img062

62

Kierunki wyznaczone przez wektory grad f(a) i - grad f(a) nazywamy odpowiednio kierunkami najniższego wzrostu i największego malenia funkcji f « punkcie a.

Nietrudno teraz stwierdzić, że gradient funkcji f w punkcie a Jest to wektor skierowany od punktu a w kierunku największego wzrostu funkcji f o długości równej bezwzględnej wartości pochodnej f w tym kierunku.

Ćwiczenia

5.1. Niech Z będzie zbiorem funkcji rzeczywistych, clęgłych 1 nie-ujemnych w przedziale Z.0,1> c R oraz takich, że f(l) ■ i. Pokazać, że w przestrzeni metrycznej (Z.dę), gdzie d_Q Jest metrykę Czebyszewa,

kuJ omknlęte K ■ {f£Zs max lf(x) - xł\ wraz ź odległośclę d_r

⁴    x e < 0,1 >    ^u

-•ie je t kompaktem.

(■£»*■ ♦ ■£*) w kierunek b^z

5.2 Znaleźć pochodnę funkcji f7 (x,y)    1 -

ku we* .ętrznej normalnej do krzywej

'■ 04.n-.cie p -    , ~), a > O, b > O.

5.3.    Wykazać, że płaszczyzny etyczne do powierzchni o równaniu f(x,y)»

*    («>0) tworzę z płaszczyznami układu współrzędnych czworościany

o równych objętościach.

5.4.    Wykazać, że funkcja f:R³9 (x,y,z)—•ln(x²fy²*z²) spełnia równanie f(x,y,z) ■ 2ln2 - ln(grad f(x*y,z), grad f(x,y,z))

Zodania

T.

£.1. Wyznaczyć naetępujęce granice; > ,2 2 a' 1<»    — JŁ ■ X

2 2

'x,v)—(0,0)