zdjecie0013

15

każdego x £ X zachodzi nierówność x.< L. Połóżmy Ji • cax(lLI »lll) • Widoczno jest, że tok określona liczba M jest nieujemna i dla każd8-go x e X | x| ^ M.

2. Warunek wystarczający

Jeżeli K Jest liczbą dodatnią taką, że dla każdego x € X | x| ^ to X Jest ograniczony. Istotnie, połóżmy 1- -M i L - X. Z nierówności |x| j£C K wynika, że dla każdego x e X 1 x .< L, a to oznacza, że zbiór Jest ograniczony.

Definicja 1.5. SajamieJeżą z liczb ograniczających dany zbiór X z góry nazywa się kresem górnym zbiom X i oznacza się symbolem sap X, natomiast największy z liczb ograniczających dany zbiór z dołu nazywa się kresem dolnym zbioru X i oznacza się Inf X.

Podamy tera* Jeden z aksjomatów teorii liczb rzeczywistych, na który później będziemy się powoływać.

Aksjomat ciągłości. lażdy ograniczony zbiór liczb rzeczywistych posiada kres dolny i kres górny.

Uwaga. Kres góraj^ jak i dolny nogą do danego zbioru należeć lub nie.

Zilustrujeny to na przykładach:

Przykład 1    2 - { x : x - ^ , n £ s}. Inf X - O, sap X - 1.

Inf T. fi X, natomiast sup X G X.

Przykład 2    X-{x:1<x<3}. Inf X - 1, sup I - J.

Inf I i sup X nie należą do zbioru X.

Przykład 3 X - { x: x - sin , te Q - (o}j. Inf X - -1, sup I m i. Ixe8 górny i dolny należą do zbioru X.

Udowodnimy następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1.2. liczba rzeczywista i Jest kresem górnym zbiom X C E wtedy i tylko wtedy, gdy:

1.    V X G X X

2.    V Ł> 0 3*_oel: x_Q> K - S •