10 (28)

179

Różniczkowanie

Możemy obecnie już rozpatrzyć przypadek n > 1.

9.11. Definicja. Niech £ będzie zbiorem otwartym w Rⁿ, f — odwzorowaniem £ w R^m i x e £. Jeśli istnieje przekształcenie liniowe A przestrzeni R" w R^m takie, że

(14)    _limlf(»4h)--f(,)-^b|__0[

h—o    |n|

to mówimy, że przekształcenie f jest różniczkowalne w punkcie x i piszemy

(15)    f'(x) - A.

Jeżeli f jest różniczkowalne dla każdego x e £, to mówimy, że f jest różniczkowalne w £.

Oczywiście we wzorze (14) h e Rⁿ. Jeśli h jest dostatecznie małe, to x+ h e £, ponieważ jest otwarty. Zatem f(x+ h) jest określone, f(x+h) e R" i ponieważ A e L(Rⁿ, R^m), więc Ah e R^m. Zatem

f(x+h)—f(x)—v4h g R^m.

Norma w liczniku ułamka (14) jest normą w przestrzeni R^m; w mianowniku mamy normę wektora h w R".

Rozstrzygniemy teraz problem jednoznaczności, który, być może, nasunął się już czytelnikowi.

9.12.    TWIERDZENIE. Załóżmy, że E i f są takie jak w definicji 9.11, 4 e E i równość (14) zachodzi dla A — A, i A — A₂, gdzie A-, e L(R", R^m) (i = 1, 2). Wtedy A_t = A₂.

Dowód. Jeśli B = A_t — A₂, to z nierówności

|Bh| < |f(x+h) -T(x) - /ł, h| + |f(x+h) - f(x) -A₂h\ wynika, że |Bh|/|h|->0, gdy h-+0. Wynika stąd, że dla ustalonego h # 0

(16)    e^dy^^a

Przekształcenie B jest liniowe, zatem lewa strona wzoru (16) nie zależy od t. Stąd Bh = 0 dla wszystkich h e R", ponieważ B = 0.

9.13.    UWAGI, a) Równość (14) może być przepisana w postaci

(17)    f(x+h)-f(x) = f'(x)h+r(h),

gdzie reszta r(h) jest mała w tym znaczeniu, że

(18)

lim

k-0

|r(h)[

|b|

= 0.

Można powiedzieć tak: przy ustalonym x i małym h różnica f(x+h)- f(x)jest w przybliżeniu równa f'(x)h, tj. równa wartości funkcji liniowej w punkcie h.

b) Niech f i £ będą jak w definicji 9.11 i niech f będzie różniczkowalne na £. Dla każdego x g £ f'(x) jest funkcją, mianowicie operacją liniową z R" do R^m. Ale f' jest także funkcją: f' odwzorowuje £ w L(R", R^m).