069(1)

Otrzymaliśmy przypadek ~. Stosujemy regułę de 1’Hospitala

ln a = 6 lim (— : —\ = 6-^=3 *-+o\ x x j    2

a więc poszukiwana granica wynosi a — e³.

4) Po ustaleniu, że chodzi o przypadek 1 wyznaczamy granicę

m

.. 3Ts-f ,    wina:

a - lun a:    ln a = hm -=—-

*-i a —1

Otrzymaliśmy przypadek Stosujemy regułę de 1’Hospitala

ln a = m lim —-:

*-*l \ A

zatem a — e² — j e"⁵. Wyznaczyć granice:

330. lim (l+e*)^v

*-*+CO

/ ^m V

332. lim cos

*"*00 \ ^X I

334. lim (cos Aa) ^a2

a—>-0

331. lim (je-l)'^,n2(JC_1)

jc—4 0

_1_

333. lim (ctg 2jc)^{,a x} *-*+0

te —

335. lim (2—.x) ²

336*. lim |/    — arc tg ,v

337. Wykazać, że gdy x -*■ 0, to:

JC³

1) e^2x—e^x X x    2) x—arc tg x X

3) arc sina^-—a: X— 4) 4a—ln(43c+l) z 8x²

O

5)}/J+x-lx—    6) e*^x-4x-l z 8x*

n

§ 3. Przedziały monotoniczności funkcji

Badając jak zachowuje się funkcja w zależności od zmian zmiennej niezależnej, zwykle zakładamy, że w całym obszarze określoności funkcji zmienna niezależna monofonicznie rośnie, co oznacza, że każda z następnych wartości zmiennej niezależnej jest większa od poprzedniej.

J.-śli okaże się przy tym, że kolejne wartości funkcji także rosną, to funkcję nazywamy rosnącą, jeśli natomiast kolejne wartościfunkcji maleją, nazywamy ją malejącą.

Niektóre funkcje w całej swej dziedzinie zmieniają się monotonicznie — to jest bądź stale rosną, bądź stale maleją (np. 2^X, arcctgx).

Jednak wiele funkcji nie ma monotonicznego przebiegu w całej dziedzinie i w pewnych przedziałach zmian zmiennej niezależnej funkcja rośnie, a w innych maleje (np. sinx, cosx).

Przedziały monotoniczncści funkcji y = f(x) są scharakteryzowane przez znak pochodnej y' tej funkcji: jeżeli tv pewnym przedziale y > 0, to funkcja w tym przedziale jest rosnąca, gdy zaś y < 0, to w przedziale tym funkcja jest malejąca.

338. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji:

1)    p = ln(1 — x²)    2) z = x(l +2|/x)

3) u = 1 — 24x+ 15x²—2x³    4)*y = lnx|

^r>x

Rozwiązanie: 1) Pochodna p = — rozpatrywanej funkcji

jest dodatnia, gdy —1 < x < 0 lub gdy x > 1, a ujemna, gdy 0 < x < 1 lub gdy x< —1. Biorąc pod uwagę, że dziedziną funkcji p jest przedział — 1<x<1, stwierdzamy, że w przedziale (—1,0) funkcja p rośnie, a w przedziale (0,1) — maleje.

2)    Funkcja z jest określona w półotwartym przedziale 0 <x<+oo; jej pochodna z = 1+3 j/x i w całym tym przedziale z' > 0. Zatem funkcja z jest monotoniczna i w całym obszarze, gdzie jest określona, rośnie.

3)    Funkcja u, jak wszystkie wielomiany, jest określona na całej osi liczbowej. Pochodna u = — 24+30x—6x² ma dwa pierwiastki rzeczywiste: 1 i 4. Zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności drugiego stopnia mamy u > 0, gdy 1 < x < 4, i u' < 0, gdy x < 1 lub gdy x > 4. Zatem funkcja u rośnie w przedziale (1, 4), a w przedziałach (— co, 1) i (4, + oo) — maleje.

4) * Funkcja y jest określona na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu

l*|'    1    1

x = 0. Jej pochodna / = (ln| x|)' =    = ±    = — jest dodatnia, gdy

x > 0, a ujemna, gdy x < 0. Wynika stąd, że funkcja y w przedziale (— oo, 0) jest malejąca, a w przedziale (0, + co) — rosnąca. Funkcja jest parzysta; jej wykres podano na rys. 49.

141