56 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania
równania
(7.29) x(f)= Ax(/)
opisuje ewolucję wektora stanu układu dynamicznego stacjonarnego, mamy bowiem:
(7.30) F(/,r)x = eA(,-r)x Vf>r
Równanie (7.29) stanowi najprostszy, szczególny przypadek równania sianu: ma postać równania różniczkowego liniowego, o współczynnikach stałych (niezależnych od czasu), jednorodnego.
Ruch wymuszony, równanie stanu liniowe niejednorodne
Na ewolucję wektora stanu można oddziaływać poprzez celowa kształtowanie pochodnej x(t). W przypadku układów opisanych równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach oddziaływanie to jest określane w następujący sposób:
(7.31) x(r) = Ax(/)+ Bu(f)
gdzie: u(t) - wektor Wymuszenia (przyjmiemy, że jest to wektor kolumnowy'
0 r elementach), B - macierz (o elementach rzeczywistych) określająca sposób oddziaływania wymuszenia (wymiary macierzy: n wierszy, r kolumn). Równanie (7.31) jest znane jako liniowe równanie stanu (o współczynnikach stałych). Równanie różniczkowe (7.31) nie jest jednorodne i opisuje ruch wymuszony. W dalszym ciągu omawiać będziemy przypadki, gdy wymuszenie jest kształtowane celowo, wtedy wymuszenie stanowa sygnał sterujący, albo krótko sterowanie. Drugi typowy przypadek to oddziaływanie niezamierzone: wtedy wymuszenie jest traktowane jako zakłócenie.
Liniowe równanie stanu (7.31) odgrywa zasadniczą rolę w teorii sterowania, jako żc znane są metody jego analitycznego rozwiązywania. Z tego powodu w7 większości zadań syntezy układów7 sterowania dąży się do uzyskania opisu obiektów7 sterowania, a w7 konsekwencji także i całych układów7 sterowania, w postaci liniowych równań stanu o postaci (7.31). Rozpatrzymy problem rozwiązania równania niejednorodnego i jego związek z rozwiązań iem równania jednorodnego, tym samym określimy związek ruchu swobodnego
1 wymuszonego.
Dowolne rozwiązanie równania jednorodnego:
przy zadanej wartości x(V0 ) jest postaci: