031(1)

■Ml

3) lim

x sin 2x "Ó (arc tg 5a)²

4)* lim

1    3

_^ts’--^arcie.A

^siV'^tgA'^arcsiA

Rozwiązanie. Korzystając z tego, że gdy a -» 0, to sin a x tg a s;

x arcsina X arctga X oc, co wynika z rozwiązania zad. 116, oraz biorąc

pod uwagę przytoczoną własność nieskończenie małych równoważnych,

otrzymamy

sin4A    .. 4a    4

1) lim .    - =limT- = _T

sm 3x    3x    3

2) lim

'Ć²* =lij^2x)

sin²-,-

W

= 36

3) lim

x sin 2a ‘u (arc tg 5a)²

x 2x 2 ^; hm 5x ' ~5x ~ 25

. 3 1    .3

tg³— • arc tg

4)* lim

AJ-i.+ CO _Sj_n

n}//T

“ i    7~T ~

tg = • arc sin \n    ⁿ

..    (»)    n j/n    3n^A\n

= lim ;    , *    = hm——= 0.3

. ¹ . A    10«⁴] n

* ia *

119. Wykazać, że gdy x -> 0, to:

1) )/6x+\ —1 ~ 3x 2) sinA+tgA a 2x

3) \fx+S-2

12

X X²

4) 1—cos    ~ —=

m    2/w

120. Korzystając z własności nieskończenie małych równoważnych wyznaczyć następujące granice:

sin 5a

„    arc sin 3x

2) lim-—7—

⁷    arc tg 6*

1 2x —x 2) lim - — -*-*+o tg) x

sin² (a-— 1)

co

_ tg 2<p arc sin 3rp „ .. sin.r

5) lim-=-g-—6) lim --

ę>-».o sin³ cp arc tg2ęp    x—zi

§ 10. Ciągłość funkcji. Punkty nieciągłości

Mówimy, że funkcja y —f(x) jest ciągła w punkcie x₀, jeśli w punkcie tym nieskończenie małemu przyrostowi argumentu Ax, odpowiada nieskończenie mały przyrost funkcji Ay, a więc jeśli

lim Ay = lim [/(x₀-M*)—/(*o)] = 0

ż1jc-*0    Ax ->0

Określenie to jest równoważne z poniższym:

funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x_Q, jeżeli dla x -» .v₀ granica funkcji

istnieje i jest równa jej wartości w tym punkcie, tj. gdy lim f(x) = f(x₀).

x-+x₀

Na to, aby funkcja f(x) była ciągła w punkcie x₀> potrzeba i wystarcza, aby spełnione były następujące warunki:

1)    funkcja powinna być określona w pewnym przedziale zawierającym punkt xq (tzn. funkcja powinna być określona w samym punkcie xo oraz w otoczeniu tego punktu)',

2)    funkcja powinna mieć równe co do wartości granice lewo- i prawostronne: lim f(x) = lim f(x);

X-+Xq—0    X-*Xq+0

3)    granice te powinny być równe f(x₀).

Mówimy, że funkcja f(x) jest nieciągła w punkcie xo, jeśli jest określona dla punktów dowolnie bliskich punktu xo, ale w samym punkcie xo nie spełnia któregokolwiek z warunków ciągłości.

Nieciągłość funkcji f(x) w punkcie xo będziemy nazywać nieciągłością skończoną lub nieciągłością pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją skończone granice lewo- i prawostronne lim f(x) i lim f(x). Wszystkim pozos-

x ->Xq—0    0

tałym nieciągłościom nadajemy miano nieciągłości drugiego rodzaju', w szczególności, jeżeli co najmniej jedna z granic jednostronnych okaże się nieskończoną, to nieciągłość także nazywamy nieskończoną.

Skokiem funkcji f(x) w punkcie nieciągłości xo nazywamy różnicę granic lewo- i prawostronnej: lim f(x) — lim f(x). jeśli granice te są różne.

0    ,v^A'o—0

Jeżeli punkt xo stanowi albo lewą, albo prawą granicę obszaru określo-ności funkcji f(x), to należy rozpatrywać wartości funkcji odpowiednio

61