img069

g(a+h) - g(«) « F [f©♦h) , ¹. . _t f_p(a-fh)F [f ^a) ,. .., f_p(a) ] «

ⁿ    '    (5.2

•Y' O rf.(a4.h) - f₄(a)] ♦ e(Af) . lAfl , li® £(4f) - O

1-1    ^P M»lp-¹0

f_p(aeh)-f_p(»)).

gdzie: Af ■ (f^a+h) - fj(a)

Z ciągłości funkcji    (k ■ l,...,p) w punkcie a wynika, że

ł4fl ²■ O, gdy lhl_n-¹-0.

Wykorzystując teraz związki (6.1) w równości (6.2), otrzymujemy p    n    p

g(e¹h) - g(a) - D_t £°ij^hj ¹ H°1 ^ei^{(h) 1,hl}n ♦ ^e<    ¹‘‘

1-1    J-l    fcl

n p    p

• E L° ₁o₁^h_J ♦ lhl_n £ o_t ^(h) + e(Af) i A f l_p

J-l i-i    l-l

Z ostatniej równości oraz z (6.1) wynika, że

[₉₍₈¹h). „<.>].    U'¹-<„(£>! ¹i(ioi ¹

J-l'l-1    / I    li-l

0, więc

g(a¹h) - g(a)

E (E°i°ij)^hj ♦°^c(^h)^,h|n

j-i ^i-i •

(6.3)

gdzie: limac(h) - 0 co kończy dowód twierdzenia 6.2.

lh._n-¹0

Uwaga. Ze wzoru (6.3) wynika, że pochodne cząstkowe funkcji g w punkcie a można obliczać z następującego wzoru:

t£r ^(a) ■ E t£: ^(,i^(a).....V^{a)) (a)} <•> ’ ¹.....ⁿ⁾

¹    i-l ^ł    3    (6.4)

lub krócej, ale mniej dokładnie

1

le(Af)| £(£>„, | ♦lV^h>|)|

2

k-l\j-l    /J

Pon lenaż £ _A(h) —O (i - 1, ... ,p) 1 £( A f) — O, gdy 1 h I _n przyrost g(a¹h) - g(a) możemy przedstawić w postaci