skanuj0040 (4)

234

Vt. Fi&kcje wiem zmlennycti

Niech (x,y) e !². Zbiór AT((;t,y),r) = {(x;y): (x - i)² + (y -y)² < r²} jest w R² wnętrzem koła o środku w (x,y) i promieniu r. Zbiór taki nazywamy otoczeniem punktu (x,y) o promieniu r.

Jeżeli (x,y) e £>, c R² i istnieje r > 0 takie, że K((x,y),r) c D_f, a /(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w (x,y), to możemy określić tempo zmian funkcji / w pewnym otoczeniu punktu (r, y) w zależności od znaków pochodnych pierwszego i drugiego rzędu odpowiedniej zmiennej. Tę zależność przedstawiono schematycznie w tabl. VI. 1.

Tablica VI. 1

//(*,?)			//(*,?)
	+	—		+	—
+	/ rośnie coraz szybciej	/ rośnie coraz wolniej	+	/ rośnie coraz szybciej	/ rośnie coraz wolniej
—	/ maleje coraz wolniej	/ maleje coraz szybciej	-	f maleje coraz wolniej	/ maleje coraz szybciej
ze względu na zmienną x, przy y = j>			ze względu na zmienną y, przy x = x

Uwaga: Porównaj tabl. VI..1 z analogiczną tablicą w części C par. 11.4, która prezentuje zależność rodzaju tempa zmian wartości funkcji jednej zmiennej od znaku jej pierwszej i drugiej pochodnej.

Jednocześnie, gdy f"Jx,y) > 0 (<0), wtedy przekrój wykresu W_f płaszczyzną y = y jest krzywą wypukłą (wklęsłą) w pewnym otoczeniu punktu (x,y). Natomiast gdy f_yy(x,y) > 0(< 0), to przekrój wykresu W_f płaszczyzną o równaniu x = x jest krzywą wypukłą (wklęsłą) w pewnym otoczeniu punktu (x, y).

Przykład VL3.2

Ustalimy w otoczeniu punktu P (1; -1) tempo zmian funkcji f(x,y) = y² +y³x ze względu na każdą ze zmiennych.

Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i czyste rzędu drugiego. Są nimi:

f_x'(x,y) = y\ f_XI(x,y) = 0, oraz f_y'(x,y) = 2y + 3y²x, f_yy(x,y) = 2+6yx.