Skan'

7

3/,    , _r f(x₀+v_xt, y_Q+vt, z₀+v_zt)-f(x₀,y₀,z₀)

(^o^o^o) = ^lir»---,    (7)

dv    t

—>

dann heiBt er Richtungsableitung von f im Punkt P₀ in Richtung v .

Aufgabe 2. Anhand der Definition ist die Richtungsableitung der Funktion

w = f{x,y,z) = e^2x+3yz²    (8)

K²’²’ ² ,

zu finden. GemaB der Definition (7) ist

v =

an der Stelle (1,2,3) in Richtung des Einheitsvektors

^(x₀,y₀^₀) = Hm-

„    t-> o

O V

e^’._zĄ_e%-^ ₊ e^e^/i{42z„ Ąl\ S    t

s/t

Unter Beriicksichtigung, dass eⁿ —> 1 fur t —» 0 erhalten wir

' V2

^Z° ⁺ 2 ¹

V

__e^2xo+3yo_z ²

(9)

(10)

^ (*o >    Zo) = I™ e^2jCo+3y° z,

_ ^ (->0

o v

— + e

^0+3yo V2:

(U)

Setzt man x-—t, dann gilt 2

(12)

(13)

_e^5/2' -1 _e^x -1

lim—--= lim-= 1

t—>o 5 x->o x

2

Beachtet man (12) in (11), so ergibt sich

^ (*,, y,, )^;= | «^2V3’° z.² + V2 e²**³* z,

3 v

Im Sonderfall P₀ - (l,2,3)ist

(14)

Satz. Sei w = f(x, y, z) auf einem offenen Bereich stetig partiell differenzierbar, dann gilt

3 w 3 v

3/    3/

—— v + —

3x 3 y

v„ +

IL

dx

(15)