egzmad22

4.02.2000 A

PJWSTK: Egzamin z matematyki dyskretną]

1. (4 pkt.) Czy dla każdych zbiorów .4, B,C prawdziwy jest wzór .4 U (B \ C) = (.4 U B) \ (.4 U C)?

2. (4 pkt.) Zakładając, że d(a.b) oznacza predykat „a jest poazielne przez 6”, zaś p(x): ,,x jest liczbą pierwszą³, wyraź w języka logiki następujące stwierdzenia;

a.    Jeżeli jakaś liczba jest potęgą liczby pierwszej, to nie ma innych dzielników pierwszych.

b.    Dwie różne liczby pierwsze nie mają wspólnych dzielników większych od jedności.

3. (6 pkt.) Dana jest relacja opisana następującym grafem:

Co potrafisz powiedzieć o własnościach tej relacji (zwrotność, pzzeciwzwrotność, symetry-czność, asymetryczność, antysymetryczność, przechodniość, spójność, czy jest to relacja porządku lub równoważności)?

4. (6 pkt.) Podaj przykład zbioru i relacji na nim określonej (po jednym przykładzie do każdego z podpunktów), która jest

a.    zwrotna, a jednocześnie przedwzwrotna.

b.    relacją równoważności, a jednoczenie relacją całkowitego porządku.

c.    sumą dwóch relacji częściowego porządku, sama nie będąc relacją częściowego porządku.

5. (6 pkt.) Udowodnij następujący wzór:    = n2^R.

6. (10 pkt.) Rzucamy dwa razy wyważoną kostką. Jako zmienną losową określamy różnicę oczek, które wypadły. Określ rozkład tej zmiennej losowej, oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję.    , o.

Uwaga.: Rozwiązania prosimy przedstawiać po kolei od zadania 1 do zadania 6. Wszystkie odpowiedzi należy uzasadniŁ