Mechanika ogolna0068

136

Przykład 19

Dla układu mechanicznego pokazanego na rys. 79 określić równowagę statyczną, wykorzystując zasadę prac przygotowanych.

Rys. 79

Bryła 1 to pręt podparty przegubowo w punkcie A i zawieszony na linie w punkcie B. Krążek 2 obraca się wokół punktu C, który jest jednocześnie śród kiem masy bryły 2. Przez krążek przerzucona jest lina łącząca bryłę 1 i 3. Zakładamy, że lina nie może przemieszczać się względem bryły 2, bryła 3 porusza się na gładkiej nieruchomej równi. Nasz układ posiada jeden stopień swobody. Aby pozostał w równowadze, musimy np. do bryły 2 przyłożyć moment M₂. Wartość tego momentu wyznaczymy, wykorzystując zasadę prac przygotowanych. Okic ślimy przemieszczenia przygotowane poszczególnych brył (wynikające z roz kładu prędkości liniowych odpowiednich punktów i prędkości kątowych odpo wiednich brył).

Zakładamy, że 8cpi - przemieszczenie wirtualne bryły 1 - jest znane, czyli zna my cOi.

Rozpatrując przemieszczenie liny, będziemy mieli:

8r_B = 1 • 5cpj = r • 8cp₂ = 8r_D,

ostatecznie przemieszczenie punktu D można wyrazić:

8r_D = r • 8cp₂ = 8r_B,

8r_D = 1 • Sep,,

r

8(p₂ = -8(p,.

Jeżeli układ pozostaje w równowadze statycznej, wówczas praca przygotowana sił zewnętrznych układu będzie określona jako:

8L = 8L,+8L₂+8L₃=0.

Ponieważ bryła 1 jest w ruchu obrotowym, to:

8L,=M_A.8cp₁=^M₁+ip_i.lj8<p_lł

w przypadku bryły 2:

8L₂ = M_c • 8cp₂ = -M₂ • 8cp₂ = —M₂ — 8cp[,

r

w przypadku bryły 3 mamy:

8L₃ = P • 8^) = -P₃ • 8r_D • sin a = -P₃ ■ 1 ■ sin a • Scpj.

Dla całego układu będziemy więc mieli:

8L =    +^P, -1-M₂ —-P₃ -l-sinajscpj =0.

Równanie to musi być spełnione dla każdej wartości Scpj ^ 0, czyli:

M_t +-P, -1-M₂--P₃ • 1 • sin a = 0,

2 .    r

Ntiid wartość szukanego momentu M₂ wynosi:

1    r

M, =—P, -r-P, -r-sina + M,

2    ₂ ¹    3    1 i

Uwaga!

Zasadę prac przygotowanych można również stosować w układach, gdzie szukamy sił reakcji. Siły te wprowadzamy do układu jako siły czynne, tak jak pokazano w zamieszczonych dalej przykładach.