131(1)

2) Pętla danej krzywej jest zakreślana przez punkt bieżący krzywej przy zmianie y od 0 do 3a (rys. 122). Wobec tego różniczkując obustronnie równanie krzywej względem y mamy 18 uxx' = (3a—y)²—2y(3a—y) ==

= 3(3cr—y) (a —y), skąd xx' =    (3«— y) (a y), i po podstawieniu do wzoru

(2) znajdujemy szukane pole

/ y(3«—y)²

3 a    3 a

(3 a-yfia-ff-    _

36 a^{1    y}

9 a

S — 2.t (    X^tjc (xx’)² dy = 2.-t |

ó    o

3c    3a

= 2.T |    - | a² 2rn’ f y² dy —    j (3u²—2ay y²)ć/y = 3,-ro²

6    o

656.    Obliczyć pola powierzchni obrotowych, powstałych na skutek obrotu wokół osi Ox:

1)    okręgu ,r = acosr, y — usint,

2)    luku paraboli y² - 2x, między punktami jej przecięcia z prostą 2x - 3,

3) jednego luku (okresu) cykloidy x = ą(t—sint), y = a(l — cost),

4)    pojedynczej fali sinusoidy y = sinx,

oraz pola powierzchni powstałych przez obrót wokół osi Oy:

i²    r’

5)    luku paraboli pólsześcicnnej .v = 4 — -y, y— łączącego punkty jej przecięcia z osiami układu współrzędnych,

6)    elipsy 3.\~ 4y² = 12.

657.    Obliczyć pole powierzchni torusa, powstałego na skutek obrotu okręgu .\r _: y² — a¹ dookoła prostej y -- b; b > a.

§ 8. Zadania z zakresu fizyki

658. Wyznaczyć parcie wody na pionową prostokątną śluzę, o podstawie 18 m i wysokości 6 m, oraz obliczyć, na jakiej głębokości x — c należy podzielić śluzę, aby parcie wody na górną i dolną część śluzy było jednakowe.

Rozwiązanie. Parcie P wywierane przez ciecz na element płaszczyzny poziomej zależy od głębokości zanurzenia x, tj. od odległości elementu płaszczyzny od zwierciadła (górnej powierzchni) cieczy. Zatem P — 6ax, gdzie: <5 — ciężar właściwy cieczy, a — pole elementu.

Postępując w myśl ogólnego schematu (II) zastosowania całki oznaczonej do obliczania wielkości (str. 240) dzielimy śluzę na głębokości x za pomocą prostej poziomej (rys. 123). Parcie wody na część śluzy powyżej tej prostej będzie pewną funkcją P(x). Obliczmy różniczkę dP tej funkcji, czyli wartość przybliżoną (część główną) jej przyrostu AP, gdy głębokość x zmieni się o małą wielkość dx.

_—__3_i

X

dx

Rys. 123

Ponieważ zZxr jest małe, przyjmiemy, że wszystkie punkty zakreskowanego paska znajdują się na głębokości x, czyli przyjmiemy, że pasek ten leży na głębokości x w płaszczyźnie poziomej. Wtedy parcie wody wywierane na pasek będzie równe w przybliżeniu ciężarowa słupa wody, mającego za" podstawę ten pasek, a za wysokość —‘głębokość x

AP x dP = 18dxdx = 18xdx (ciężar właściwy wody (5=1)

Z warunków zadania wiemy, że głębokość x przebiega wartości z przedziału 0 ^ x < 6. Całkowite parcie P wywierane na śluzę znajdziemy więc całkując dP w granicach od 0 do 6

6

P = 18 Jxdx = 9[x²]p = o

= 324 Ton ss 324 000 • 9,81 N^J> z 3 178 440 N = 3,18 MN

ON (niuton) — jednostka sity (ciężaru) w międzynarodowym układzie jednostek SI; IN X 0,102 kG, 1 kG x 9,81 N.

265