56 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

równania

(7.29)    x(f)= Ax(/)

opisuje ewolucję wektora stanu układu dynamicznego stacjonarnego, mamy bowiem:

(7.30)    F(/,r)x = e^A(,-r)x    Vf>r

Równanie (7.29) stanowi najprostszy, szczególny przypadek równania sianu: ma postać równania różniczkowego liniowego, o współczynnikach stałych (niezależnych od czasu), jednorodnego.

Ruch wymuszony, równanie stanu liniowe niejednorodne

Na ewolucję wektora stanu można oddziaływać poprzez celowa kształtowanie pochodnej x(t). W przypadku układów opisanych równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach oddziaływanie to jest określane w następujący sposób:

(7.31)    x(r) = Ax(/)+ Bu(f)

gdzie: u(t) - wektor Wymuszenia (przyjmiemy, że jest to wektor kolumnowy'

0    r elementach), B - macierz (o elementach rzeczywistych) określająca sposób oddziaływania wymuszenia (wymiary macierzy: n wierszy, r kolumn). Równanie (7.31) jest znane jako liniowe równanie stanu (o współczynnikach stałych). Równanie różniczkowe (7.31) nie jest jednorodne i opisuje ruch wymuszony. W dalszym ciągu omawiać będziemy przypadki, gdy wymuszenie jest kształtowane celowo, wtedy wymuszenie stanowa sygnał sterujący, albo krótko sterowanie. Drugi typowy przypadek to oddziaływanie niezamierzone: wtedy wymuszenie jest traktowane jako zakłócenie.

Liniowe równanie stanu (7.31) odgrywa zasadniczą rolę w teorii sterowania, jako żc znane są metody jego analitycznego rozwiązywania. Z tego powodu w⁷ większości zadań syntezy układów⁷ sterowania dąży się do uzyskania opisu obiektów⁷ sterowania, a w⁷ konsekwencji także i całych układów⁷ sterowania, w postaci liniowych równań stanu o postaci (7.31). Rozpatrzymy problem rozwiązania równania niejednorodnego i jego związek z rozwiązań iem równania jednorodnego, tym samym określimy związek ruchu swobodnego

1    wymuszonego.

Dowolne rozwiązanie równania jednorodnego:

(7.32)    x(?)= Ax(r)

przy zadanej wartości x(V₀ ) jest postaci: