CCF20091117007

239

OBLICZANIE GRANIC

Dla uproszczenia zapisu możemy zakreślić kółkiem ogólny wyraz ciągu, narysować strzałkę i na jej końcu zapisać liczbę równą granicy tego ciągu. Na przykład obliczenia z pierwszego przykładu podanego na poprzedniej stronie można zapisać w następujący sposób:

3    0    0

Ćwiczenie B. Oblicz lim a_n, a następnie lim —, jeśli:

77 — co    77 — co Cln

a) a_n = 5"    b) a„ = n³    c) u„=-(|)"    d) a_n=-n³

Przykłady podane w ćwiczeniu B są ilustracją pewnej ogólnej własności:

Jeśli lim \a„\ = +oo, to lim = 0.

n—co    77—00 ^un

Z powyższej własności wynika, że jeśli ciąg (a_n) jest rozbieżny do +oo lub do

to lim i = 0.

77 — co ^w77

-00,

Ćwiczenie C. Oblicz lim a_n oraz lim b„. Jak myślisz, ile wynosi lim (a„ + b„), a ile

77—00    77—co    77-00

lim(a„ • b„)7

77—00

a) a_n = ńⁱ, b„ = n²    b) a„ = -n⁵, b_n = ~n⁷    c) a„ = 2", b_n = 5”

Oto własności granic ciągów' rozbieżnych do +oo lub do -oo.

Jeśli lim    a„ = + oo i lim b_n    =    +⁰⁰,    to lim(a„    + b„) = +°o,    a    także    lim a„    ■    b_n =    +oo.

77 — 00    77 — 00    77 — co    77 — oo

Jeśli lim a_n    = -oo i limb„ =    -oo,    to    lim (a_n    + b_n) =    -oo,    a    także    hm (a_n    ■    b„)    = +oo.

77 — 00    77 — 00    77 — 00    77 —oo

Ćwiczenie D. Oblicz lim a_n oraz lim b_n. Jak myślisz, ile wynosi lim(o„ + b„), a ile

77—co    77—00    77—co

lim(a„ ■ b„)?

77—00

a) a„ = n², b_n = 3 + p    b)a_n = -n³, b_n = 5-^ c) a„ = -n², b_n=-3 + ~_?

Jeśh lima,, = +oo i hm b„ = g, gdzie g e R, to lim(a„ + b„) = +oo,

77 — 00    77 — co    77-00

jeśli ponadto g > O, to lim (a_n ■ g) = +oo, a jeśli g < O, to lim (a_n ■ g) = -oo.

77-00    77 — co

Ćwiczenie E. Pierwszą z własności podanych powyżej można zapisać w następujący sposób: Przy n — oo, jeśli a„| — co, to ^— 0. Zapisz w podobny sposób pozostałe własności.