Skan�

4

.3 n

„3 /i-i X , 2

^=I^=-T £(*-»)" =p-I*

*=1    « *=1    n _k

n    „3 n

O_m= lAS_to=^X*²

*=1

t=l

Der zu Beginn des Kapitels erwahnte Archimedes konnte die rechts stehenden Summen berechnen. Dies gelang ihm durch die Anwendung der schon zu seinen

Lebzeiten bekannten Formel fiir die Summę der ersten Quadratzahlen

<£>

l² + 2² + ... + /1² =-n(/j + lX2w + l)

6

Unter Beachtung der obigen Formel ist n&mlich

D _ 1 (n-lX2n-l)_j3

O 1 (» + lX2«+ 1)^,3 "    6    n²

C

Fiihrt man noch den Grenztibergang w -+ oo durch, so ergibt si<}h

3 „ n~1	2/?-l jc^3	x^3
—lim--	-----1-2 =
6*-*® n	n 6	3
x^3 .. /? +1	2/1 + 1 jc^3 , _	x^3
—lim-	------1-2
6 *-»• n	n 6	3

Der gesuchte Flacheninhalt S ist zwischen die Unter- und Obersummen eingeschachtelt

\unU_n < S < limO„

n->oo    n-* oo

Angesichts der Ubereinstimmung der Grenzwerte ist nach den Quetschlemma (oder Sandwitch -Theorem)

3

5 =

Definition: Sei f eine stetige, nichtnegative Funktion und sei So(x) der Inhalt deijenigen Flachę, die vom Graph von f und der x - Achse iiber dem Intervall <0 ; x> eingeschlossen wird. Die so definierte Funktion A₀ (jc) heifit Flacheninhaltsfunktion von f zur unteren Grenze 0.