MAT09

9

2.Y² + 2,v + 13

Zx² + 2x+ 13

3.v + 4

,v + 2

.Y⁵ - 2y⁴ + 2y³ - 4y² + X - 2    (y - 2)(y² + 1 )²    * “ ²    (y² + 1 )²    -v² + 1

(zobacz przykład 1.4). W rezultacie,

J * - J ^ -I - J -

- -²' - [ i J    ⁺4 f W ] ’ [^ł ^ *^rfx+21 * ]⁼

= 'n|x-2|- [-4Tir ^{+ 4}(ł ^7 ⁺ ł J 7$r) ] ~ [ł ^ln(^A'^{2 +} 0 + 2arctgx] =

- J. id* + -L|_n

2 i²+l 2    ,V^:-]

3. Aby obliczyć całkę

f 4.y⁴+4y³ + 1 6y² + 1 2y + 8 ^J (y + 1 )²(y² + 1 )²

najpierw stwierdzamy, że funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną, w której stopień licznika jest silnie mniejszy od stopnia mianownika oraz, że mianownik funkcji podcałkowej jest już w „dobrej" postaci, tzn. jest przedstawiony jako iloczyn funkcji liniowej (w drugiej potędze) i funkcji kwadratowej z wyróżnikiem ujemnym (w drugiej potędze). Nie pozostaje nam wdęc nic innego jak przystąpić do rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste

4y⁴ +4y³ + 16.v² + 1 2y + 8 ₌ (y + 1 )²(y² + 1 )²

^A — + ^rrr +    + ^E3 ⁺ f K-V + 1 )²(y² + I )²

(Y+l)²    X+\    (y² + 1 )²    -V² + l

4y⁴ + 4y³ + 1 6y² + 1 2y + 8 =

= A(y² + 1 )² + B(x + 1 )(.v² + 1 )² + (Cy + D){x + I )² + (Ex + F)(x + 1 )²(y² + 1) = = A(y⁴ + y² + I) + B(x⁵ + y⁴ + 2y³ + 2y² + y + 1) +

+(Cy + D){y² + 2y + 1) + (Ex + F)(y⁴ + 2y³ + 2y² + 2x + I).

Stąd

Y⁴

Y³

Y

,1

„0

B + E = 0 A + B + 2E+F = 4 2B + C + 2E + 2F = 4 2A + 2B + 2C+D + 2E + 2F = 16 B + C + 2D + E + 2F = 12 A+B+D+F=8

>

x

i dlatego

4y⁴ + 4y³ + 1 6y² + I 2y + 8

A = 3 (stałą A można wyznaczyć B = 0 metodą przesłaniania)

C. = 2 D = 4 E= 0 F= 1

I

(Y+l)²

(Y+i y

(y² + 1)

(y² + 1 )*

= -itr ‘ TrT ^{+ 4}( łptr ⁺1 ^arc,-^v) ^{4 alc,}-“ = TPnjprr ^{4 3arctgA}'

Zadania

Obliczyć następujące całki

¹-1 ²-1 ³-1 ⁴-I ⁵ 1

(.v»2 }(.v—5)

x-2

dx,

dx,

_ijx_

(.v^:-4.v+4) (x-~l.v+5) ’

_dx_

.x^!-.\'^l+.t^,-.\2+.r+! ’

_i]x_

x{x+\)(x^x+\) '

Opracował: Marian Malec