076(1)

§ 6. Zadania na poszukiwanie największej i najmniejszej wartości funkcji

W wielu zagadnieniach geometrycznych, fizycznych czy technicznych trzeba znaleźć największą lub najmniejszą wartość pewnej wielkości, związanej zależnością funkcyjną z inną wielkością.

Szerokie rozpowszechnienie i ważność tych zadań były jednym z głównych powodów rozwoju analizy matematycznej.

Przy rozwiązywaniu tego typu zadań należy na podstawie warunków zadania obrać zmienną niezależną oraz wwrazić wielkość badaną jako funkcję tej zmiennej, a następnie znaleźć szukaną największą lub najmniejszą wartość otrzymanej funkcji. Przy tym przedział zmienności zmiennej niezależnej, który może być skończony lub nie, także określa się z warunków zadania.

362. Jak z trzech jednakowych desek zrobić rynnę o największym przekroju poprzecznym?

Rozwiązanie. Przekrój poprzeczny rynny będzie trapezem równoramiennym (rys. 62), którego pole S będzie zależeć od nachylenia ścian

a

Rys. 62

bocznych. Obierzmy za zmienną niezależną kąt a między ścianą boczną a wysokością trapezu i wyraźmy badane pole w funkcji tej zmiennej

x = a sin a, h = a cos a i S = h(aĄ .r)

czyli

5 = a²(l -fsin a) cos a

przy czym z uwagi na sens zadania a może zmieniać się w przedziale |o, -yj .

Szukamy największej wartości funkcji 5(a) w przedziale j^O, . Znajdujemy punkty krytyczne funkcji, leżące wewnątrz tego przedziału S' = a²[cos²a—(1+sina) sina] = a²(l — sina — 2 sima)

Przyrównując pochodną do zera, otrzymamy równanie kwadratowe względem sin a

2 sin²a-]-sin a—1 = 0

które ma rozwiązania

1 . .

sinot = y i sm a = — 1

Zc wszystkich punktów a, określanych przez pierwiastki obu tych równań, wewnątrz przedziału J^O, —j znajduje się tylko jeden punkt a — ~.

Jest to punkt krytyczny, gdyż są w nim spełnione wszystkie niezbędne do tego warunki. Pochodna S' istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych.

Obliczmy wartości funkcji S w znalezionym wewnętrznym punkcie krytycznym i na końcach przedziału j^O, yj

‘^s(x) ^{= 3}V ^a2~^hMa2’ ^sW ^{= a2}> *(t) = °

Porównując te wartości widzimy, że największą wartość w przedziale

osiąga funkcja S w punkcie wewnętrznym a =

Wobec tego rynna zrobiona z trzech jednakowych desek będzie miała największy przekrój poprzeczny wtedy, gdy przekrój ten będzie trapezem równoramiennym, w którym górna podstawa jest dwukrotnie większa od dolnej.

363. Znaleźć wymiary zamkniętej cylindrycznej cysterny o zadanej objętości V i o najmniejszej powierzchni całkowitej.

Rozwiązanie. Oznaczając promień i wysokość cysterny przez r i h, a powierzchnię całkowitą przez S, otrzymamy

S = 2 7r rh\- 2tzt²

Zmienne r i h nie są tu niezależne, lecz są związane między sobą równością V = nr²h, bowiem w myśl warunków zadania walec powinien mieć daną objętość V. Wyznaczając z równości tej h i podstawiając do wyrażenia na powierzchnię całkowitą, otrzymamy

5 = 2 17cr²+

przy czym r zmienia się w przedziale 0 < r < -foo.

155