085(1)

Przedziały wypukłości i wklęsłości krzywej określamy z warunku, że granicami tych przedziałów mogą być jedynie odcięte punktów przegięcia, punkty nieciągłości i granice obszaru okreśłoności funkcji.

Ponieważ badana funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, to zgodnie z powyższą tabelką jej wykres jest wypukły w przedziałach (—co,0) i (2, + oo), a wklęsły w przedziale (0, 2).

VIII. Biorąc pod uwagę wyniki przeprowadzonych badań sporządzamy wykres funkcji (rys. 74).

2) I. Funkcja y - '' 'J-jest określona na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu a^- — 0.

TI. W punkcie X = 0 funkcja ma nieciągłość nieskończoną; dla x -> — 0 oraz dla x -> -0, lim y = + co. W pozostałych punktach osi liczbowej Funkcja jest ciągła.

III.    Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani też okresowa.

IV.    Wykres funkcji przecina oś Ox w punkcie (1,0), ale nie przecina osi Oy. Na lewo od punktu nieciągłości, gdy — co<a:<0, y>0; między punktem nieciągłości a punktem przecięcia się z osią Ox, gdy 0 < * < 1, y > 0; na prawo od punktu przecięcia się z osią Ox, gdy I < x < +oo,

y < 0.

V. a) Prosta x = 0 (oś rzędnych) jest asymptotą pionową wykresu funkcji, ponieważ dla x = 0 funkcja ma nieciągłość nieskończoną, b) Z kolei znajdujemy

v    1 —X^

k— lim -— — lim—, - — — 1

x->-fCO

b = lim (y—kx) — lim /-—= lim -- = 0 .*-<■ + <»    \ X I    x

czyli asyifiptotą różną od pionowej jest prosta y — -x. Te same wartości dla parametrów k i b otrzymujemy, gdy x -> — oo, nic ma więc innych asymptot.

VI. Znajdujemy y' = —    skąd y' = 0 w punkcie x — — f 2.

Jest to punkt krytyczny. Ponadto y nie istnieje w' punkcie x = 0, ale punkt ten, będący punktem nieciągłości funkcji, nie może być punktem krytycznym.

Badamy punkt krytyczny określając znak y"

y =    y"(-V2)>0

a więc x — — y2 jest punktem minimum, przy czym y_mi„ — y(— j 2) = 3

~V

Na lewo od punktu minimum, gdy oo < x < - j 2, y' < 0 — funkcja maleje; między punktem minimum i punktem nieciągłości, gdy — | 2<x<0, y' > 0 — funkcja rośnie; na prawo od punktu nieciągłości, gdy 0 < a- < -Too, y' < 0 — funkcja maleje.

VH. Druga pochodna y" = ^r, czyli y" =£ 0. W punkcie x = 0 pochodna y" nie istnieje, jednak punkt ten jako punkt nieciągłości nie może być odciętą punktu przegięcia. Zatem wykres funkcji nie ma punktów przegięcia.