072

142 VIII. Algebra

Rozwiązanie. Po stwierdzeniu, że dane równanie nie ma pierwiastków wymierny^ obliczamy wyróżnik    F

J = (-y-)³ +(-yj² =4³ +6² = 100>0.

Dalej, obliczamy

skąd a więc

17 = —6 — 10= —16,    K=—6 + 10 = 4,

u = V —16= — lyfl, v = \[a,

x₂ = (^2-1^4) + i V3 (^2 +i^/4), X3 = (^-tV^/4)-'v^/3(^/2+K/4).

Zadanie 8.59. Znaleźć pierwiastki równania x³ + 3x² — (2 - ,/2) = 0.

Rozwiązanie. Nie wszystkie współczynniki danego równania są liczbami wymierny-mi; odpada więc metoda podana w § 8.2. Dokonujemy więc podstawienia według wzoru

(8.3.3):

(1)    x = y — 1.

Po redukcji otrzymujemy równanie y³ — 3y + _s/2 = 0, w którym już nie występuje niewiadoma y w drugiej potędze. Obliczamy wyróżnik

^=(-!)³+(W2)²=-i<o-

A więc na podstawie wzoru (8.3.9) mamy

y_fc+1 = 2cos|(a+2/cn) dla k=0,l,2,

gdzie a wyznaczamy ze związku

3J2    1    3    .

coSa=-==--r=, skąd <x=—n().

-6^1    72    4

Mamy więc odpowiednio dla k=0, 1, 2:

y_t=2cosi7t = 72,

y₂=2cos{±7t = -2cos^ti= -3(76+72),    y₃ = 2cosy§7t = 2cos-^7t=-j('/6''/^

Ostatecznie, na podstawie wzoru (1), mamy

^=72-1,

X₂= -2cos—7t-l = -1(76+72+2), x₃ = 2cos^7t —1 = 2(76 —7^    ’

Zadanie 8.60. Rozwiązać równanie x³ — 6x+4_sj2=0.

,0^'

(‘) Gdybyśmy przyjęli a—^n, otrzymalibyśmy te same wartości y, tylko w innej kolejt"

Rozwiązanie. Równanie, jak widać z jego postaci, nie może mieć pierwiastków ^ miernych^)- Obliczamy wyróżnik zl=( — 2')³ + (2-_v/2)²=0. Wobec tego obliczamy Powiastki według wzoru (8.3.11):

*i =x₂ = %/2,    Xi-~2j2.

Zadanie 8.61. Do kuli o promieniu wewnętrznym r=10cm nalano J- litra wody. Obliczyć wysokość h poziomu wody.

Rozwiązanie. Objętość wody wynosi

V = ±nh²(3r-k).

Po podstawieniu K=250, r=10 i uporządkowaniu otrzymujemy równanie

/i³-30/i²+ 238,8 = 0.

Aby doprowadzić równanie do postaci x³ +px+q = 0, podstawiamy k=x+\0 i otrzymujemy

x³ - 300x +1761,2 = 0.

Stosując wzór (8.3.10) otrzymujemy

= 0,8805,    skąd oc = 28°42'

-5283,6

cosa =

-600VTÓÓ

Według wzorów (8.3.9) otrzymujemy:

1)    jc, = 20 cos 9°34' = 20(0,9865)= 19,73, co daje h>2r. Rozwiązanie to nie nadaje się.

2)    *2 = 20 cos 129°34' = 20(-0,6369)= -12,74, co daje h<0.

Rozwiązanie to również nie nadaje się.

3)    JTj = 20 cos 249°34' = 20(-0,3491)= -6,98, skąd /i = 3cm.

Sprawdzamy według wzoru

V = \nh²(br-h)-,

Podstawiając r = 10 i A = 3 otrzymujemy V= 255 cm³, czyli około i litra,

^^a°anie 8.62. Okrąg wpisany w trójkąt równoramienny o polu S= 12 cm² ma promień R^Cm    długości boków trójkąta (rys. 8 2).

°związanie. Oznaczmy podstawę trójkąta równoramiennego przez 2a, ramię

_r.^^z ^ ’ obwód przez 2p = 2a + 2b. Wówczas wysokość trójkąta jest h = \Jb² — a². Stąd ^uwnani_e

ay/ b²-a² = S.

^ Ola _x wymiernego wyrażenie x³— 6x jest liczbą wymierną, a więc różną od —4 VT.

I