10 (38)

189

statniej równości dąży >osób, że g'(y) = TAle

; jest różniczko walne), te), że f jest ciągłym H oraz że przejście od m z Q do Q, na mocy i kończy dowód, ma w ostatniej części ■prowadzone jedynie punkcie a. W związku uisa w A mer. Math.

twierdzenia.

tartego E c: R" w R" artym R" dla każdego

>czenia tego punktu, )c, że f jest lokalnie czne na całym E. Na

rów nanie f(x, y) = 0 otoczeniu każdego no x jako funkcję y i w idać konieczność

i=n= 1) twierdzenia aerdzenia wykorzy-f lokalnie w sposób rw twierdzenie 9.27,

znaczmy symbolem

[

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

W całym tym ustępie pierwszy element pary w (x, y) lub w podobnym symbolu będzie zawsze oznaczał wektor przestrzeni R", drugi — wektor przestrzeni R"'.

Każdy operator A e L(R"^+m, R") może być rozdzielony na dwie operacje liniowe A_x i A_y określone przez

(53)    A_xh = /ł(h, 0), A_yk = ,4(0, k) dla dowolnych h e R", k e R^m. Wtedy A_x e LĄRⁿ), A_y e L(R^m, R") i

(54)    /ł(h, k) §i A_xh+A_yk.

Liniowa wersja twierdzenia o funkcjach uwikłanych jest teraz prawie oczywista.

9.27. TWIERDZENIE. Jeżeli A e L(R"^+m, R") i A_xjest odwracalny, to dla każdego k 6 R" istnieje dokładnie jeden h e R" taki, że A (h, k) = 0. Element h o tej własności może być otrzymany za pomocą wzoru

(55)    h = — (/yUjJk.

Dowód.Z(54),4(h, k) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A_xh+A_yk = 0, co oznacza to samo co

(55), bo A_x jest odwracalny.

Teza twierdzenia 9.27 wyrażona inaczej mówi, że równanie A(h, k) = 0 może być (jednoznacznie) rozwiązane przy danym k względem h, i że rozwiązanie h zależy w sposób liniowy od k. Ci, którzy znają elementy algebry liniowej, rozpoznają w tym sformułowaniu znane twierdzenie o układzie równań liniowych.

9.28. TWIERDZENIE. Załóżmy, że f jest W-odwzorowaniem zbioru otwartego E c R”^+m w przestrzeń R" takim, że f(a, b) = 0 dla pewnego (a, b) e E.

Niech A = /'(a, b) i załóżmy, że A_xjest odwracalne.

Istnieją wtedy zbiór otwarty U c R^n+m i W a R^m takie, że (a, b) e U oraz be W, i przy tym: Dla każdego y e W istnieje dokładnie jeden x taki, że

(56)    (x, y) e U oraz f(x, y) = 0.

Jeżeli określimy funkcję g przyjmując g(y) = x, to g jest odwzorowaniem klasy W z Wdo Rⁿ, g(b) = a oraz

(57)    f(g(y),y)=0 (y e W),

(58)    g(b)=

Funkcja g jest w sposób niejawny określona wzorem (57); stąd nazwa twierdzenia. Może być ono sformułowane w terminach układu I równań, zawierających n+m niewiadomych:

jftMHj) .....y-)-* o,

(59)    ' ........^

.....X„ y_x.....y_m) = 0.

Założenie, że A_x jest operacją odwracalną oznacza, że nxn macierz

Difi... D„fi

D\fn — D_Kf„