10 (58)

Odwzorowania proste 209

Odwzorowania proste

10.5.    DEFINICJA. Jeżeli G odwzorowuje zbiór otwarty £ c R" w R" i jeżeli istnieje wskaźnik m taki, że

(9)    G(x)= X.*,e,+g!(x)e_m    (xe£),

gdzie g jest funkcją rzeczywistą określoną na E, to G nazywamy odwzorowaniem prostym. Zatem odwzorowania proste to takie odwzorowania, które zmieniają co najwyżej jedną współrzędną. Zauważmy, że (9) można też napisać w postaci

(10)    G(x) = x+[r/(x)-xje_m.

Jeżeli g jest różnicżkowalna w jakimś punkcie a e £, to także G jest różniczkowalna w tym punkcie. Wtedy macierz [«,;] operatora G'(a) ma w m-tym wierszu wyrazy

(U)    (Dtg)    (a),..., {D_mg) (a).....(D„g) (a)

oraz przy j ^ m mamy ay — 1 i ety = Odia i ^ j. Zatem jakobian G ma postać

(12)    J_c(a)=det[G'(a)] = (D^)(a)

i na podstawie twierdzenia 9.36 widzimy, że pochodna G'(a) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy (D_mg) (a) ź 0.

10.6.    DEFINICJA. Operator liniowy B na R", który zamienia miejscami dwa elementy bazy standardowej R" pozostawiając pozostałe elementy nie zmienione będziemy nazywali przestawieniem.

Na przykład przestawienie B na jR⁴ zamieniające e₂ i e₄ ma postać:

(13)    jB(x₁e₁+.x₂e2+X3e3+X4e4)    = x₁e₁+X2e₄+x₃e3+x₄e₂

lub równoważnie

(14)    £(x₁ei+X2e₂+X3e₃+x₄e₄)    = x₁e₁+x₄e2+X3e₃+X2e₄.

Możemy więc myśleć o B jako o operatorze zamieniającym współrzędne lub zmieniającym wektory bazowe.

W dowodach, które dalej nastąpią, będziemy używali projekcji P₀,..., P„ w Rⁿ, zdefinio* wanych przez P₀x = 0, oraz

(15)    P_mx = x₁e₁+...+x_me_m dla 1 ^ m < n.

Zatem P_m jest projekcją, której obraz i jądro są rozpinane przez odpowiednio {ej, .„, ą,}

* {®m+1» ••• > *»}•

10.7.    TWIERDZENIE. Załóżmy, że F jest W-odwzorowaniem otwartego zbioru E <=■ R* w R\ 0 e E, F(0) =» 0 i F(0) jest odwracalne. Wtedy istnieje otoczenie punktu 0 w R", w którym ma miejsce przedstawienie

(16)    F(x) = P₁...B_a._lG_#...Gj(xX

U - Podstawy analizy matematycznej