produkcyjne.

Przykadowo analiza moe dotyczy:

w skali mikro - wielozakadowej firmy lub zespou firm powizanych wizami kooperacyjnymi.
w skali makro - gospodarki narodowej, w kt�rej wyr�niono takie gazie jak:

przemys i rzemioso,
rolnictwo i lenictwo,
budownictwo,
transport i czno,
handel i usugi.

Opr�cz wspomnianej wyej gaziowej struktury ukadu gospodarczego zakadamy dodatkowo, e:

ukad jest zamknity - dla kadej gazi rodkami produkcji s produkty wytworzone w tym ukadzie,
ukad jest statyczny - nakady na produkcj w danym okresie s produktami wytworzonymi w tym samym okresie,
produkcja jest niesubstytucyjna - produkt�w danej gazi nie mona zastpi produktami innych gazi,
produkcj globaln danej gazi (czyli og� wytworzonych w tej gazi produkt�w) mona podzieli na dwie czci: cz przeznaczon na cele produkcyjne ukadu (przepywy midzygaziowe) i cz pozosta - produkcj kocow (finaln).

Jak zobaczymy p�niej, cz powyszych zaoe mona uchyli (dotyczy to w szczeg�lnoci zaoenia o zamknitoci ukadu).
PRZYKAD
Rozwamy ukad gospodarczy o trzech, wzajemnie ze sob powizanych gaziach (por. rysunek).
Schemat powiza pomidzy gaziami rozwaanego ukadu gospodarczego. Produkcja kadej z gazi moe oddziaywa na wielko produkcji pozostaych.
Za�my, e w pewnym okresie czasu:
w gazi I:

w procesie produkcji zuyto wasne wyroby o wartoci 4 jednostek pieninych (j.p.) oraz przekazano na cele produkcyjne do gazi II i III wyroby o wartoci 11 j.p. oraz 7 j.p,
warto pozostaej produkcji gazi ma warto 30 j.p. (por. poniszy rysunek);

Podzia produkcji gazi I. Cz produkcji o wartoci 4+11+7=22 j.p. jest zuywana w ukadzie do produkcji. Pozostae produkty tej gazi maj warto 30 j.p.
w gazi II:

w celach produkcyjnych zuyto wasne wyroby o wartoci 1j.p, przekazano gaziom I i III wyroby o wartoci odpowiednio 14 j.p. i 9 j.p.,
warto pozostaych produkt�w gazi jest r�wna 20 j.p. (por. poniszy rysunek);

Podzia produkcji gazi I, II.
W gazi III:

w procesie produkcji zuyto wasne wyroby o wartoci 2 j.p. i przekazano gaziom I i II produkcj o wartoci odpowiednio 8 j.p. oraz 17 j.p.
pozostaa produkcja tej gazi ma warto 10j.p. (por. rysunek).

Podzia produkcji w ukadzie gospodarczym.
Na podstawie powyszych informacji moemy w szczeg�lnoci stwierdzi, e:

wartoci wyrob�w przekazywanych pomidzy gaziami i zuywanej w procesie produkcyjnym, czyli wartoci tzw. przepyw�w midzygaziowych s nastpujce (w j.p.): 4,11,7 (z gazi I), 14,1,9 (z gazi II), 8,17,2 (z gazi III);
warto wyrob�w nie zuytych w procesie produkcji, czyli warto produkcji kocowej, kolejnych gazi jest r�wna: 30, 20 oraz 10 (j.p.);
warto wszystkich wyrob�w wytworzonych w poszczeg�lnych gaziach, czyli produkcja globalna gazi, jest r�wna 52=4+11+7+30, 44=14+1+9+20 oraz 37=8+17+2+10 (j.p.) odpowiednio w gazi I,II,III;
koszty materia�w (dalej okrelane mianem koszt�w materiaowych) zuytych do produkcji s nastpujce:

w gazi I: 4+14+8=26j.p., w gazi II: 11+1+17=29 j.p, w gazi III: 7+9+2=18 j.p.;

nadwyka produkcji globalnej ponad koszty materiaowe, tzw. warto dodana (na kt�r w g�wnej mierze skadaj si pace oraz wypracowany zysk) w poszczeg�lnych gaziach ukadu jest r�wna: w gazi I: 52-26=26 j.p, w gazi II: 44-29=15 j.p, w gazi III: 37-18=19 j.p.

Informacje o wielkoci przepyw�w midzygaziowych, produkcji globalnej i kocowej poszczeg�lnych gazi wygodnie jest przedstawia w ujciu tabelarycznym w postaci tablicy przepyw�w midzygaziowych. W celu jej prezentacji wprowadmy nastpujce oznaczenia:
X_i- warto produkcji globalnej i-tej gazi (j.p.),
Y_i - warto produkcji kocowej i-tej gazi (j.p.),
x_ij - warto produkcji i-tej gazi przekazana w celach produkcyjnych do j-tej gazi (j.p.),
D_j- warto dodana i - tej gazi (suma pac x_oj oraz zysk�w z_j ) (j.p.).
Schemat bilansu przepyw�w midzygaziowych dla tr�jgaziowego ukadu gospodarczego przedstawia ponisza tablica.

produkcja globalna X_i	przepywy midzygaziowe x_ij			produkcja kocowa Y_i
X₁	x₁₁	x₁₂	x₁₃	Y₁
X₂	x₂₁	x₂₂	x₂₃	Y₂
X₃	x₃₁	x₃₂	x₃₃	Y₃
wart. dodana D_j	D₁	D₂	D₃
prod. globalna X_j	X₁	X₂	X₃

Tablica przepyw�w dla rozwaanego w przykadzie ukadu ma nastpujc posta

produkcja globalna	przepywy midzygaziowe			produkcja kocowa
52	4	11	7	30
44	14	1	9	20
37	8	17	2	10
D_j	26	15	19
X_j	52	44	37

Uog�lnijmy rozwaania ostatniego przykadu. Tablica przepyw�w midzygaziowych dla ukadu gospodarczego o n gaziach ma posta przedstawion w poniszej tabeli. Tablica skada si z trzech zasadniczych czci. rodkowa cz zawiera wartoci przepyw�w midzygaziowych w postaci macierzy
, druga - wartoci produkcji globalnej (
) i kocowej (
) poszczeg�lnych gazi ukadu. Ostatnia, trzecia cz bilansu zawiera informacje o wartociach dodanych dla kolejnych gazi, z wyr�nionymi skadnikami - pacami (x_0j) i zyskami (z_j).

X_i

x_ij

Y_i

X₁

x₁₁

x₁₂

...

x_1j

...

x_1n

Y₁

X₂

x₂₁

x₂₂

...

x_2j

...

x_2n

Y₂

...

x_i1

x_i2

...

x_ij

x_in

Y_i

...

x_n1

x_n2

...

x_nj

...

x_nn

Y_n

x_oj

x₀₁

x₀₂

...

x_oj

...

x_0n

z₁

z₂

...

z_j

...

z_n

X₁

X₂

...

X_j

...

X_n

R�WNANIA BILANSOWE
Dla kadej z gazi ukadu zachodzi r�wnanie bilansowe podziau produkcji:
,
produkcja globalna gazi =
zuycie produkcyjne wyrob�w tej gazi
+
produkcja kocowa gazi.
Dla caego ukadu gospodarczego mamy ukad r�wna bilansowych podziau produkcji:
Z drugiej strony j - ta kolumna macierzy przepyw�w midzygaziowych
zawiera informacje o wartoci nakad�w na produkcj j - tej gazi pochodzcych z kolejnych gazi ukadu (koszty materia�w). Reszta to tzw. warto dodana D w danej gazi. Mamy zatem dla dowolnej gazi j r�wnanie bilansowe koszt�w:
,
produkcja globalna = koszty materiaowe + warto dodana.
Dla caego ukadu mamy ukad r�wna bilansowych podziau koszt�w:
Z r�wna tych otrzymujemy tzw. warunek r�wnowagi
.
Skadnikami wartoci dodanej s zysk i pozostae elementy koszt�w produkcji: koszty robocizny (pace), warto zuytych rodk�w trwaych (amortyzacja), podatki itp. Pozycje te s wyodrbnione w osobnym wierszu lub wierszach bilansu przepyw�w midzygaziowych.
Dla uproszczenia bdziemy w wikszoci dalszych rozwaa zakadali, e warto dodana jest sum pac i zysku:
PRZYKAD (r�do: Tomaszewicz . [red.] Przepywy midzygaziowe. Elementy teorii. Uniwersytet �dzki,1979)
W modelu Francois Quesnay'a z 1766 roku w gospodarce francuskiej zostay wydzielone dwa dziay:

farmerzy (rolnictwo),
klasa jaowa (przemys i usugi).

Wystpujca ponadto w modelu klasa wacicieli jest traktowana jako grupa odbiorc�w produktu finalnego.
W modelu tym zaoono, e:

rolnictwo zuywa na wasne potrzeby 40% wartoci swojej produkcji globalnej,
produkty rolnicze o wartoci 1 mld. liwr�w wymagaj przemysowych rodk�w produkcji o wartoci 0,2 mld. liwr�w,
produkcja przemysu i usug o wartoci 1 mld. liwr�w wymaga zuycia produkcji rolniczej o wartoci 1 mld. liwr�w,
przemys i usugi nie zuywaj wasnych produkt�w,
waciciele otrzymuj produkt kocowy w postaci produkt�w rolniczych i wyrob�w przemysowych o wartoci po 1 mld. liwr�w.

Zbudujemy odpowiadajc temu modelowi tablic przepyw�w midzygaziowych.
Oznaczmy symbolami
oraz
warto produkcji globalnej odpowiednio rolnictwa i przemysu (z usugami). Z zamieszczonych informacji wynika nastpujca posta tablicy przepyw�w (wszystkie wielkoci wyraone w mld. liwr�w).

Ga	produkcja globalna	przepywy midzygaziowe		produkcja kocowa
		rolnictwo	przemys
rolnictwo				1
przemys			0	1

Z r�wna bilansowych podziau produkcji wynika wic, e:
,
.
Std otrzymujemy
. Wartoci dodane s r�wne D₁=5-(2+1)=2, D₂=2-(2+0)=0 (j.p.) i ostatecznie tablica przepyw�w midzygaziowych ma nastpujc posta (wszystkie wartoci s wyraone w mld. liwr�w):

Ga	produkcja globalna	przepywy midzygaziowe			produkcja kocowa
		rolnictwo		przemys
rolnictwo	5	2		2`	1
przemys	2	1		0	1
wart. dodana			2	0
produkcja globalna			5	2

WSKANIKI EFEKTYWNOCI GOSPODARCZEJ
Dane zamieszczone w tablicy przepyw�w midzygaziowych umoliwiaj obliczenie dodatkowych wielkoci charakteryzujcych cay ukad gospodarczy lub jego wybrane gazie. Zaliczy mona do nich midzy innymi:

koszty materiaowe,
koszty produkcji,

a take wskaniki efektywnoci proces�w gospodarczych:

wsp�czynnik materiaochonnoci,
rentowno.

Z niekt�rymi z tych wielkoci zetknlimy si w pierwszym z prezentowanych przykad�w. Poniej przedstawimy bardziej formalne definicje tych wielkoci.
KOSZTY MATERIAOWE, MATERIAOCHONNO

Dla i - tej gazi koszty materiaowe wyraaj si wzorem:

,
czyli s sum element�w j - tej kolumny macierzy przepyw�w midzygaziowych X = [x_{i j}].
KM_j jest r�wne wartoci wyrob�w zuytych w celach produkcyjnych w gazi j.

Koszty materiaowe KM caego ukadu gospodarczego s sum koszt�w materiaowych jego poszczeg�lnych gazi:

.
KM r�wne jest cznej wartoci wszystkich materia�w zuytych przez ukad gospodarczy w procesie produkcyjnym.
Z r�wna bilansowych wynika, e dla dowolnej gazi (a take dla caego ukadu) zachodzi zwizek:
Produkcja globalna = koszty materiaowe + pace + zysk.

Wsp�czynnik materiaochonnoci (materiaochonno) j - tej gazi oraz caego ukadu s odpowiednio r�wne

oraz
.

Wsp�czynnik materiaochonnoci gazi (caego ukadu) jest r�wny redniemu kosztowi materia�w zuywanych w celu uzyskania w danej gazi (w caym ukadzie) produkcji o wartoci jednostkowej (1 j.p).

KOSZTY PRODUKCJI
Koszty produkcji (KP) s sum koszt�w materiaowych i pac:

dla j - tej gazi s r�wne:

dla caego ukadu gospodarczego:

.
RENTOWNO
Rentowno jest ilorazem wypracowanego zysku do koszt�w produkcji:

dla j - tej gazi:

dla caego ukadu gospodarczego:

.
Rentowno (gazi, ukadu gospodarczego) informuje o redniej wielkoci wypracowanego zysku przypadajcego na jednostk poniesionych koszt�w produkcji (w gazi, ukadzie gospodarczym).
POPYT PRODUKCYJNY
Popyt produkcyjny (poredni) na wyroby danej gazi jest r�wny wartoci zuytych w procesie produkcyjnym wyrob�w tej gazi:

popyt produkcyjny na wyroby i - tej gazi jest r�wny:

popyt produkcyjny caego ukadu gospodarczego jest r�wny sumie popyt�w produkcyjnych wyrob�w jego gazi:

.
Z r�wna bilansowych wynika, e dla kadej gazi (i caego ukadu) mamy r�wno:
Produkcja globalna = popyt produkcyjny + produkcja kocowa.
Jeli dodatkowo dysponujemy informacjami o:
liczbie L_j pracownik�w zatrudnionych w j - tej gazi,
wartoci ST_j produkcyjnych rodk�w trwaych (budynki, urzdzenia, itp.) w j - tej gazi,
moemy obliczy wartoci dodatkowych wskanik�w charakteryzujcych proces wytwarzania w danej gazi:

pracochonno produkcji j - tej gazi wyraa si liczb pracujcych w j - tej gazi przypadajca na jednostkow warto produkcji tej gazi:

;

wydajno pracy j - tej gazi - warto produkcji w j - tej gazi przypadajca na jednego zatrudnionego tam pracownika:

;

majtkochonno produkcji j - tej gazi - Warto produkcyjnego majtku trwaego w j - tej gazi przypadajca na jednostk produkcji tej gazi:

;

produktywno majtku trwaego j - tej gazi - warto produkcji j - tej gazi przypadajca na jednostkow warto produkcyjnych rodk�w trwaych tej gazi:

;

techniczne uzbrojenie pracy w j - tej gazi - warto produkcyjnego majtku trwaego w j - tej gazi przypadajca na jednego tam zatrudnionego:

.
PRZYKAD
W przypadku gospodarki opisanej tablic przepyw�w midzygaziowych

X_i	x_ij			Y_i
100	20	10	30	40
150	25	45	45	35
160	15	60	55	30
x_oj	20	20	5
z_j	20	15	25
X_j	100	150	160

moemy wnioskowa midzy innymi, e:

ga II zuya w procesie produkcyjnym produkty gazi III o wartoci 60 j.p, a ga I przekazaa gazi II wasne wyroby o wartoci 10 j.p.
w celach produkcyjnych ga III zuya wyroby gazi I o wartoci 30 j.p., wyroby gazi II o wartoci 45 j.p. oraz wasne produkty o wartoci 55j.p.
czny zysk, r�wny sumie zysk�w w poszczeg�lnych gaziach, jest r�wny 20+15+25 = 60 (j.p).
Fundusz pac w gospodarce, r�wny sumie wartoci pac we wszystkich gaziach, wynosi: 20+20+5=45 (j.p).
Produkcja globalna ma warto 100, 150 i 160 (j.p.) odpowiednio dla gazi I,II,III. Warto produkcji globalnej caej gospodarki jest r�wna 100+150+160 = 410 (j.p).
Produkcja kocowa ma warto 40, 35 i 30 (j.p.) odpowiednio dla gazi I,II,III. Warto produkcji kocowej gospodarki jest wic r�wna 40+35+30=105 (j.p).
Zuycie porednie (produkcyjne) produkt�w danej gazi jest r�wne:

w gazi I: 20 + 10 + 30 = 60 (j.p.),
w gazi II: 25 + 45 + 45 = 115 (j.p.),
w gazi III: 15 + 60 + 55 = 130 (j.p.),
w caym ukadzie: 60+115+130=305 (j.p).

Koszty materiaowe ksztatuj si na poziomie:

w gazi I: 20 + 25 + 15 = 60 (j.p.),
w gazi II: 10 + 45 + 60 = 115 (j.p.),
w gazi III: 30 + 45 + 55 = 130 (j.p.),
w caym ukadzie 60 + 115 + 130 = 305 (j.p.).

Materiaochonno jest r�wna:

w gazi I: 60/100 = 0,6,
w gazi II: 115/150,
w gazi III: 130/160,
w caym ukadzie 305/410.

Koszty produkcji wynosz:

w gazi I: 20 + 25 + 15 + 20 = 100 - 20 = 80 (j.p.),
w gazi II: 10 + 45 + 60 + 20 = 150 - 15 = 135 (j.p.),
w gazi III: 30 + 45 + 55 + 5 = 160 - 25 = 135 (j.p.),
w caym ukadzie 80+135+135=350 (j.p).

Rentowno poszczeg�lnych gazi i caego ukadu jest r�wna:

gazi I: 20/80
gazi II: 15/135
gazi III: 25/135
caego ukadu: 60/350.

ROZSZERZONA TABLICA PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH
Struktura publikowanych bilans�w odnoszcych si do gospodarki narodowej jest na og� znacznie bardziej zoona ni zaprezentowana do tej pory.
Przypomnijmy, e dotychczas konstruowane tablice przepyw�w midzygaziowych dotyczyy ukad�w zamknitych (a wic takich, w kt�rych nie byo wymiany towarowej z „reszt wiata”). Obecnie uchylimy to zaoenie, dopuszczajc moliwo importu oraz eksportu towar�w i usug.
Dokonamy bardziej dokadnego podziau produkcji kocowej i wartoci dodanej otrzymujc tablic o strukturze zblionej do bilans�w konstruowanych dla rzeczywistych ukad�w gospodarczych.
Wielko pierwszej czci tablicy, zawierajcej wartoci przepyw�w midzygaziowych, zaley od liczby wyr�nionych w gospodarce gazi. Przykadowo w publikowanych w ostatnich latach przez GUS tablicach przepyw�w midzygaziowych dla Polski wyr�niono 38 gazi.
W drugiej czci tablicy charakteryzujcej produkcj kocow (popyt finalny) podawane s wartoci jej skadnik�w:

spoycia indywidualnego (ludnoci z dochod�w osobistych) - C,
pozostaego spoycia (spoycie zbiorowe - wydatki rzdowe) - G,
nakad�w inwestycyjnych - I,
przyrostu zapas�w (rodki obrotowe rezerwy) - R,
eksportu - E.

W trzeciej czci tablicy charakteryzujcej warto dodan wyr�nia si:

amortyzacj - am,
import - imp,
koszty niematerialne, w tym wynagrodzenia z narzutami i pozostae koszty niematerialne - x₀,
akumulacj operacyjn, w tym podatki, zyski, dopaty i inne obcienia - z.

Schemat rozszerzonej tablicy przepyw�w midzygaziowych dla gospodarki narodowej przedstawia ponisza tabela

							Y_i
X_i	x_{i j}						C_i	G_i	I_i	R_i	E_i
X₁	x₁₁	x₁₂	...	x_1j	...	x_1n	C₁	G₁	I₁	R₁	E₁
X₂	x₂₁	x₂₂	...	x_2j	...	x_2n	C₂	G₂	I₂	R₂	E₂
...	...	...	...	...	...	...
X_i	x_i1	x_i2	...	x_ij		x_in	C_i	G_i	I_i	R_i	E_i
...	...	...	...	...	...	...
X_n	x_n1	x_n2	...	x_nj	...	x_nn	C_n	G_n	I_n	R_n	E_n
imp_j	imp₁	imp₂	...	imp_j	...	imp_n	C_imp	G_imp	I_imp	R_imp	E_imp
am_j	am₁	am₂	...	am_j		am_n
x_oj	x₀₁	x₀₂	...	x_oj	...	x_0n
z_j	z₁	z₂	...	z_j	...	z_n
X_j	X₁	X₂	...	X_j	...	X_n

Skadniki rozszerzonego bilansu przepyw�w midzygaziowych speniaj r�wnania bilansowe:
Produkcja globalna = zuycie produkcyjne + produkcja kocowa,
czyli:
oraz
Produkcja globalna = koszty materiaowe + warto dodana,
.
PRZYKAD
W gospodarce pewnego kraju, mona wyr�ni trzy gazie: przemys, rolnictwo i handel/transport.
Poniej zestawiono szereg danych statystycznych charakteryzujcych gospodark pewnego kraju.
1. Przemys:

zuywa wasne produkty o wartoci 100 j.p, produkty pochodzenia rolniczego o wartoci 25 j.p,
korzysta z usug handlu i transportu o wartoci 10 j.p,
amortyzacja maszyn jest r�wna 10 j.p,
pace i pozostae koszty niematerialne wynosz 30 j.p, zyski 20 j.p,
podatki stanowi 10% wartoci produkcji globalnej gazi.

2. Rolnictwo:

zuywa wasn produkcj o wartoci 10 j.p,
korzysta z usug handlu i transportu oraz produkcji przemysowej o wartoci odpowiednio 15 i 20 j.p,
pace i inne koszty niematerialne maj warto 20 j.p,
zysk wynosi 15 j.p, a podatki 5 j.p,
koszty amortyzacji sprztu wynosz 5 j.p.

3. Handel/transport:

wykorzystuje wyroby przemysowe o wartoci 25% cakowitego zuycia produkcyjnego wyrob�w przemysowych w dw�ch pozostaych gaziach,
korzysta z wasnych usug o wartoci 10 j.p,
warto amortyzacji jest r�wna poowie wartoci zuytych w tej gazi wyrob�w przemysowych,
pace inne koszty niematerialne wynosz 30 j.p. i s dwukrotnie wiksze od wypracowanego w tej gazi zysku,
podatki stanowi 20% koszt�w materiaowych i wynosz 10 j.p.

Produkcj kocow dzielimy na spoycie (indywidualne i zbiorowe) wraz z inwestycjami i eksport.
Spoycie wraz z inwestycjami stanowi w przemyle 60%, a w pozostaych gaziach 80% wartoci produkcji kocowej.
Na podstawie powyszych informacji zbudowano bilans przepyw�w midzygaziowych. Przedstawia go ponisza tablica (liczby zostay zaokrglone do pierwszego miejsca po przecinku).

Ga	X_i	x_ij			spoycie + inwestycje		eksport
		przemys	rolnictwo	handel-transport
przemys	216,7	100	20	30	40,0	26,7
rolnictwo	90	25	10	10	36	9
handel-trans.	110	10	15	10	60	15
amortyzacja		10	5	15
pace		30	20	30
zysk		20	15	15
podatki		21,7	5	10
X_j		216,7	90	110

Rozszerzona tablica przepyw�w midzygaziowych pozwala midzy innymi na obliczenie nastpujcych wielkoci charakteryzujcych rozw�j gospodarczy kraju (oznaczenia takie jak w rozszerzonej tablicy przepyw�w midzygaziowych):

salda handlu zagranicznego:

,
gdzie
;

dochodu narodowego wytworzonego:

dochodu narodowego wytworzonego (brutto):

dochodu narodowego podzielonego:

dochodu narodowego podzielonego (brutto):

.
PRZYKAD
Rozwamy ukad gospodarczy o nastpujcej tablicy przepyw�w midzygaziowych

X_i	x_ij			C_i+G_i+I_i+R_i	E_i
40	20		10	7	3
60	5		30	20	5
imp_j	2		3	4	2
am_j	5	6
x_oj	6	7
z_j	2	4
X_j	40	60

Na podstawie zawartych w niej danych atwo obliczy dla rozwaanego ukadu:
SHZ = 3 + 5 - ( 2 + 3 + 4) = -1 (j.p.),
DNW = 6 + 7 + 2 + 4 = 19 (j.p.),
DNWB = 19 + 5 + 6 = 30 (j.p.),
DNP = 19 - (-1) = 20 (j.p.),
DNPB = 20 + 5 + 6 = 31 (j.p.).
RODZAJE BILANS�W PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH
Jak ju wspomniano, bilanse przepyw�w midzygaziowych mog by konstruowane dla r�nych ukad�w gospodarczych. W szczeg�lnoci mog by nimi: caa gospodarka narodowa, region lub regiony kraju, grupa przedsibiorstw lub pojedyncza firma. W wymienionych przypadkach moemy m�wi o bilansach dla gospodarki narodowej, bilansach regionalnych lub midzyregionalnych, gaziowych, czy te bilansach dla pojedynczych przedsibiorstw. Zauwamy, e pojcie gazi zaley od stopnia zoonoci i charakteru badanego ukadu.
Poniej om�wione zostan pewne praktyczne aspekty konstruowania bilans�w dla gospodarki Polski. Przede wszystkim dokadniejszego sprecyzowania wymaga pojcie gazi bilansu. Przypomnijmy, uczynione na pocztku zaoenie, e kada z gazi produkuje sobie waciwy produkt, kt�ry nie jest substytucyjny z produktami pozostaych gazi. Gdyby jednak rozumie to zbyt dosownie, to z uwagi na olbrzymi liczb r�nych produkt�w, otrzymany bilans (o ile w og�le moliwy do uzyskania) byby zupenie nieczytelny. Z tego wzgldu konieczne jest dokonanie pewnej agregacji (o zagadnieniu tym bdzie jeszcze mowa w czci trzeciej), polegajcej na tym, e pokrewne sobie produkty czy si otrzymujc ich reprezentanta. Podobnie czyni si z produkujcymi te wyroby przedsibiorstwami.
GA W BILANSIE PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH
W praktyce konstruowania bilans�w przepyw�w midzygaziowych dla gospodarki narodowej mona wyr�ni dwa okrelenia gazi - przez ga mona rozumie:

zesp� przedsibiorstw wytwarzajcych jednorodny produkt lub zesp� jednorodnych produkt�w - takie okrelenie prowadzi do tzw. klasyfikacji podmiotowej;
og� proces�w technologicznych dajcych w efekcie jeden okrelony produkt (towar) - okrelenie to prowadzi do tzw. klasyfikacji przedmiotowej.

PRAKTYCZNE ASPEKTY KONSTRUKCJI BILANS�W PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH
W bilansach konstruowanych dla gospodarki polskiej zastosowano w kolumnach klasyfikacj podmiotow opart na kryterium przewaajcego rodzaju dziaalnoci produkcyjnej.
Z uwagi na to, e przedsibiorstwo rzadko kiedy produkuje jeden rodzaj wyrobu, lecz produkuje ich wiele, klasyfikacj podmiotow opiera si o kryterium przewaajcego rodzaju dziaalnoci produkcyjnej.
Dane przedsibiorstwo wcza si do tej gazi, kt�ra odpowiada g�wnemu rodzajowi dziaalnoci przedsibiorstwa (tak metod klasyfikacji nazywa si metod przedsibiorstw).
Wiersze bilansu odpowiadaj klasyfikacji przedmiotowej. Gazie odpowiadaj produktom (a dokadniej ich zagregowanym grupom). Podstaw tak konstruowanych bilans�w stanowi Europejska Klasyfikacja Dziaalnoci oraz Klasyfikacje: wyrob�w, usug i obiekt�w budowlanych.
Omawian struktur tablicy zawierajcej wartoci przepyw�w midzygaziowych przedstawia schematycznie ponisza tabela

Gazie w/g klasyfikacji przedmiotowej (klasyfikacja met. produkt�w)	Gazie w/g klasyfikacji podmiotowej (klasyfikacja met. przedsibiorstw)
	1	2	...	n
1	x₁₁	x₁₂	...	x_1n
2	x₂₁	x₂₂	...	x_2n
...	...	...	...	...
n	x_n1	x_n2	...	x_nn

Pozostae elementy bilansu przepyw�w midzygaziowych (produkcja kocowa, warto dodana) s umieszczone w tych samych co dotychczas miejscach.
PRZYKAD
Rozpatrzmy ukad gospodarczy, w kt�rym wyr�niono trzy gazie:

metod przedsibiorstw: 1 - przemys wydobywczy ropy naftowej (WYD), 2 - budownictwo (BUD), 3 - rolnictwo (ROL);
metod produkt�w: 1 - ropa naftowa i jej pochodne (ROPA), 2 - artykuy budowlane (ABUD), 3 - artykuy rolnicze (AROL).

Firma, kt�rej dominujcym profilem dziaalnoci jest wydobycie ropy naftowej, kt�ra wytwarza dodatkowo cegy oraz grabie, w klasyfikacji podmiotowej zostaaby zaliczona do gazi WYD. Kolejne wyroby tej firmy w klasyfikacji przedmiotowej zostayby uznane odpowiednio za wyroby gazi ROPA, ABUD, AROL. Przepywy midzygaziowe produkcji tej firmy mogyby da niezerowy wkad do element�w nastpujcej tablicy

Gazie	Gazie (metod przedsibiorstw)
(metod produkt�w)	WYD	BUD	ROL
ROPA
ABUD
AROL

WARIANTY BILANS�W PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH PUBLIKOWANYCH PRZEZ GUS
W ostatnich latach GUS opracowuje trzy warianty rocznego bilansu gospodarki Polski r�nice si sposobem ujcia:

usug materialnych,
d�br pochodzcych z importu.

Wariant pierwszy - elementy bilansu s obliczane na podstawie cen paconych przez ostatecznych odbiorc�w (rynkowych cen zakupu). W ujciu tym mara handlu i import stanowi cz przepyw�w midzygaziowych.
Wariant drugi - elementy bilansu s obliczane na podstawie cen uzyskiwanych przez producent�w, przy czym w wartoci przepyw�w midzygaziowych uwzgldniono take warto d�br i usug pochodzcych z importu. Wyodrbnione zostay narzuty z tytuu mary handlowej i koszt�w usug transportowych.
Wariant trzeci - elementy bilansu s obliczane na podstawie cen uzyskiwanych przez producent�w. Ujcie to zawiera osobno tablic przepyw�w d�br krajowych i pochodzcych z importu.
Do niedawna bilanse przepyw�w midzygaziowych dla Polski, podobnie jak innych kraj�w socjalistycznych, byy sporzdzane w systemie bilans�w materialnych (ang. Material Product System, w skr�cie MPS). Bilanse powstaway na podstawie produkcji jednostek gospodarki narodowej zaliczanych do sfery produkcji materialnej. W krajach o gospodarce rynkowej stosowano system rachunk�w narodowych (ang. System of National Accounts, w skr�cie SNA). Podstawowa r�nica midzy tymi systemami jest zawarta w okreleniu dziaalnoci produkcyjnej. W systemie MPS dziaalno produkcyjn stanowi dziaania ograniczone do wytwarzania d�br materialnych (a wic produkcja materialna i usugi materialne - np. usugi transportowe, remontowe itp). W systemie SNA mianem produkcji okrela si wszelk dziaalno odnoszc si do wytwarzania d�br i usug (a wic take usugi niematerialne takie jak np. ubezpieczenia).
BILANS PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH W UJCIU RZECZOWYM
Przy zaoeniu, e produkty poszczeg�lnych gazi gospodarki s jednorodne, mona skonstruowa bilans przepyw�w midzygaziowych w ujciu rzeczowym, w kt�rym poszczeg�lne jego elementy wyraone s w jednostkach naturalnych (tony, sztuki,
, itp).
Z pomoc oznacze:
- wielko (jednostki naturalne) produktu globalnego i -tej gazi,
- wielko przepywu od gazi i -tej do j-tej (w jednostkach naturalnych i -tej gazi),
- wielko produktu kocowego i -tej gazi (w jedn. naturalnych),
moemy zapisa og�lny schemat bilansu przepyw�w midzygaziowych. Przedstawia go ponisza tablica.

Q_i	q_ij				q_i
Q₁	q₁₁	q₁₂	...	q_1n	q₁
Q₂	q₂₁	q₂₂	...	q_2n	q₂
...	...	...	...	...	...
Q_n	q_n1	q_n2	...	q_nn	q_n

Dla dowolnej gazi
ukadu zapisa mona r�wnanie bilansowe
.
Zauwamy, e istnieje tylko jeden rodzaj r�wna bilansowych (r�wnania podziau produkcji). Brak jest natomiast odpowiednik�w r�wna bilansowych podziau koszt�w.
PRZYKAD
Zbudujemy teraz bilans przepyw�w midzygaziowych w ujciu rzeczowym dla korporacji zoonej trzech firm.
Firma I wytwarza 900 tys.
wyrobu A, firma II - 1500 tys. sztuk wyrobu B, a firma III 1200 t produktu C. Wzajemne powizania pomidzy produkcj firm I,II,III opisuj zamieszczone niej informacje.
Firma I:
na wyprodukowanie 1 m³ wyrobu zuywa 0,1 m³ wasnej produkcji, 0,3 sztuki wyrobu produkcji zakadu II oraz 0,05 kg produktu zakadu III.
Firma II:
na wytworzenie 1 sztuki wyrobu zuywa 0,25 m³ wyrobu A, 0,2 sztuki B oraz 0,1kg produktu C.
Firma III:
na wytworzenie 1 tony wyrobu C zuywa 0,2 m³ wyrobu A, 0,7 sztuki B oraz 0,2 t wyrobu C.
Budujc bilans przepyw�w midzygaziowych dla rozwaanego ukadu produkcj firm I,II,III wyrazimy jest odpowiednio w tys. m³, tys. sztuk oraz tonach. Gazie bilansu stanowi bd firmy wchodzce w skad korporacji. Wielkoci produkcji globalnej i przepyw�w midzygaziowych s znane bezporednio (uwaga na jednostki). Wielko produkcji kocowej kadej z gazi zostaa obliczona z r�wna bilansowych. Bilans przedstawia ponisza tablica.

Q_i	q_ij			q_i
900	0,1900	0,251500	0,21200/1000	434,76
1500	0,3900	0,21500	0,71200/1000	929,16
1200	0,05900	0,11500	0,21200	765,00

BILANS W UJCIU RZECZOWYM, A BILANS W UJCIU WARTOCIOWYM
Oznaczajc symbolem
cen produktu i - tej gazi, moemy zapisa nastpujce zalenoci pomidzy skadnikami bilansu w ujciu wartociowym i rzeczowym:
,
oraz
.
Kontynuujc rozwaania z ostatniego przykadu za�my, e ceny wyrob�w A,B,C s nastpujce: 1 tys. m³ wyrobu A kosztuje 50 jednostek pieninych (j.p.), 1tys sztuk wyrobu B - 80 j.p, a 1t wyrobu C - 35 j.p. Pozwala to wyznaczy dla kadej z gazi wartoci: produkcji globalnej, kocowej i przepyw�w midzygaziowych. Wartoci dodane w poszczeg�lnych gaziach mona wyznaczy z r�wna bilansowych. Bilans przepyw�w midzygaziowych w ujciu wartociowym przedstawia nastpujca tablica

X_i	x_ij			Y_i
900�50	0,1900�50	0,25�1500�50	0,2�1200/1000�50	434,76�50
1500�80	0,3�900�80	0,2�1500�80	0,7�1200/1000�80	929,16�80
1200�35	0,05�900�35	0,1�1500�35	0,2�1200�35	765,00�35
D_j	17325	72000	33520,8
X_j	900�50	1500�80	1200�35

ROZDZIA II
MODEL LEONTIEWA

WPROWADZENIE
Model Leontiewa stanowi dalsze rozszerzenie i pogbienie metodologii konstruowania bilans�w przepyw�w midzygaziowych.
W niniejszym rozdziale przedstawimy ide tego modelu dla najprostszego przypadku zamknitego ukadu gospodarczego - tego samego od kt�rego rozpoczynalimy prezentacj bilans�w przepyw�w midzygaziowych.
Przypomnijmy poczynione wtedy zaoenia:

ukad jest zamknity - dla kadej gazi rodkami produkcji s produkty wytworzone w tym ukadzie,
ukad jest statyczny - nakady na produkcj w danym okresie s produktami wytworzonymi w tym samym okresie,
produkcja jest niesubstytucyjna - produkt�w danej gazi nie mona zastpi produktami innych gazi,
produkcj globaln danej gazi mona podzieli na dwie czci: cz przeznaczon na cele produkcyjne ukadu (przepywy midzygaziowe) i cz pozosta - produkcj kocow.

Dodatkowo zaoymy

stao relacji pomidzy nakadami a wynikami produkcji (tzw. relacji input - output).

MODEL LEONTIEWA W UJCIU KOSZTOWYM
U podstaw konstrukcji modelu Leontiewa ley zaoenie o stabilnoci relacji pomidzy pewnymi elementami tablicy przepyw�w midzygaziowych.
Rozpatrzmy dowoln, na przykad j - t ga tego ukadu. Warto jej produkcji jest r�wna
, a nakady poniesione na t produkcj uzyskane z kolejnych gazi maj wartoci kolejno:
.
Zaoenie o stabilnoci relacji pomidzy nakadami a wynikami produkcji pozwala oczekiwa, e jeli po pewnym okresie warto produkcji gazi wzronie p - krotnie do wartoci
, w�wczas warto nakad�w na produkcj wzronie take p - krotnie. Wartoci zuytych produkt�w kolejnych gazi bd w tej sytuacji r�wne:
.
Oznacza to sta warto w czasie kadego z iloraz�w:
.
Uczynione zaoenia pozwalaj, jeli znany jest bilans przepyw�w midzygaziowych w momencie pocztkowym, wyznaczy elementy bilansu w przyszych okresach czasu. Pokazuje to poniszy przykad.
PRZYKAD
Rozpatrzmy ukad gospodarczy opisany w roku t nastpujc tablic przepyw�w midzygaziowych

X_i	x_ij			y_i
100	20	10	30	40
150	25	45	45	35
160	15	60	15	70
x_oj + z_j	40	35	70
X_j	100	150	160

Przypumy, e spodziewamy si, i po pewnym okresie, na przykad po 5 latach, warto produkcji gazi I podwoi si, gazi II wzronie o 50%, a gazi III nie zmieni si.
Zakadajc stabilno relacji midzy nakadami a wynikami produkcji, znajdziemy przewidywan posta bilansu dla okresu t+5.

atwo obliczy, e w roku t+5 spodziewana warto produkcji globalnej wynosi 200, 225 oraz 160 (j.p) odpowiednio w gazi I,II,III.
W okresie t, gdy produkcja gazi I miaa warto 100 j.p, w gazi tej zuyto w celach produkcyjnych wyroby wasne oraz gazi II i III o wartoci odpowiednio 20, 25 oraz 15 (j.p). Naley spodziewa si, e w okresie t+5, gdy warto produkcji podwoi si, podwoj si take odpowiednie nakady (a wic elementy pierwszej kolumny macierzy przepyw�w midzygaziowych [x_ij]. Wynika std, e warto produkcji zuytej w gazi I bdzie r�wna 40, 50 i 30 (j.p). Podobnie naley spodziewa si, e wartoci surowc�w zuytych do produkcji w gazi II (a wic wartoci element�w drugiej kolumny macierzy [x_ij]) wzrosn 1,5 - krotnie. Elementy drugiej kolumny macierzy przepyw�w midzygaziowych bd zatem r�wne kolejno: 15, 67.5 oraz 90 (j.p.). Elementy trzeciej kolumny nie ulegaj zmianie. Macierz przepyw�w midzygaziowych [x_ij] dla roku t+5 ma zatem posta:

Pozostae elementy bilansu, a wic wartoci dodane i produkcje kocowe moemy atwo wyznaczy z pomoc r�wna bilansowych.

Ostatecznie przewidywany dla roku t+5 bilans dla rozwaanego ukadu ma posta przedstawion w prezentowanej tablicy

X_i	x_ij			y_i
200	40	15	30	115
225	50	67.5	45	62.5
160	30	90	15	25
x_oj + z_j	80	52.5	70
X_j	200	225	160

W dalszej czci przedstawimy r�wnania modelu prowadzce do szybkiego wyznaczania element�w bilansu. Potrzebna nam bdzie macierz struktury koszt�w.
MACIERZ STRUKTURY KOSZT�W
Macierz struktury koszt�w (lub kr�cej macierz koszt�w dla n - gaziowego ukadu gospodarczego nazywamy macierz
o elementach zdefiniowanych wzorem
.
Zauwamy, e gdyby produkcja globalna
miaa warto jednostkow, to
byoby r�wne wartoci odpowiedniego przepywu midzygaziowego. Wynika std nastpujca interpretacja element�w macierzy koszt�w:
element
jest r�wny wartoci produkcji i - tej gazi zuywanej w gazi j w celu wytworzenia w tej gazi produktu globalnego o wartoci jednostkowej (1 j.p).
PRZYKAD
Dla ukadu gospodarczego opisanego w poprzednim przykadzie macierz koszt�w dla roku t jest r�wna
,
za dla okresu t+5:
.
Oczywicie zachodzi r�wno
,
kt�ra wyraa uczynione przez nas, na pocztku omawiania modelu Leontiewa, zaoenie o niezmiennoci relacji pomidzy nakadami a wynikami produkcji.
R�WNANIE MODELU LEONTIEWA
Przeksztacajc r�wnoci
,
do postaci
,
moemy ukad r�wna bilansowych
zapisa w postaci
.
W notacji macierzowej ukad ten ma posta:
,
czyli
,
gdzie X, Y oznaczaj odpowiednio wektor wartoci produkcji globalnej i kocowej.
Ostatnie r�wnanie mona zapisa w postaci
,
gdzie I oznacza macierz jednostkow stopnia n.
Oznaczajc L = I - A, mona powyszemu r�wnaniu nada posta:
Macierz L nazywamy macierz Leontiewa ukadu gospodarczego.
Zaoenie o stabilnoci relacji midzy nakadami a wynikami produkcji oznacza stabilno macierzy koszt�w, a wic take macierzy Leontiewa (macierz jednostkowa stopnia n jest zawsze taka sama!).
R�wnanie modelu Leontiewa
spenione jest take dla przyrost�w produkcji globalnej i kocowej. Sprawdmy, e tak jest istotnie. Przypumy, e w dw�ch momentach czasu wektory produkcji globalnej s r�wne odpowiednio
oraz
, a wektory produkcji kocowej odpowiednio
i
. Zaoenie o stabilnoci macierzy Leontiewa (a wic odpowiednie elementy macierzy obliczonych dla obu moment�w czasu s sobie r�wne) moemy zapisa r�wnania
oraz
.
Odejmujc je stronami otrzymujemy r�wno
gdzie
oraz
oznaczaj wektory przyrost�w odpowiednio produkcji globalnej i kocowej ukadu.
Powysze r�wnanie pozwala zinterpretowa elementy macierzy Leontiewa.
Przypumy, e celem jest zinterpretowanie elementu
znajdujcego si w m - tym wierszu i k - tej kolumnie macierzy Leontiewa. Podstawiajc w powyszym r�wnaniu wektor przyrostu produkcji globalnej
o wsp�rzdnych
otrzymujemy przyrosty wartoci produkcji kocowej w poszczeg�lnych gaziach ukadu. Warto tego przyrostu w m - tej gazi jest r�wna
.
Oznacza to, i warto elementu
jest r�wna przyrostowi produkcji kocowej m - tej gazi spowodowan wzrostem wartoci produkcji globalnej k - tej gazi o jednostk (1 j.p..), przy niezmienionej wartoci produkcji globalnej w pozostaych gaziach.
Z r�wnania
mona wycign jeszcze wiele dodatkowych wniosk�w. Oto niekt�re z nich.

Elementy stojce w k - tej kolumnie macierzy L informuj o ile zmieni si produkcja kocowa kolejnych gazi, jeli produkcja globalna k - tej gazi wzronie o jednostk przy staej produkcji globalnej w pozostaych gaziach.
Suma
element�w k -tej kolumny macierzy L jest r�wna przyrostowi wartoci produkcji kocowej caego ukadu gospodarczego w wyniku wzrostu wartoci produkcji globalnej k - tej gazi o jednostk, przy staej wartoci produkcji globalnej w pozostaych gaziach.
Suma
element�w m - tego wiersza macierzy L jest r�wna przyrostowi produkcji kocowej m - tej gazi w wyniku jednoczesnego wzrostu wartoci produkcji globalnej w kadej z gazi o jednostk (1 j.p).

PRZYKAD
Macierz Leontiewa dla ukadu gospodarczego opisanego nastpujc tablic przepyw�w midzygaziowych

X_i	x_ij			y_i
100	20	10	30	40
150	25	45	45	35
160	15	60	55	30
x_oj+ z_j	40	35	30
X_j	100	150	160

jest r�wna

W szczeg�lnoci wynika z tego, e:

Wzrost wartoci produkcji globalnej w I gazi o jednostk, przy staej produkcji pozostaych gazi (II oraz III), spowoduje wzrost wartoci produkcji kocowej I gazi o 0,8 j.p.. W tej sytuacji warto produkcji kocowej II oraz III gazi zmniejszy si odpowiednio o 0,25 j.p. oraz 0,15 j.p. Warto produkcji kocowej caego ukadu zwikszy si o
(j.p).
Wzrost wartoci produkcji globalnej II gazi o 1 j.p, przy staym jej poziomie w gaziach I i III, spowoduje zmniejszenie si wartoci produkcji kocowej w I gazi o
j.p, zwikszenie wartoci produkcji w II gazi o
j.p. i jej zmniejszenie w gazi III o
j.p. Warto produkcji kocowej caego ukadu zwikszy si o
(j.p).

Jeli macierz Leontiewa jest nieosobliwa, to prawdziwa jest r�wno:
.
Oczywicie atwo zapisa odpowiednik powyszego r�wnania dla przyrost�w produkcji globalnej i kocowej. Mamy:
,
gdzie
oraz
oznaczaj wektory przyrost�w odpowiednio produkcji globalnej i kocowej ukadu.
Mona udowodni (t przyjemno zostawimy Czytelnikom), e jeli suma element�w w kadej kolumnie macierzy koszt�w A jest mniejsza od 1, to macierz L=I-A jest nieosobliwa. Warunek ten jest speniony dla wszystkich realnie istniejcych ukad�w gospodarczych.
Podstawiajc w ostatnim r�wnaniu wektor przyrostu produkcji globalnej
o wsp�rzdnych
otrzymujemy przyrosty wartoci produkcji kocowej w poszczeg�lnych gaziach ukadu. Warto tego przyrostu w m - tej gazi jest r�wna
,
gdzie
oznacza element macierzy
znajdujcy si w m - tym wierszu i k - tej kolumnie.

Oznacza to, i warto
jest r�wna przyrostowi produkcji globalnej m - tej gazi koniecznemu do zwikszenia wartoci produkcji kocowej k -tej gazi o jednostk (1 j.p.), przy nie zmienionej wartoci produkcji kocowej w pozostaych gaziach.
Suma
element�w k -tej kolumny macierzy
jest r�wna przyrostowi wartoci produkcji globalnej caego ukadu gospodarczego koniecznemu do zwikszenia wartoci produkcji kocowej k - tej gazi o jednostk, przy staej wartoci produkcji kocowej w pozostaych gaziach.
Suma
element�w m - tego wiersza jest r�wna przyrostowi produkcji globalnej m - tej gazi koniecznej do zwikszenia produkcji kocowej w kadej gazi ukadu o 1 j.p.

PRZYKAD
Rozpatrzmy ukad gospodarczy z poprzedniego przykadu. atwe cho mudne rachunki prowadz do wniosku, e macierz odwrotna do macierzy Leontiewa dla tego ukadu jest r�wna

W szczeg�lnoci moemy std wnioskowa, e:

w celu zwikszenia wartoci produkcji kocowej I gazi o 1 j.p. konieczny jest wzrost produkcji globalnej tej gazi o okoo 1,54 j.p, a produkcji globalnej gazi II oraz III odpowiednio o 0,92 j.p. oraz 0,91 j.p.;
do zwikszenia produkcji kocowej gazi III o 1 j.p. niezbdny jest wzrost wartoci produkcji globalnej II gazi o okoo 1,21 j.p;
aby produkcja kocowa II gazi wzrosa o 1 j.p, warto produkcji globalnej caego ukadu musi wzrosn o okoo 0,53+2,21+1,46=4,20 (j.p.).

Zauwamy, e wszystkie elementy macierzy
s nieujemne, a na g�wnej przektnej s liczby nie mniejsze od 1. Jest to regu (jeli suma element�w w kadej z kolumn macierzy koszt�w jest mniejsza od jednoci).

Fakt ten jest stosunkowo atwy do wytumaczenia. Aby produkcja kocowa w k - tej gazi wrosa o jednostk (przy niezmiennej produkcji kocowej w pozostaych gaziach), to produkcja globalna kadej z gazi nie moe zmale - a na og� wzrasta, aby pokry zapotrzebowanie k - tej gazi na materiay niezbdne dla dodatkowej produkcji. Std
.

Wzrost produkcji globalnej w k -tej gazi musi pokry nie tylko wzrost produkcji kocowej, ale take zapotrzebowanie produkcyjne tej gazi na wasne wyroby. Zatem
.

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELU LEONTIEWA

R�wnanie

lub

moe suy do prognozowania wektora produkcji kocowej
(lub jego przyrostu
) dla zadanych wartoci (lub zmian) produkcji globalnej. Prognoz tak nazywamy czsto prognoz I rodzaju.

Podobnie r�wnanie
lub
mona wykorzysta do prognozowania produkcji globalnej X lub jej przyrostu
przy zadanym wektorze Y lub odpowiednio
. Jest to tzw. prognoza II rodzaju.

W przypadku, gdy znamy warto produkcji globalnej w niekt�rych gaziach, a warto produkcji kocowej w pozostaych (lub przyrosty tych wielkoci), w�wczas kt�rekolwiek z r�wna
, bd
moe suy do wyznaczenia pozostaych wartoci. Prognoz tak rodzaju nazywamy prognoz mieszan.

PRZYKAD

Za�my, e macierz Leontiewa dla pewnego ukadu gospodarczego jest r�wna

0x01 graphic
.

Zbadamy jak warto ma produkcja kocowa jeli produkcja globalna w gaziach I,II,III ma warto odpowiednio 200, 150 oraz 150 j.p. Warto produkcji kocowej (prognoza I rodzaju) mona wyliczy z r�wnania
. Std

,
czyli
(j.p.).

Jeli produkcja globalna wzronie w I gazi o 10 j.p., w drugiej nie zmieni si, a w III zmaleje o 5 j.p., to warto produkcji kocowej I gazi wzronie o 10 j.p., w II i III zmaleje odpowiednio o 0,5 oraz 6,5 j.p. Istotnie, z r�wnania
otrzymujemy:

.
Dla rozwaanego ukadu gospodarczego mamy
.
Wynika std midzy innymi, i:

Aby warto produkcji kocowej gazi I,II,III wynosia odpowiednio 20, 40 i 30 j.p, produkcja globalna tych gazi powinna mie warto odpowiednio okoo 143,6 j.p, 74,4 j.p oraz 125,6 j.p (prognoza II rodzaju). Z r�wnania
obliczamy bowiem:

Aby zwikszy warto produkcji kocowej w kadej z gazi o 5 j.p., produkcja globalna powinna wzrosn o okoo: 24,5 j.p. w gazi I, 10,6 j.p. w gazi II oraz 20,7 j.p. w III gazi. Wnioski te otrzymujemy z r�wnania
, tzn.

Za�my, e produkcja globalna I gazi ma warto 200 j.p., a produkcja kocowa II i III gazi odpowiednio 50 oraz 60 j.p. Rozwizujc r�wnanie

widzimy, e w takiej sytuacji produkcja globalna gazi II i III jest r�wna odpowiednio 100 oraz 200 j.p, a produkcja kocowa I gazi ma warto 20 j.p.

OPTYMALIZACJA I MODEL LEONTIEWA

Modelem Leontiewa zbudowanym dla okrelonego ukadu gospodarczego posuy si mona do usprawniania funkcjonowania tego ukadu.

R�wnanie modelu

ma nieskoczenie wiele rozwiza: zadajc r�n produkcj kocow Y otrzymujemy r�ne wartoci niezbdnej dla jej uzyskania produkcji globalnej X. Innymi sowy r�wnanie modelu okrela wiele r�nych rozwiza (X,Y), kt�re mona interpretowa jako wewntrznie zgodne plany produkcji. Mona wic rozwaa zagadnienie wyboru takiego planu, czy plan�w, kt�re s najlepsze z punktu widzenia przyjtego kryterium, na przykad maksymalizacji produkcji kocowej caego ukadu gospodarczego lub jego wybranych gazi.

W zamieszczonym niej przykadzie om�wimy spos�b podejmowania decyzji w oparciu o model Leontiewa. Rozpoczniemy od opisu problemu decyzyjnego, nastpnie dokonamy jego formalizacji w postaci modelu matematycznego, kt�ry pozwoli na znalezienie decyzji optymalnych.

Opis problemu decyzyjnego

Rozwamy kraj o dwugaziowej, samowystarczalnej gospodarce. W zaoeniach rozwoju gospodarczego zaoono, i zdolno wytw�rcza gazi I wynosi 60 j.p, a gazi II 80 j.p. Relacje midzy nakadami i wynikami, okrelaj nastpujc macierz koszt�w:

0x01 graphic
.

Udzia koszt�w robocizny w globalnej wartoci produkcji powinien ksztatowa si na poziomie 1/4 oraz 1/3 odpowiednio w gazi I oraz II, a czny fundusz pac nie powinien przekroczy 35 j.p.

Problem polega na ustaleniu wartoci produkcji globalnej w obu gaziach, aby warto produkcji kocowej gospodarki bya moliwie najwiksza.

Model matematyczny problemu

Zmiennymi decyzyjnymi bd wartoci (w j.p.) produkcji globalnej
odpowiednio pierwszej i drugiej gazi ukadu.

Kadej decyzji odpowiada para liczb
. Znajdmy zbi�r decyzji dopuszczalnych, to znaczy speniajcych sformuowane ograniczenia.

ograniczenia dla maksymalnej wartoci produkcji globalnej:

;

warunek samowystarczalnoci gospodarki oznacza, e wartoci produkcji kocowej
s nieujemne:

gdzie L oznacza macierz Leontiewa.

W rozwaanym przypadku mamy

0x01 graphic
,

dlatego ograniczenia maj posta

ograniczenia dla funduszu pac:

;

warunki nieujemnoci wynikajce z okrelenia zmiennych decyzyjnych:

Kryterium wyboru decyzji optymalnej stanowi maksymalizacja cznej wartoci produkcji kocowej

Poniewa

wic

Zadanie sprowadza si zatem do znalezienia pary liczb
maksymalizujcych warto wyraenia

i speniajcych warunki:

;

Rozwizanie zadania

Rozwiemy teraz sformuowany problem. Z uwagi na to, e mamy dwie zmienne decyzyjne, a parze liczb (X₁, X₂) odpowiada jednoznacznie punkt na paszczynie, zadanie powysze rozwiemy metod graficzn.

Wprowadmy na paszczynie prostoktny ukad wsp�rzdnych w kt�rym na osi odcitych bd odkadane wartoci
, a na osi rzdnych - wartoci
. W ten spos�b kadej decyzji
odpowiada punkt na paszczynie o odpowiednich wsp�rzdnych. Kady z warunk�w ograniczajcych wyznacza pewn p�paszczyzn, zbi�r decyzji dopuszczalnych jest za czci wsp�ln tych p�paszczyzn. Na rysunku podano interpretacj geometryczn zbioru decyzji dopuszczalnych, zaznaczajc dodatkowo krawdzie p�paszczyzn wyznaczonych przez kolejne warunki (proste

0x01 graphic

Graficzna interpretacja zbioru decyzji dopuszczalnych. Proste l₁,...,l₅ s krawdziami paszczyzn wyznaczanych przez kolejne warunki ograniczajce modelu. W przypadku dwu ostatnich warunk�w prostymi tymi s osie ukadu wsp�rzdnych. Zakreskowany obszar, bdcy czci wsp�ln tych paszczyzn odpowiada zbiorowi decyzji dopuszczalnych.

Gradient funkcji celu, wskazujcy kierunek najszybszego wzrostu wartoci tej funkcji, ma wsp�rzdne
. Warstwice funkcji celu s prostymi prostopadymi do tego wektora i maj r�wnania
, gdzie c moe by dowoln liczb rzeczywist.

W celu wyznaczenia decyzji optymalnych szukamy warstwicy funkcji celu odpowiadajcej moliwie najwikszej wartoci c (a wic wartoci funkcji celu) i majcej ze zbiorem decyzji dopuszczalnych co najmniej jeden punkt wsp�lny. W tym celu przesuwamy „w g�r” prost prostopad do gradientu funkcji celu, to znaczy w kierunku wskazywanym przez ten wektor. Stwierdzamy, e zadanie ma jedn decyzj optymaln - jest ni
.

0x01 graphic

Zbi�r decyzji dopuszczalnych z narysowanymi przerywan lini warstwicami funkcji celu. Wektor w=[0,5 0,5]^T jest gradientem funkcji celu. Wynika std, im wyej znajduje si warstwica, tym wikszej wartoci funkcji odpowiada. Warstwica odpowiadajca najwikszej wartoci funkcji celu i majca niepuste przecicie ze zbiorem decyzji dopuszczalnych przechodzi przez punkt (60, 60).

W celu uzyskania moliwie najwikszej wartoci produkcji kocowej, przy spenieniu okrelonych ogranicze, produkcja globalna w obu gaziach powinna mie warto po 60 j.p.

Przy okazji zauwamy, e w takiej sytuacji:

produkcja kocowa pierwszej gazi bdzie miaa warto
(j.p.), a gazi drugiej
(j.p);

fundusz pac w gazi I wyniesie
(j.p), a w gazi II
(j.p).

Bilans przepyw�w midzygaziowych dla ukadu (w kt�rym czna warto produkcji kocowej, przy podanych ograniczeniach, jest najwiksza) ma posta

X_i	x_ij		Y_i
60	12	24	24
60	18	6	36
x_oj	15	20
z_j	15	10
X_j	60	60

MODEL LEONTIEWA W UJCIU RZECZOWYM

Model Leontiewa dla ukadu gospodarczego opisanego bilansem przepyw�w midzygaziowych w ujciu rzeczowym przedstawionym w poniszej tablicy

Q_i	q_ij				q_i
Q₁	q₁₁	q₁₂	...	q_1n	q₁
Q₂	q₂₁	q₂₂	...	q_2n	q₂
...	...	...	...	...	...
Q_n	q_n1	q_n2	...	q_nn	q_n

moe by skonstruowany analogicznie jak w ujciu wartociowym, zakadajc stao relacji pomidzy nakadami a wynikami produkcji.

Wielkoci

0x01 graphic
,

gdzie
, nazywamy wsp�czynnikami technicznymi. Liczba
wyraa wielko produkcji i - tej gazi kt�r naley przekaza do gazi j, konieczn do zwikszenia wielkoci produkcji globalnej j -tej gazi o jednostk. Macierz

nazywamy macierz wsp�czynnik�w technicznych.

Przy pomocy zalenoci

mona r�wnania bilansowe zapisa w postaci

0x01 graphic
.

W zapisie macierzowym powyszy ukad ma posta

lub

gdzie
oraz
oznacza odpowiednio wektor produkcji globalnej oraz wektor produkcji kocowej. Rzecz jasna analogiczne r�wnanie wie przyrost produkcji globalnej i kocowej.

Tak jak to miao miejsce w ujciu kosztowym, r�wnanie to moe suy do prognozowania wielkoci produkcji globalnej (odpowiednio kocowej) przy zadanej wielkoci produkcji globalnej (odpowiednio kocowej).

PRZYKAD

Proste rachunki pokazuj, e macierz wsp�czynnik�w technicznych dla ukadu gospodarczego rozwaanego w przykadzie ze strony 13 jest r�wna

Jeli w kolejnym okresie (np. roku) t+1 spodziewamy si, e wielko produkcji w kadej w kolejnych gaziach wzronie o odpowiednio 2%, 3% i 4%, wtedy przy zaoeniu stabilnoci macierzy
, wielko produkcji kocowej powinna by r�wna:

Za�my, e w roku t ceny wyrob�w A,B,C s nastpujce: 1 tys. m³ wyrobu A kosztuje 50 j.p, 1tys sztuk wyrobu B - 80 j.p, a 1t wyrobu C - 35 j.p. Przypumy, e w roku t+1 wszystkie ceny wzrosn o 10%. Informacje te pozwalaj wyznaczy tablic przepyw�w midzygaziowych ukadu dla roku t+1 zar�wno w cenach biecych jak i staych.

Bilans w cenach biecych (cenach okresu t+1)

X_i	x_ij					Y_i
918�55	0,1918�55	0,25�1545�55		0,2�1248/1000�55		24183,5
1545�88	0,3�918�88	0,2�1545�88		0,7�1248/1000�88		84455,9
1248�38,5	0,05�918�38,5	0,1�1545�38,5		0,2�1248�38,5		30723,0
D_j	19438,65		81576,00		38347,8
X_j	918�55		1545�88		1248�38,5

Bilans w cenach staych (cenach okresu t)

X_i	x_ij			Y_i
918�50	0,1918�50	0,25�1545�50	0,2�1248/1000�50	21985,0
1500�80	0,3�918�80	0,2�1545�80	0,7�1248/1000�80	76778,1
1200�35	0,05�918�35	0,1�1545�35	0,2�1248�35	27930,0
D_j	17671,50	74160,00	34861,6
X_j	918�50	1545�80	1248�35

FUNKCJA PRODUKCJI W MODELU LEONTIEWA

W neoklasycznej teorii proces�w produkcji definiuje si funkcj produkcji jako mikroekonomiczn funkcj wic poziom nakad�w w danym sektorze z poziomem produkcji tego sektora. W przypadku modelu Leontiewa wielko nakad�w na produkcj j - tej gazi mona scharakteryzowa przez wartoci

odpowiednich przepyw�w midzygaziowych.

Warto
produkcji j - tej gazi musi spenia ukad warunk�w

................

Zakadajc dla uproszczenia, e wszystkie wystpujce wyej elementy macierzy koszt�w s r�ne od zera (czyli dodatnie), otrzymujemy wyraenie na maksymaln warto produkcji j - tej gazi przy nakadach
:

Jest to szukana posta funkcji produkcji w modelu Leontiewa. W przypadku ukadu dwugaziowego (n=2) wygld warstwic tej funkcji przedstawia zamieszczony rysunek

Rysunek warstwic funkcji produkcji dla i - tej gazi w modelu Leontiewa. Kad warstwic tworz dwie wzajemnie prostopade p�proste. Przebieg warstwic jest typowy dla przypadku, gdy czynniki produkcji nie s substytucyjne. Jest to jedno z zaoe modelu Leontiewa.

ROZDZIA III

PROBLEMY AGREGACJI BILANS�W PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH

WPROWADZENIE

Klasyczny model przepyw�w midzygaziowych zakada wystpowanie pewnej liczby gazi skadajcych si na dany ukad gospodarczy, z kt�rych kada wytwarza sobie waciwy, niesubstytucyjny z innymi, produkt. Skonstruowanie bilansu speniajcego cile ten warunek (o ile w og�le jest moliwe) prowadzioby do zupenie nieczytelnej, z uwagi na olbrzymie wymiary, tablicy. Dlatego w procesie konstrukcji bilansu konieczne jest wyr�nienie mniejszej liczby gazi, z kt�rych kada wytwarza nie pojedynczy produkt lub usug, lecz ca ich wizk.

Pojawia si zatem w spos�b naturalny, majcy charakter ekonomiczny, problem agregacji pierwotnej, kt�ry polega na odpowiednim zdefiniowaniu pewnej liczby gazi wytwarzajcych wizki d�br lub usug.

Obok agregacji pierwotnej wyr�niamy take agregacj wt�rn. Dokonuje si jej w�wczas, gdy rozmiar posiadanego bilansu (np. liczba wyr�nionych gazi) jest zbyt duy co powoduje, e bilans jest zbyt szczeg�owy, w stosunku do potrzeb przeprowadzanej w danym momencie analizy.

Agregacja ta polega na konstrukcji, na podstawie istniejcego wczeniej bilansu, innego bilansu przepyw�w midzygaziowych o mniejszych rozmiarach, poprzez zsumowanie odpowiednich pozycji bilansu wyjciowego. Wymaga si, aby kada ga bilansu wyjciowego znajdowaa si tylko w jednej gazi tworzonego bilansu (bilansu zagregowanego). Oczywicie takie czenie gazi musi mie jasn interpretacj ekonomiczn. Dalsze rozwaania powicimy niekt�rym problemom agregacji wt�rnej.

AGREGACJA BILANSU PRZEPYW�W MIDZYGAZIOWYCH

Rozwaania rozpoczniemy dw�ch przykad�w ilustrujcych spos�b agregowania bilans�w.

PRZYKAD

Rozwamy ukad gospodarczy o nastpujcej tablicy przepyw�w midzygaziowych

X_i	x_ij			y_i
100	20	10	30	40
150	25	45	45	35
160	15	60	55	30
x_oj	20	20	5
z_j	20	15	25
X_j	100	150	160

Przypumy, e analiza ekonomiczna wymaga agregacji pierwszej i drugiej gazi. Dochodzimy w ten spos�b do dwugaziowego ukadu gospodarczego, kt�rego pierwsza ga zawiera pierwsze dwie gazie wyjciowego bilansu, druga za ga pokrywa si z trzeci gazi bilansu wyjciowego. Sumujc odpowiednie elementy bilansu otrzymujemy w ten spos�b nastpujc tablic


100 +150	20+10+25+45	30+45	40+35
160	15+60	55	30
	20+20	5
	20+15	25
	100+150	160

Po wykonaniu odpowiednich dodawa otrzymujemy zagregowan tablic przepyw�w midzygaziowych


250	100	75	75
160	75	55	30
	40	5
	35	25
	250	160

PRZYKAD

Dana jest tablica przepyw�w midzygaziowych pewnego ukadu gospodarczego

		ga
ga	Prod. glob.	1. WPrz.	2. Ubud.	3. PRol.	4. UTr.	5. WPoz.	6. UPoz.	Prod. kocowa
1. WPrz	1550	700	300	30	210	50	10	250
2. UBud.	860	350	100	75	120	10	5	200
3. PRol.	290	25	40	80	75	20	0	50
4.UTr.	585	240	170	70	30	20	5	50
5. WPoz.	540	150	100	25	70	80	15	100
6. UPoz.	40	5	1	5	2	7	0	20
Wart. Dodana		80	149	5	78	353	5
Prod. glob.		1550	860	290	585	540	40

Legenda: Wprz - wyroby przemysu, Ubud - usugi budownictwa, PRol - produkcja rolnictwa, Utr - usugi transportu, Wpoz - wyroby pozostae, UPoz - usugi materialne pozostae.

Przypumy, e naley zbada jedynie przepywy pomidzy dziaem produkcji materialnej PM (obejmujcym gazie 1,3,5), a dziaem usug U (obejmujcym gazie 2,4,6). Dokonujc agregacji tych gazi otrzymujemy nastpujc tablic przepyw�w midzygaziowych

		dzia
dzia	Prod. glob.	PM	U	Prod. kocowa
PM	1550+290+540	700+30+50+25+80+20+150+25+80	300+210+10+40+75+0+100+70+15	250+50+100
U	860+585+40	350+75+10+240+70+20+5+5+7	100+120+5+170+30+5+1+2+0	200+50+20
Wart. dodana		80+5+353	149+78+5
Prod. glob.		1550+290+540	860+585+40

AGREGACJA NIEWAONA

Agregacja ta dotyczy poszczeg�lnych element�w bilansu przepyw�w midzygaziowych (ale nie utworzonej na jego podstawie macierzy koszt�w itp). Zbi�r {1,2,...,n} numer�w gazi bilansu wyjciowego dzielimy na r parami rozcznych podzbior�w
, kt�re zawieraj numery gazi tworzcych kolejne gazie bilansu zagregowanego. Macierz
o elementach

zwana macierz (operatorem) agregacji pozwala na wyraenie element�w bilansu zagregowanego (oznaczanych gwiazdk) poprzez odpowiednie skadniki wyjciowej tablicy przepyw�w midzygaziowych:

wektor produkcji globalnej:

,
czyli
, gdzie h=1,...,r;

wektor produkcji kocowej:

,
czyli
, gdzie h=1,...,r;

macierz przepyw�w midzygaziowych:

,
czyli
, gdzie h,l=1,...,r;

pace, zyski i wartoci dodane:

PRZYKAD
Kontynuujemy rozwaania rozpoczte w pierwszym przykadzie niniejszego rozdziau. Elementy zagregowanego bilansu mona otrzyma przy uyciu podanych wyej wzor�w. W rozwaanej sytuacji
(pierwsza ga zagregowanego bilansu zawiera gazie 1,2 bilansu wyjciowego) oraz
. Dlatego macierz agregacji ma posta:
Zgodnie z podanymi wzorami obliczamy:

produkcj globaln

przepywy midzygaziowe

produkcj kocow

skadniki wartoci dodanej - pace i zyski

Wartoci te tworz zagregowan tablic przepyw�w midzygaziowych.

MACIERZ KOSZT�W UKADU ZAGREGOWANEGO
Macierz koszt�w
ukadu zagregowanego mona wyznaczy bd przy wykorzystaniu danych zagregowanej tablicy przepyw�w midzygaziowych:
,
bd dokonujc tzw. agregacji waonej element�w macierzy koszt�w wyjciowego bilansu:
,
gdzie
jest macierz wag , kt�rej elementy zdefiniowane s wzorem:
Macierze: agregacji S i wag W speniaj warunek
,
gdzie
oznacza macierz jednostkow stopnia r.
PRZYKAD
Macierz koszt�w dla zagregowanego bilansu otrzymanego w pierwszym przykadzie tego rozdziau moemy obliczy bezporednio, dzielc wartoci przepyw�w przez odpowiedni produkcj globaln. Macierz ta ma posta
.
Wynik ten moemy uzyska take stosujc podane wzory. Mamy:
,
,
a wic
.
Ostatecznie
,
czyli tyle samo, co poprzednio.
W rozwaanym wypadku wyznaczenie macierzy koszt�w w bezporedni spos�b - na podstawie zagregowanej tablicy przepyw�w midzygaziowych - moe wydawa si znacznie prostsze. Zalety stosowania podanych wzor�w wykorzystujcych macierz agregacji S najatwiej doceni w przypadku agregacji w skomplikowanych ukadach wielogaziowych.
AGREGACJA DOSKONAA I NIEDOSKONAA
Przypumy, e dokonano agregacji tablicy przepyw�w midzygaziowych pewnego ukadu gospodarczego w kt�rym wektor produkcji globalnej by r�wny X₀. Rozwamy problem obliczenia produkcji kocowej w ukadzie zagregowanym w przypadku gdyby wektor produkcji globalnej w ukadzie wyjciowym by r�wny X (przy czym X nie musi by r�wny X₀ ). Wektor Y^* wartoci produkcji kocowej w ukadzie zagregowanym mona obliczy dwoma sposobami:

agregujc wektor produkcji kocowej Y odpowiadajcy produkcji globalnej X:

;

wykorzystujc macierz koszt�w ukadu zagregowanego:

Agregacj nazywamy doskona jeli dla dowolnego X zachodzi
. W przeciwnym wypadku m�wimy o agregacji niedoskonaej.

Nastpujce warunki s r�wnowane:

agregacja jest doskonaa,

R�wnowano warunk�w 1 i 2 jest treci twierdzenia Hatanaki, warunk�w 1 i 3 - twierdzenia Ary.

PRZYKAD

Zbadamy czy dokonana wyej agregacja jest doskonaa.

Posuymy si twierdzeniem Hatanaki. W rozwaanym przypadku mamy:

oraz

0x01 graphic
.

Mamy wic

0x01 graphic
,

co oznacza, e agregacja jest niedoskonaa.

Rzecz jasna, i do tego samego wniosku mona byoby doj stosujc twierdzenie Ary. Niezbyt skomplikowane rachunki pokazuj bowiem, e

0x01 graphic
.

BD AGREGACJI

W praktyce stosunkowo rzadko mamy do czynienia z agregacj doskona. W przypadku zmian produkcji globalnej poszczeg�lnych gazi wystpuj zatem na og� r�nice pomidzy produkcj kocow obliczon na podstawie bilansu zagregowanego a jej zagregowanymi wartociami uzyskanymi z bilansu wyjciowego. R�nica
tych wielkoci stanowi tzw. bd agregacji.

Jeli agregacja jest doskonaa, jej bd jest r�wny zeru. W przypadku agregacji niedoskonaej istnieje taki wektor X, e

PRZYKAD

Rozpatrzmy ukad gospodarczy z przykadu ze strony 14. Jeli produkcja globalna kolejnych gazi ukadu jest r�wna
(j.p.), wtedy wektor produkcji kocowej powinien by r�wny:

Przypumy, e dokonujemy uproszczenia bilansu dla rozwaanego ukadu, polegajcego na agregacji dw�ch pierwszych gazi. Produkcja kocowa powinna jest zatem r�wna:

w gazi I ukadu zagregowanego (gazie 1 i 2 ukadu wyjciowego): 120 + 10 = 130 (j.p.),
w gazi II ukadu zagregowanego (ga 3 ukadu wyjciowego): 15 (j.p.),

zatem

Zbadajmy jaki wynik uzyskalibymy prognozujc produkcj kocow na podstawie bilansu zagregowanego. Wektor produkcji globalnej jest r�wny

a macierz Leontiewa jest r�wna (por. przykad ze strony 25)

i dlatego wektor produkcji kocowej obliczony na podstawie bilansu zagregowanego jest r�wny:

Std

Jak wida oba wyniki r�ni si:
. Obliczajc dla gazi I,II i zadanego wektora produkcji globalnej prognoz produkcji kocowej na podstawie bilansu zagregowanego, popeniamy bd r�wny odpowiednio -5 j.p. oraz 15 j.p.

SOWNICZEK WANIEJSZYCH POJ

Akumulacja - gromadzenie rodk�w z czci dochodu narodowego nie przeznaczonej na spoycie, w celu dokonywania inwestycji i zwikszania produkcji. Moe oznacza zwikszanie rodk�w trwaych drog inwestycji lub tworzenia zapas�w i zwikszanie zasob�w rodk�w obrotowych.

Akumulacja finansowa - nadwyka dochod�w ze sprzeday produkcji nad kosztami wasnymi sprzedanej produkcji tj. Towar�w i usug. Obejmuje ona take nadwyki (niedobory) finansowe wynikajce z dziaalnoci ubocznej oraz saldo zysk�w i strat nadzwyczajnych. Zawiera take podatek obrotowy i zysk bilansowy.

Amortyzacja - proces utraty wartoci uytkowanego majtku trwaego w wyniku eksploatacji rodka trwaego i przenoszenia jej na wytworzone przez te rodki produkty.

Ca - opata pobierana przez pastwo od przywozu i wywozu towar�w przez jego granice,

Eksport - wyw�z za granic towar�w, kapita�w, usug.

Import - przyw�z towar�w z innych kraj�w, take korzystanie z usug wiadczonych przez producent�w zagranicznych, w celu wykorzystania ich przede wszystkim na wasnym rynku.

Nakady inwestycyjne - nakady, kt�re zwikszaj warto majtku trwaego.

Produkcja globalna (produkt globalny) - warto wszystkich d�br i/lub usug wytworzonych w danej gazi.

Produkcja kocowa (finalna, produkt finalny) - warto d�br i/lub usug wytworzonych w danej gazi, kt�re nie zostay zuyte przez ukad gospodarczy w procesie produkcji.

Przepywy midzygaziowe - wartoci d�br i usug przekazanych z jednej gazi do drugiej wykorzystana w celach produkcyjnych.

Przyrost zapas�w (rodki obrotowe - rezerwa) - przyrost zapas�w materia�w, wyrob�w gotowych, produkcji nie zakoczonej itp.

Spoycie indywidualne (z dochod�w osobistych) przez ludno obejmuje: wydatki poniesione przez ludno na zakup produkt�w (wyrob�w i usug, wycenianych w cenach paconych przez konsument�w); warto spoycia naturalnego produkt�w rolnych pochodzcych z wasnej produkcji (wycenianych w cenach skupu); warto usug mieszkaniowych.

Spoycie zbiorowe obejmuje wydatki sektora instytucji rzdowych oraz instytucji niezyskownych: warto wyrob�w i usug nierynkowych przekazanych nieodpatnie lub finansowanych z fundusz�w spoecznych na rzecz gospodarstw domowych (m.in. warto usug owiaty i wychowania, kultury i sztuki, ochrony zdrowia itp); spoycie og�lnospoeczne - spoycie wyrob�w i usug nierynkowych, kt�re nie posiadaj konkretnych indywidualnych odbiorc�w (np. nakady poniesione na administracj pastwow, nauk bezpieczestwo publiczne itp.).

Warto dodana - r�nica pomidzy wartoci produkcji globalnej danej gazi a kosztami poniesionymi na zakup materia�w niezbdnych do produkcji w tej gazi.

Zuycie produkcyjne w danej gazi - jest to cz produktu globalnego przeznaczona do zuycia w produkcji wszystkich gazi.

LITERATURA

Problematyka analizy bilans�w przepyw�w midzygaziowych jest szczeg�owo omawiana midzy innymi w nastpujcych w nastpujcych podrcznikach

Dorosiewicz S, Gruszczyski M, Kuszewski T, Koatkowski D, Podg�rska M, Syczewska E, Ekonometria, SGH, 1996.

Miller R.E. , Blair P.D. Input - Output Analysis: Foundation and Extensions, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, 1985.

Peterson W. Advances in Input-Output Analysis. Oxford University Press, New York-Oxford 1991.

Sadowski W. [red.] Elementy ekonometrii i programowania matematycznego. PWN, 1980 i p�niejsze.

Tomaszewicz . Metody analizy input-output. PWE, Warszawa 1994.

Tomaszewicz . [red.] Przepywy midzygaziowe. Elementy teorii. Uniwersytet �dzki, 1979.

Ponadto w ramach projektu MENTOR wydano skrypt:

Gruszczyski M., Mierzejewski P., Wstp do ekonometrii w stu oknach. Wyd. SGH, Warszawa 1998.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza otoczenia, Studia Pwr, Semestr 1, Zarządzanie strategiczne (projekt)

ANALIZA - wyniki!, STUDIA, WZR I st 2008-2011 zarządzanie jakością, Analiza Finansowa

PODSTAWY ZARZADZANIA 18 ST, Zarządzanie projektami, Zarządzanie(1)

STRATEGIA ZARZADZANIA 5 ST, Zarządzanie projektami, Zarządzanie(1)

ANALIZA RYNKU US UG TURYSTY, Zarządzanie projektami, Zarządzanie(1)

Stacjonarne II rok I st. B Zarzadzanie i ewidencja operacji gospodarczych 00-00.00.2012

30 141623 Zarzadzanie logistyczne , W1

II - Analiza popytu i optymalna polityka cenowa, Zarzadznie

5. ANALIZA SWOT, OGRODNICTWO inż, Semestr 4, Zarządzanie

cykl informacyjny w systemie iformatycznym zarządzania (4 st, Zarządzanie(1)

Stacjonarne II rok I st. B Zarzadzanie i ewidencja operacji gospodarczych 00-00.00.2013

Analiza strukturalna sektora wg Portera, Zarządzanie

Analiza ekonomiczna - teoria na egzamin, Zarządzanie, Analiza ekonomiczna

Informacja o analizowanych danych, Akademia Ekonomiczna w Katowicach, Zarzadzanie, Semestr III, Bada

Pojęcie kosztów transakcyjnych pojawiło się w ekonomii w latach 30 XX w, Zarządzanie (studia) Uniwer

Analiza systemu oceny okresowej pracownikow, ZARZĄDZANIE, MARKETING, Marketing - zachomikowane

ANALIZA RYZYKA ZADAŃ WRAŻLIWYCH, Kontrola zarządcza

więcej podobnych podstron