Pochoane wyższych rzędów

9.40.    Twierdzenie. Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną w otwartym zbiorze E *s R², taką, że Di f oraz D₂ if istnieją we wszystkich punktach E. Niech Q<= E będzie domkniętym prostokątem o bokach równoległych do osi współrzędnych, mającym punkty (a, b) i (a+h, b+k)jako przeciwległe wierzchołki (h & 0, k / 0). Niech

d{f, Q) = f(a+h, b+fc)4/(a+ M)-/(a, b+ k)+f(a, b).

Istnieje wtedy punkt (x,< leżący wewnątrAfl>tąkfrłże (95)    A(f, § =

Zwracamy uwagę na analogię pomiędzy (95) a twierdzeniem 5.10; pole powierzchni Q wynosi hk.

Dowód. Niech u(t) = f(t, b+k)—f(t, b). Dwukrotne zastosowanie twierdzenia 5.10 pokazuje, że istnieją punkty x, leżący pomiędzy a i a+h, oraz y, leżący pomiędzy b i b+k, takie, że

A(f, 0 = u(a+h)-u(a) m hu'(x) = /«[(0₁/)(jr_i fc+k)-(D₁/)f(x,fe)] hk(D_2if)(x, y).

9.41.    TWIERDZENIE. Niech funkcja rzeczywista f będzie określona w otwartym zbiorze EcR². Załóżmy, że D₂f, D_2lf oraz D₂f istnieją we wszystkich punktach E oraz pochodna D_2if jest ciągła w punkcie {a, b) e E,

Wtedy D_i2f istnieje tv punkcie (a, b) oraz

(96)    m (Di_źf)(a, b) = (0₂,/)(«, 6).r

Wniosek. Z)₂₁/= D_i2fjeś:Hfe #"(£).

Dowód. Niech A = (D₂₁f)(ą, b). Wybierzmy e > 0. Jeżeli Q jest prostokątem jak w twierdzeniu 9.40, przy h oraz k dostatecznie małych, to dla dowolnego (x, y) e Q

Zatem z.(95j._;,..,

m 0

hk

Ponieważ £ dobraliśmy dowolnie, a (97) zachodzi dla dostatecznie małych h # 0, więc z (97) wynika, że (D_l2f)(a, b) = A. Otrzymujemy stąd (96),

Różniczkowanie całek

Niech <p będzie funkcją dwu zmiennych, którą całkujemy względem jednej z nich, a różniczkujemy względem drugiej. Przy jakich założeniach wynik takiego postępowania nie będzie zależał od kolejności w jakiej przeprowadzamy te dwa procesy przejść granicznych?