Foto 0084

7. Klucz publiczny RS A to (n,e) = (65,7). Znajdź klucz prywatny.

S. Wiadomo, że istnieje epimorfizm struktury (Ao) na strukturę ( ,*) oraz że e_A,e_B są elemen

tanu ncutialnymi działań o i * odpowiednio. Udowodni j, żc jeśli a o a = e,\ dla dowolnego a £ A to b* b = es dla dowolnego b 6 B.

9. Wskaż grupy wśród następujących struktur (R, •), (Q,+), ({-1.0, 1},+), (R₊,-),

({oA: £ Z . k£ Z}. +), ((0. I), + ). Napisz po jednej podgrupie każdej z wskazanych grup.

10.    W skaż elementy grupy ilorazowej 4> (10) / { 1,1} i utwórz tabelkę działania w tej grupie.

11.    (a) Znajdź permutację £ £ Sr, spełniającą równanie

/l 2    3    4 5\. /l    2 .3    4    5\ ' _/l    2 3 4 5A

^3 2    5    4 lj ^2    1 4    5    3)    "^2    1453^

i określ jej parzystość.

(b) Sprawdź, czy grupa $(20) jest cykliczna.

12.    W pierścieniu Z₅[X] wykonaj dzielenie z resztą wielomianu 3X⁴ + X² + X + 1 przez 2X^:i + X -f 4.

13.    (a) Wyznacz warstwy pierścienia A = Z₂[X] względem ideału

/ = (X²+ 1 )A

i utwórz tabelki dodawania i mnożenia w pierścieniu ilorazowym.

Czy pierścień ilorazowy A/I jest dziedziną całkowitości? Czy jest ciałem?

(b) W ciele Z^[X] / {X² + 2X-\-2)Z^[X} oblicz element odwrotny do warstwy wyznaczonej przez ■wielomian X + 2.