img061

fil

n

f(a*h) - f(a) - t    O.w. ♦ £(h;ihl

—- ■    n

1*1

Dzieląc obustronnie oetatnfę równość przez lhl_n s t l przechodząc do granicy, ędy t —► 0, otrzymujemy

3f

o . ii*    .....• ^f(,i.....*"■ . r-o

t -w 0

1-1

(5.Ł

co kończy dowód twierdzenia.

Zauważmy, że wzór (5.6) może, przy odpowiednich założeniach, służyć

do obliczania pochodnej w dowolnym kierunku za pomocę pochodnych cząstkowych 0^,...,D_n oraz współrzędnych wektora wyznaczającego kierunek. Ookładniej, pochodna funkcji f w kierunku k (wyznaczonym przez wektor Jednostkowy w) w punkcie a Jest równa iloczynowi skalarnemu wektora G ■ (I7- (a),...,    (a)) i wektora w

^ÓX1    ^dxn

yjj“(^a) ■ (G,w)

Gradient funkcji

Definicja 5.8. Wektor G • (4““ (a),...,    (*)) nazywamy gradientem

--    ^axl    ^dxn    -

funkcji f w punkcie a i oznaczamy go przez grad f(a).

Z geometrii analitycznej wiadomo, że w n wymiarowej przes;. oni euklidesowej iloczyn skalarny dwóch wektorów iullwi Jest równy lut.*vicos Zf. (u,v). A zatem

^ (a) • I grad f(a)llwlcos4^{9^rad f'a),w) ■ » I grad f(a)l cos 4- (grad f(a),wj

Niżej podamy dwa ważne wnioski wynikające ze wzoru (5.7).

1.    We wszystkich kierunkach k prostopadłych do wektora qrad f(a),

pochodna    (a) Jest równs zero.

2.    W punkcie a, pochodna kierunkowa osięga największy wartość rownę I grad f(a)J_n. Wartość ta jest równa pochodnej funkcji w kierunku wyznaczonym przez wektor grad f(e). W kierunku przeciwnym, tzn. w kierunku wektora - grad f(a,, pochodna osięga wartość minimalna równę - ł grao

^f!«)l_n.