skanuj0038

Ćwiczenie 5 *

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną

1. Wprowadzenie

Ciała stałe poddawane działaniu zrównoważonych sił lub momentów sił ulegają odkształceniom. Jeżeli po usunięciu sił ciało odzyskuje pierwotny rozmiar i kształt, mówimy o jego właściwościach sprężystych. Dokładne ich omówienie wymaga poznania ogólnej teorii sprężystości oraz mechanizmów wiązań międzyatomowych, które określają właściwości sprężyste i zakres stosowania praw sprężystości.

Naprężenie mechaniczne pojawiające się w materiale jednorodnym, pochodzące od sił oddziaływania międzycząsteczkowego, równoważy siły zewnętrzne wywołujące odkształcenie materiału. Jeżeli siły odkształcające działają prostopadle do powierzchni ciała (rys.l), to mówimy wtedy o naprężeniu normalnym a, które określamy jako stosunek siły normalnej F„ do pola powierzchni S:

Naprężenie normalne Naprężenie styczne a= Fj/S    r = FJS

Odkształcenie e = 6.1/1    Odkształcenie a = 6y/x

Rys.l. Odkształcenia powstające pod wpływem sił stycznych i normalnych

<r=F„/S.

Gdy działająca siła (F_s) jest stycznia do powierzchni, to naprężenie nazywamy stycznym lub ścinającym:

t=F_s/S.

Jeżeli siły działające na ciało są dostatecznie małe, to przesunięcie względne poszczególnych punktów materiału, czyli odkształcenie sprężyste, jest proporcjonalne do

Opracowała M.Duraj.

przyłożonych sił (naprężeń). Własność ta nosi nazwę prawa Hooke 'a. Prawo Hooke’a zapisane dla naprężeń normalnych i obejmujące naprężenia dodatnie (ściskanie) i ujemne (rozciąganie) ma postać:

tr=Ee,    (1)

gdzie miarą odkształcenia: e - Al/l jest wydłużenie względne. Współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga. Prawo Hooke’a dla naprężeń stycznych wyraża się wzorem:

t= Ga,    (2)

gdzie odkształceniem względnym jest w tym wypadku kąt ścinania a, który dla małych wartości er jest równy (rys.l):

a«tgar = —.

x

Współczynnik proporcjonalności G nazywa się modułem sztywności. Moduł ten (jak również E) jest dla danego materiału zależny od temperatury .

Jak wynika z teorii sprężystości, za pomocą tych dwóch niezależnych stałych: modułu Younga E i modułu sztywności G można określić wszystkie własności sprężyste jednorodnego i izotropowego ciała. Na przykład przy zginaniu belki mamy do czynienia z czystym rozciąganiem i czystym ściskaniem opisywanym modułem E, do opisu skręcania prętów i rozciągania sprężyn ^vystar-cza moduł sztywności G, natomiast względne zmiany objętości ciała powstające pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego dają się wyrazić poprzez obydwa moduły E i G.

Moduł G charakteryzuje odkształcenia powstające przy skręcaniu pręta, ponieważ każdy element skręcanego drutu ulega odkształceniu typu prostego ścinania (patrz rys.3). Jeżeli jeden koniec cylindrycznego pręta o długości / i promieniu r jest zamocowany nieruchomo, a drugi skręcony o kąt ę (momentem pary sił skręcających), to jak pokazano w Uzupełnieniu, wartość momentu sił sprężystych Mpręta, dążącego do przywrócenia równowagi, jest proporcjonalna do kąta skręcenia ę, a stała proporcjonalności zależy od długości pręta, jego promienia oraz własności materiału: