img114

114

£

i-i

la. + b. I ^P>V ^ ( V la.l ^P>V *fS~^ Ib I    (nierówność *

¹    * J "    ¹ J \L, J . Minkowskleg

(nierówność Cauchy^ego-Hftldera⁵')

1.2. Aksjomaty symetrii i tożsamości eę oczywiście spełnione. Pokażemy, że jest spełniony aksjomat trójkąta. Niech p ■ (p₁.....p_n), q -

■ (qi*«**#<l_n)» ^r “    wćwczas kładąc w nierówności Minkowskio-

go (zobacz ćwiczenia l.l),    » p_± - qj, b_Ł ■ q_£ - r_±, otrzymujący

co oznacza, że d_k(p,r)^ d_k(p,q) ♦ d_k(q,r). Zatem przestrzeń Eⁿ jost przeetrsenlę metryczne.    _v

1.3. To, że akajonaty tożsamości 1 symetrii se spełnione jost oczywiste. Niech więc f, g 1 h będę trzema funkcjami cległyml na odcinku z.a,b> . Wówczas, dla dowolnego xe<e,b> mamy

lf(x) - h(x)| ■ |[f(x) - g(x)] ♦ [g(x) - b(x)]|ś|f (x) - g(x) | ♦

♦ lfl(x) - h(x) | < «ax lf(x) - g(x)j ♦ max lg(x) - h(x)|* x c<a,b>    xc<a,b>

■ d_c(f,g) ♦ d_c(g,h)

"A zatem d_c(f,h)^ d_c(f,g) ♦ d_e(g,h), czyli C<a,b> jeet przestrzenie netrycznę,

I.4.. Sprawdzenie, że funkcje d_N i d_M# spełnieję aksjomat symetrii 1 tożsamości pozostawiamy czytelnikowi (przypominamy, że figury AIS są równa, jeśli Int_ A « Int- B). Aby sprawdzić, że spełniony jeet 11

również aksjomat trójkąta poełużmy się ilustrację podanę na rysunSeu 10. Na tym rysunku małymi literami oznaczone eę pola odpowiednich części rozpatrywanych figur płaeklch, a więc liczby rzeczywiste nieujemne.

Z definicji metryki Nlkodyma mamy:

d_N(A,B) ■ a ♦ a* ♦ b ♦ b*

* Otto Ludwig Holdor (22 XII 1859 - 29 VIII 1937) - matematyk niemiecki, ssjuowal się szeregami Fouriera, równaniami algebraicznymi, geometrią, logiką Ratono tyczną i mechaniką. Bardzo wartościowe rezultaty uzyskał w teorii grup.