096 097

f₂(t) = a₂t +b₂

dla

1 < / < *

2 ^ r < Jt +1

/*-*+! W “ ^rtn-*+l' +b*-M    n-k + \ <t <rt.

Dla danej wartości y, dla re|l.n] można przypisać wartości

oszacowane za pomocą podanych wyżej funkcji f_t(t) w punkcie t. Wartość ^będzie wyznaczana na podstawie tylko takich funkcji które były konstruowane dla ciągów zawierających daną wartość y,. Zatem jednej wartości y_t odpowiadają różjie wartości /(/) w zależności od fft).

Wartością trendu pełzającego jest średnia arytmetyczna wszystkich oszacowanych wartości wyznaczonych na podstawie funkcji liniowych w punkcie /. Czyli

h =,¹ im

gdzie:

fi (/) - funkcje liniowe, które były wyznaczane na podstawie ciągu zawierającego daną w artość y,,

c - pozycja danej wartości y_t w ciągu liczb przedstawionych w szeregu czasowym (czyli wartość r). Wartość c określa również początkowy numer funkcji służących do szacowania wartości y_t,

d,c parametry zależne od t, gdzie wyrażenie d-c oznacza liczbę funkcji liniowych, przy wyznaczaniu których uczestniczył punkt y_t.

Wyznaczanie prognoz za pomocą ekstrapolacji trendu pełzającego, tak jak we wszystkich procedurach adaptacyjnych, nie jest jednoznacznie określone. W pakiecie zastosowano następujący algorytm wyznaczania prognoz, który zaprezentowano na poniższym przykładzie.

Przykład

Dla 18 danych szeregu czasowego zawierającego następujące wartości: 102, 109, 121, 132, 124, 139. 154. 174. 207. 235, 265. 270, 314. 344. 364. 380, 474, 534 wyznaczono prognozy dla horyzontu h = 1,2,3 metodą trendu pełzającego z parametrem wygładzania k = 7 .

Obliczenia pomocnicze:

Na podstawie siedmiu ostatnich wartości: 270, 314, 344, 364, 380, 474,

534 dla r = 1,2.....7 wyznaczono funkcję liniową. Parametry dla tej funkcji

wynoszą: a =41, £ = 218.8571.

Lkstrapolując tę funkcję na kolejne momenty czasowe otrzymuje się: =41(7+1)4-218.8571 =546.875

$7+2 - 41(7+2)+218.8571 =587.875 = 41(7+3 >+218.8571 =628.875.

Dla ośmiu wartości: 265, 270, 314. 344. 364, 380, 474. 534 oraz dla f=l,2....,8, parametry funkcji liniowej wynoszą: a =37.1548, 6 = 200.9286 5^1 = 37.1548(8+2)+218.8571 = 572.476 fś+2 = 37.1548(8+3)+218.8571 = 609.631.

Dla dziewięciu liczb: 235, 265, 270. 314, 344, 364, 380, 474, 534 oraz r= 1,2,....9 wyznaczone parametry wynoszą: a- 34.8833, h = 178.9167 = 34.8833(9+2)+218.8571 =597.517 Prognozy wyznaczone dla szeregu czasowego na moment 19, 20 i 21 wynoszą odpowiednio:

5*18+1 ⁼ 546.857

= (587.857 + 572.476)/2 = 580.167 y₁₈₊₃ = (628.857+609.631 + 597.517)/3 = 612.002.

Jak widać na powyższym przykładzie, prognozy dla jednego horyzontu prognozowania wyznacza się za pomocą ekstrapolacji jednej funkcji liniowej dla której parametry wyznaczone są na podstawie k ostatnich elementach szeregu czasowego. Prognozę z horyzontem drugim wyznacza się za pomocą ekstrapolacji dwóch funkcji liniowych, a następnie wyznacza się średnią arytmetyczną ekstrapolowanych wartości na dwa kolejne momenty czasowe. Prognozę na trzeci moment wyznacza się ekstrapolując trzy funkcje liniowce itd. Prognozy na kolejne momenty czasowe wyznacza się podobnie. zwiększając za każdym razem liczbę ekstrapolacji funkcji na moment prognozowany.

7. Średnie ruchome

W pakiecie zawarte są cztery procedury' wygładzania za pomocą średnich ruchomych.

• Średnia ruchoma, procedura wyznaczana jest w zależności od parametru wygładzania k:

-    dla parametru k przyjmującego wartość liczby nieparzystej

1 i+d

$_r =    £>'i gdzie d =(k - 1)/2 oraz / = d+ -d ;

k i=_t-d

—    dla parametru k przyjmującego wartość liczby parzystej

9,=

1    1

~    ~    -^v/+</+1    ■*" £ yi

2    2

gdzie d = (k / 2) -1 oraz i - d + 2,...,« - d -1

97