009(1)

stanowiły tylko te przypadki, w których dziedzina funkcji jest narzucona przez dodatkowe warunki zadania).

12. Wyznaczyć dziedziny poniższych funkcji:

1) y-V^    ²⁾ u =

3)    v = arc cos-—4) p = -7^    5) q = Iog₂(x²—9)

Rozwiązanie: 1) Ponieważ argument x występuje pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, więc y będzie miało wartości rzeczywiste tylko dla tych wartości x, dla których wyrażenie podpierwiastkowc będzie I nieujemne, czyli*dla I— x²    0. Rozwiązując tę nierówność, otrzymamy

x² < 1;    | x | < 1;    — 1 < x < 1

Zatem dziedzinę funkcji y stanowi odcinek [—1, 1].

2)    W tym przypadku x występuje w mianowniku ułamka. Należy więc wyłączyć z osi liczbowej te wartości x, dla których mianownik będzie równy zeru, bowiem dzielenie przez zero nie ma sensu. Wartości te wyznaczymy przyrównując mianownik do zera

x²—5x+6 = 0

skąd xi = 2, xi — 3.

Drugi składnik wyrażenia na funkcję u nie narzuca żadnych ograniczeń na wartości x, ponieważ pierwiastek jest stopnia nieparzystego. Zatem obszarem określoności funkcji u będzie cała oś liczbowa —co < x < +oo, z wyjątkiem punktów x — 2 oraz x = 3.

3. Funkcja v będzie określona tylko dla tych wartości x, dla których

-i

Rozwiązując tę nierówność znajdujemy 4    2    2

— -J- < —2 *    '3~ i — 1 < x < 2

Dziedziną funkcji v jest więc odcinek [—1,2}.

4)    Znajdujemy wartości x, przy których mianownik funkcji ma wartość równą zeru: sinx = 0 dla x_k = kn (k = 0, ±1, ±2, ...). Wyłączając z osi liczbowej te właśnie punkty x_k, otrzymamy dziedzinę funkcji p.

5)    Funkcja logarytmiczna q jest określona tylko dla dodatmch wartości . irgumentu (czyli dla dodatnich wartości logarytmowanego wyrażenia),

iatem dla a-¹—9 > 0. Rozwiązując tę nierówność, dostajemy |.v| > 3, skąd wynika, że —co < x < — 3 lub 3 < x < +a>; a więc obszar określo-ności tej funkcji skłacfa się z dwóch nieskończonych przedziałów (—oo,—3). toraz (3, -f co).

y x—1

jl)v=V-

-4

cT+1

1 -f- ja¹—9

l-Vx ] 3 cos 2x

1 Znaleźć i zaznaczyć na osi liczbowej dziedziny następujących funkcji: 2) Z = yl+t —2y 5—t

■ 3) w =

4) r = |/sm (p

Ł 5) v —

2

6) v = lg(x—1)+ arc sin —

§ 3. Sporządzanie wykresu funkcji punkt po punkcie

Poglądowe, graficzne przedstawienie zależności funkcyjnej, wiążącej jwie zmienne ,v oraz y, otrzymamy traktując wartości tych zmiennych jako współrzędne punktów na płaszczyźnie.

■ Wykresem funkcji, danej równaniem y — f(x), nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają to równanie.

- Zazwyczaj wykres funkcji jest pewną krzywą płaską.

Sporządzanie wykresu funkcji punkt po punkcie, gdy funkcja dana jest w postaci analitycznej, przebiega następująco:

1)    układamy tabelkę odpowiadających sobie wartości zmiennych;

2)    obieramy układ współrzędnych o odpowiednio dobranych -dla każdej ze zmiennych jednostkach skali; zwykle stosujemy współrzędne prostokątne

1    wspólną dla obu osi współrzędnych jednostkę skali;

3)    zaznaczamy punkty, których współrzędnymi są odpowiadające sobie wartości argumentu i funkcji, zawarte w tabelce;

4)    otrzymane punkty łączymy gładką (płynną) linią.

Tak sporządzony wykres funkcji będzie przedstawiał ją tym dokładniej, im więcej wartości zmiennych zestawimy w tabelce i im więcej punktów zaznaczymy na płaszczyźnie współrzędnych.

Sporządzanie wykresu funkcji upraszcza się w przypadku, gdy funkcja jest bądź parzysta lub nieparzysta, bądź też okresowa, ponieważ wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy, wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, a wykres

\

1

   Metody rozwiązywania zadań    17