122 2

242 XI. Szeregi potęgowe

ie/(0) = 0, otrzymujemy

.2 2 ₂ 2³ ₄ 2⁵ ₆ 2⁷ .

^S,n *⁼ 27 * ^_47 * ⁺óT * "~8! * ⁺ "

Zadanie 11.18. Napisać początkowe 8 wyrazów wzoru Maclaurina dla fu_nk •

f(x)=t_gx.

Rozwiązanie. Oznaczmy y = tg x. Zauważmy, że

, = 1 + tg x= 1 + y

COS X

1

y =

i że dla x = 0 jest y = 0. Mamy więc:

skąd/'(O) = l, skąd/"(O) = 0, skąd /'"(0)= 2, skąd /⁽⁴⁾(0)= 0, skąd /^(5,(0)= 16,

J'(x)=l+y²,

f'\x) = 2yy' = 2y (1 + y²)=2 (y + y³),

/"'(*) = 2(1 + 3y²) y = 2(1 + 3y²) (1 + y²) = 2 (1 + 4y² + 3y⁴),

/⁽⁴⁾(x) = 2 (8y +12y³) y' = 8 (2y +3y³) (1 + y²)=8 (2y+5y³ + 3y ^s), f^s\x) = 8 (2 +15y² +15y⁴) (1 + y²) = 8 (2 + 17y² + 30y⁴ +15y^fi),

/W(x) = 8(34y + 120y³+90y⁵)(l+y²) = 8(34y + 154y³+210y⁵+90y⁷), skąd /⁽⁶⁾(0)= 0, /^w(x)=8(34+...)(l+y²),    skąd f^a\0)=272.

Podstawiając obliczone wartości do wzoru Maclaurina (11.2.4) otrzymujemy

2 ,    16 , 272 _

tgx=x+—x +—x + —x +R₈,

skąd po skróceniu współczynników mamy

17

X -f .Rg .

1 ₃ 2 _s

tgx=x4—x + x

⁵    3    3-5    3² *5•7

Rozwinięcie funkcji tgx, jako funkcji nieparzystej (^ł), zawiera tylko nieparzyste P° tęgi x (podobnie jak rozwinięcie funkcji sin x).    jg ^

Można dowieść, że /?„-»0 dla |x| <^Jt, więc funkcję tgx można przedstawić za P°^nl szeregu Maclaurina o promieniu zbieżności    Dowód ten (dość trudny) P°^m‘J

Zadanie 11,19. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

(1)

/(*)= —

x³+2x

x —2

(*) Funkcja /(x) nazywa Hę funkcją nieparzystą, jeżeli dla każdego x zachodzi t<yxn°' = -f(x). Funkcja f(x) nazywa si % funkcją parzystą, jeżeli dla każdego x zachodzi równość/("

■

Rozwiązanie. Zakładamy, że \x\^s]l- Można udowodnić twierdzenie:

|1 2-7)    Funkcja wymierna jest rozwijalna w szereg Taylora w otoczeniu każdego punktu,

„ którym mianownik nie jest zerem.

funkcja (1) spełnia warunki rozwijał ności w szereg Maclaurina, ponieważ dla x=0 mianownik jest różny od zera. Załóżmy, że funkcja (1) rozwija się w szereg

x³+2x

-a₀+a_lx+a₂x +#3* + ...

(2)

zbieżny dla |jc] </?; mnożymy obie strony równości (2) przez z²-2:

2x+x³=(-2+x²)(a₀+a_lx+a₂x² +a₃x³ + ...)    dla |.x|<R.

Irfamy tutaj równość sum dwóch szeregów potęgowych dla każdego !jc[ < i? (po lewej i _stronie wielomian 2x+x³ można uważać za szereg, którego wszystkie współczynniki i przy x" dla n> 3 są równe zeru). Po wykonaniu mnożenia^) współczynniki przy tych sa-| mych potęgach zmiennej x muszą być, według twierdzenia (11.1.7), równe. Otrzymujemy zależności:

wyraz wolny : 0=—2a0,	skąd	O II O
współczynnik przy * : 2=—2al,	skąd
współczynnik przy x^2 : 0=—2a2+a0,	skąd	Ci K* II O
współczynnik przy x^3 : 1 = — 2a3 + alt	skąd	a3 — — 1 ,
współczynnik przy x^4 : 0=—2 a4 + a2,	skąd	Ua = 0,
współczynnik przy x^s : 0=—2a5+a3,	skąd	^5~ 2 *
współczynnik przy x" : 0=—2an+an-2,	skąd	Un=5 ^a-

Ogólnie

mamy więc

dla n>4.

^p0d$t;

awiąjąc obliczone wartości otrzymujemy szukane rozwinięcie:

x³ + 2x x² — 2

= — x—x³ — ż*⁵ —    — ■

Szereg ten jest zbieżny dla |jc| < ^/2, ponieważ mamy tutaj, pomijając pierwszy wyraz, ^re8 geometryczny o ilorazie q = \x², a więc R-^2. Dla x= ±R szereg jest rozbieżny.

Udanie 11.20. Rozwinąć funkcję

/(*)=

*+2

x²-3x

Taylora w otoczeniu punktu jr = 2.

■* riowód, że takie mnożenie jest dozwolone, pomijamy.